Tekst źródłowy strony Ekstrapolator rzędu pierwszego

'''Ekstrapolator rzędu pierwszego''' (interpolator rzędu pierwszego, {{ang.|first-order hold, FOH}}) – matematyczny model praktycznej rekonstrukcji sygnałów [[Próbkowanie|spróbkowanych]], która może być wykonana za pomocą konwencjonalnego [[Przetwornik analogowo-cyfrowy|przetwornika analogowo-cyfrowego]] i [[Technika analogowa|obwodu analogowego]] zwanego [[Układ całkujący|układem całkującym]].

W przypadku ekstrapolatora rzędu pierwszego sygnał jest rekonstruowany jako [[Funkcja przedziałami liniowa|przedziałami liniowa]] [[aproksymacja]] oryginalnego sygnału, który poddany został próbkowaniu. Model matematyczny taki, jak ekstrapolator rzędu pierwszego (lub, częściej, [[ekstrapolator rzędu zerowego]]) jest niezbędny ponieważ w [[Twierdzenie o próbkowaniu|twierdzeniu o próbkowaniu i rekonstrukcji sygnału]], sekwencja [[Delta Diraca|impulsów Diraca]], <math>x_s(t),</math> reprezentująca próbki [[Sygnał dyskretny|sygnału dyskretnego]], <math>x(nT),</math> jest filtrowana [[Filtr dolnoprzepustowy|filtrem dolnoprzepustowym]] w celu przywrócenia sygnału źródłowego <math>x(t),</math> który został spróbkowany. Jednakże sekwencja impulsów Diraca pojawiająca się na wyjściu układu jest bardzo niepraktyczna. Urządzenie można zaimplementować, z użyciem konwencjonalnego przetwornika analogowo-cyfrowego i pewnego [[Technika analogowa|analogowego]] [[układ liniowy|układu liniowego]], tak by rekonstruowało ono przedziałami liniowe wyjście predykcyjnego lub opóźnionego ekstrapolatora rzędu pierwszego.

Co prawda fizycznie się tego nie wykonuje, ale identyczny sygnał wyjściowy można wygenerować poprzez zastosowane hipotetycznej sekwencji impulsów Diraca, <math>x_s(t),</math> do liniowego układu stacjonarnego, znanego jako [[Cyfrowe przetwarzanie sygnałów|filtr liniowy]] z takimi charakterystykami (które, dla liniowego układu stacjonarnego, opisane są w pełni przez [[Charakterystyka impulsowa|odpowiedź impulsową]]) tak, że każdy impuls na wejściu daje na wyjściu poprawną funkcję przedziałami liniową.

== Postać podstawowa ekstrapolatora rzędu pierwszego ==
[[Plik:Sampled.signal.svg|thumb|Idealnie spróbkowany sygnał <math>x_s(t)</math>]]
Ekstrapolator rzędu pierwszego to hipotetyczny [[Filtr (elektronika)|filtr]] lub stacjonarny układ liniowy, który dokonuje konwersji idealnie spróbkowanego sygnału:
: <math>\begin{align}
x_s(t) & = x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t - nT) \\
& = T \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT) \delta(t - nT)
\end{align}</math>

[[Plik:Firstorderhold.signal.svg|thumb|Sygnał przedziałami liniowy <math>x_\mathrm{FOH}(t)</math>]]

na sygnał [[Funkcja przedziałami liniowa|przedziałami liniowy]]
: <math>x_\mathrm{FOH}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} \right)</math>

[[Plik:Firstorderhold.impulseresponse.svg|thumb|Odpowiedź impulsowa ([[System przyczynowy|nieprzyczynowa]]) ekstrapolatora rzędu pierwszego <math>h_\mathrm{FOH}(t)</math>]]

dający w efekcie odpowiedź impulsową:
: <math>h_\mathrm{FOH}(t) = \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} \right) = \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t|}{T} \right) & \mbox{jeśli } |t| < T \\
0 & \mbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}</math>

: gdzie <math>\mathrm{tri}(x)</math> jest [[funkcja trójkątna|funkcją trójkątną]].

Otrzymywana [[charakterystyka częstotliwościowa]] jest [[Transformacja Fouriera|(ciągłą) transformatą Fouriera]] odpowiedzi impulsowej:
: <math>\begin{align}
H_\mathrm{FOH}(f) &= \mathcal{F} \{h_\mathrm{FOH}(t)\} \\[2pt]
&= \left( \frac{e^{i \pi fT} - e^{-i \pi fT}}{i 2\pi fT} \right)^2 \\[2pt]
&= \mathrm{sinc}^2(fT)
\end{align}</math>

: gdzie <math>\mathrm{sinc}(x)</math> jest [[Funkcja sinc|funkcją sinc]].

[[transmitancja operatorowa|transmitancję]] ekstrapolatora rzędu pierwszego można uzyskać poprzez podstawienie <math>s = i 2\pi f{:}</math>
: <math>\begin{align}
H_\mathrm{FOH}(s) &= \mathcal{L} \{h_\mathrm{FOH}(t)\} \\[2pt]
&= \left( \frac{e^{sT/2} - e^{-sT/2}}{sT} \right)^2.
\end{align}</math>

Jest to [[System przyczynowy|układ nieprzyczynowy]] – liniowa funkcja interpolacji przebiega w kierunku wartości następnej próbki zanim taka próbka zostanie zastosowana do hipotetycznego filtru (to jest ekstrapolatora rzędu pierwszego). Nieprzyczynowość odzwierciedla także odpowiedź impulsowa filtru (ekstrapolatora rzędu pierwszego) – odpowiedź ta zaczyna się zanim podany zostanie impuls.

== Opóźniony ekstrapolator rzędu pierwszego ==
[[Plik:Delayedfirstorderhold.signal.svg|thumb|Opóźniony sygnał przedziałami liniowy <math>x_\mathrm{FOH}(t).</math>]]
Opóźniony ekstrapolator rzędu pierwszego, czasami nazywany też ''[[system przyczynowy|przyczynowym]] ekstrapolatorem rzędu pierwszego'', jest niemal identyczny z powyżej przedstawionym filtrem w postaci podstawowej z wyjątkiem tego, że sygnał na jego wyjściu opóźniony jest o jeden [[Próbkowanie|okres próbkowania]], co daje na wyjściu sygnał opóźniony przedziałami liniowy
: <math>x_\mathrm{FOH}(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - T - nT}{T} \right),</math>

[[Plik:Delayedfirstorderhold.impulseresponse.svg|thumb|Odpowiedź impulsowa [[system przyczynowy|przyczynowego]] filtru pierwszego rzędu <math>h_\mathrm{FOH}(t)</math>]]

co daje w efekcie odpowiedź impulsową opisaną wzorem:
: <math>h_\mathrm{FOH}(t) = \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t-T}{T} \right) = \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t-T|}{T} \right) & \mbox{jeśli } |t-T| < T \\
0 & \mbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}</math>

: gdzie <math>\mathrm{tri}(x)</math> jest [[funkcja trójkątna|funkcją trójkątną]].

Efektywna [[charakterystyka częstotliwościowa]] to (ciągła) transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej:
: <math>\begin{align}
H_\mathrm{FOH}(f) &= \mathcal{F} \{h_\mathrm{FOH}(t)\} \\[2pt]
&= \left( \frac{1 - e^{-i 2\pi fT}}{i 2 \pi fT} \right)^2 \\[1ex]
&= e^{-i 2 \pi fT} \mathrm{sinc}^2(fT),
\end{align}</math>

: gdzie <math>\mathrm{sinc}(x)</math> jest [[Funkcja sinc|funkcją sinc]].

[[transmitancja operatorowa|Transmitancję]] opóźnionego filtru pierwszego rzędu można uzyskać przez podstawienie <math>s = i 2\pi f{:}</math>
: <math>\begin{align}
H_\mathrm{FOH}(s) &= \mathcal{L} \{h_\mathrm{FOH}(t)\} \\[2pt]
&= \left( \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \right)^2.
\end{align}</math>

Z uwagi na opóźnienie sygnału na wyjściu rozważany układ jest [[system przyczynowy|układem przyczynowym]]. Odpowiedź impulsowa opóźnionego ekstrapolatora rzędu pierwszego nie pojawia się zanim nie poda się impulsu na wejście układu.

Taką opóźnioną, przedziałami liniową rekonstrukcję można zrealizować fizycznie poprzez implementację [[filtr cyfrowy|filtru cyfrowego]] z [[człon proporcjonalny|wzmocnieniem]] <math>H(z) = 1 - z^{-1},</math> podając wyjście takiego filtru cyfrowego (które wynosi o prostu <math>x[n]-x[n-1]</math>) na wejście idealnego konwencjonalnego [[przetwornik cyfrowo-analogowy|przetwornika cyfrowo-analogowego]] (który ujmuje w sobie model ekstrapolatora rzędu pierwszego) i [[układ całkujący|całkując]] (w czasie ciągłym, <math>H(s) = 1/(sT)</math>) wyjście przetwornika analogowo-cyfrowego.

== Predykcyjny ekstrapolator rzędu pierwszego ==
[[Plik:Predictivefirstorderhold.signal.svg|thumb|Sygnał wyjściowy predykcyjnego ekstrapolatora rzędu pierwszego <math>x_\mathrm{FOH}(t).</math>]]
Predykcyjny ekstrapolator rzędu pierwszego jest zupełnie inny niż formy podane wcześniej. Ma on charakter [[system przyczynowy|przyczynowego]] hipotetycznego stacjonarnego układu liniowego albo filtru, który konwertuje idealnie spróbkowany sygnał
: <math>\begin{align}
x_s(t) &= x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t - nT) \\[2pt]
&= T \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT) \delta(t - nT)
\end{align}</math>

do sygnału wyjściowego przedziałami liniowego w ten sposób, że próbka bieżąca i próbka bezpośrednio wcześniejsza wykorzystywane są do liniowej [[Ekstrapolacja (matematyka)|ekstrapolacji]] do następnego wystąpienia próbki. Wyjście takiego filtru dane byłoby:
: <math>\begin{align}
x_\mathrm{FOH}(t) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \left( x(nT) + \left( x(nT) - x((n-1)T) \right) \frac{t-nT}{T} \right) \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T} - \frac{1}{2} \right) \\[2pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty x(nT) \left( \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T} - \frac{1}{2} \right) - \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T} - \frac{3}{2} \right) + \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} - 1 \right) \right),
\end{align}</math>

[[Plik:Predictivefirstorderhold.impulseresponse.svg|thumb|Odpowiedź impulsowa predykcyjnego ekstrapolatora rzędu pierwszego <math>h_\mathrm{FOH}(t)</math>]]

dając w efekcie odpowiedź impulsową:
: <math>\begin{align}
h_\mathrm{FOH}(t) &= \frac{1}{T} \left( \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T} - \frac{1}{2} \right) - \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T} - \frac{3}{2} \right) + \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} -1 \right) \right) \\[2pt]
&= \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 + \frac{t}{T} \right) & \mbox{jeśli } 0 \leqslant t < T \\
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{t}{T} \right) & \mbox{jeśli } T \leqslant t < 2T \\
0 & \mbox{w pozostałych przypadkach}
\end{cases}
\end{align}</math>

: gdzie <math>\mathrm{rect}(x)</math> jest [[funkcja prostokątna|funkcją prostokątną]] a <math>\mathrm{tri}(x)</math> jest [[funkcja trójkątna|funkcją trojkątną]].

Wynikowa charakterystyka częstotliwościowa jest (ciągłą) transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej:
: <math>\begin{align}
H_\mathrm{FOH}(f) &= \mathcal{F} \{h_\mathrm{FOH}(t)\} \\[2pt]
&= (1 + i 2\pi fT) \left( \frac{1 - e^{-i 2\pi fT}}{i 2\pi fT} \right)^2 \\[1ex]
&= (1 + i 2\pi fT) e^{-i 2\pi fT} \mathrm{sinc}^2(fT)),
\end{align}</math>

: gdzie <math>\mathrm{sinc}(x)</math> jest [[Funkcja sinc|funkcją sinc]].

[[transmitancja operatorowa|Transmitancję]] predykcyjnego filtru pierwszego rzędu można uzyskać przez podstawienie <math>s = i 2\pi f{:}</math>
: <math>\begin{align}
H_\mathrm{FOH}(s) &= \mathcal{L} \{h_\mathrm{FOH}(t)\} \\[2pt]
&= (1 + sT) \left( \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \right)^2.
\end{align}</math>

Jest to [[system przyczynowy|układ przyczynowy]]. Odpowiedź impulsowa predykcyjnego filtru pierwszego rzędu nie pojawia się zanim nie podany zostanie impuls na wejście układu.

Taką przedziałami liniową rekonstrukcję można zrealizować fizycznie poprzez implementację [[filtr cyfrowy|filtru cyfrowego]] z [[człon proporcjonalny|wzmocnieniem]] <math>H(z) = 1 - z^{-1}</math> podając wyjście takiego filtru cyfrowego (które wynosi o prostu <math>x[n]-x[n-1]</math>) na wejście idealnego konwecjonalnego [[przetwornik cyfrowo-analogowy|przetwornika cyfrowo-analogowego]] (który ujmuje w sobie model ekstrapolatora rzędu pierwszego), a następnie wyjście tego przetwornika na wejście [[technika analogowa|filtru analogowego]] o [[transmitancja operatorowa|transmitancji]] <math>H(s) = (1+sT)/(sT).</math>

== Zobacz też ==
* [[ekstrapolator rzędu zerowego]]

[[Kategoria:Teoria sterowania]]
[[Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]