Tekst źródłowy strony Działanie grupy na zbiorze

[[Plik:Group action on equilateral triangle.svg|thumb|Dla danego [[trójkąt równoboczny|trójkąta równobocznego]], [[obrót|obroty]] o kąty 120°, 240°, 0° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół środka trójkąta tworzą grupę działającą na zbiorze wierzchołków trójkąta.]]
'''Działanie grupy''' – sposób opisania [[Symetria figury|symetrii]] obiektów za pomocą pojęcia [[grupa (matematyka)|grupy]]. Istotne elementy obiektu opisane są za pomocą [[zbiór|zbioru]], a jego symetrie za pomocą jego [[grupa symetrii|grupy symetrii]], która składa się z [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznacznych]] [[przekształcenie geometryczne|przekształceń geometrycznych]] wspomnianego zbioru. Wówczas grupę tę nazywa się także '''[[grupa permutacji|grupą permutacji]]''' (szczególnie, jeśli zbiór jest skończony lub nie jest przestrzenią liniową) lub '''grupą przekształceń'''<ref name="epwn-gp">{{Encyklopedia PWN | id = 3908294 | tytuł = grupa przekształceń | data dostępu = 2022-03-11 }}</ref> (szczególnie, gdy zbiór jest [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]], a grupa działa jak [[przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowe]] zbioru).

Działanie grupy jest elastycznym uogólnieniem pojęcia grupy symetrii, w której każdy jej element „działa” jak wzajemnie jednoznaczne przekształcenie (lub „symetria”) pewnego zbioru, lecz bez utożsamiania tego elementu ze wspomnianym przekształceniem. Pozwala to bardziej wyczerpująco opisać symetrie obiektu, takiego jak [[wielościan]], przez zadziałanie tej samej grupy na kilku różnych zbiorach, np. zbiorze [[Wierzchołek (geometria)|wierzchołków]], zbiorze [[krawędź (stereometria)|krawędzi]] i zbiorze [[ściana (stereometria)|ścian]] wielościanu.

[[Niezmienniczość]] działania grup na obiektach geometrycznych była główną ideą tzw. [[program erlangeński|programu erlangeńskiego]] [[Felix Klein|Feliksa Kleina]]. Ewaryst Galois w swoich pracach dotyczących rozwiązywania wielomianów przez pierwiastniki badał działanie [[grupa Galois|grup Galois]] na zbiorach [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastków wielomianu]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko =Эварист |imię =Галуа |autor link =Évariste Galois |tytuł =Сочинения (tłum. z franc.) |wydawca = |miejsce =Москва-Ленинград |rok =1936 |strony =49–98 |isbn =}}</ref>.

Umożliwiając stosowanie idei geometrycznych do bardziej abstrakcyjnych tworów działania grup dostarczają wysokiego poziomu [[Abstrakcja (matematyka)|abstrakcji]]. Wiele [[Obiekt matematyczny|obiektów matematycznych]] ma naturalnie określone na sobie działanie grupy. W szczególności grupy mogą działać także na innych grupach, a nawet na samych sobie. Mimo wspomnianej ogólności teoria działań grup zawiera szeroko stosowane w praktyce [[twierdzenie|twierdzenia]], jak np. [[#Twierdzenie|twierdzenie o orbitach i stabilizatorach]], które mogą być środkiem podczas dowodzenia mocnych wyników w innych działach matematyki.

== Definicja ==
Niech <math>G</math> będzie [[grupa (matematyka)|grupą]], a <math>X</math> oznacza pewien [[zbiór]], którego elementy nazywane ''punktami'' będą oznaczane pismem prostym. Wówczas (lewostronnym) '''działaniem grupy''' <math>G</math> ''na zbiorze'' <math>X</math> nazywa się [[Funkcja|funkcję dwuargumentową]]
: <math>G\times X \to X;\; (g, x) \mapsto g \cdot x</math>

spełniającą następujące dwa aksjomaty:
* <math>(g \cdot h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x),</math>
* <math>e \cdot x = x,</math>

gdzie <math>g, h</math> są dowolnymi elementami grupy <math>G,</math> element <math>x</math> należy do zbioru <math>X,</math> zaś <math>e</math> oznacza [[element neutralny]] w <math>G.</math> Zbiór <math>X</math> nazywa się wtedy (lewostronnym) '''<math>G</math>-zbiorem''', co formalnie można oznaczać [[para uporządkowana|parą uporządkowaną]] <math>(X, G);</math> o grupie <math>G</math> mówi się zaś, że ''działa'' na <math>X</math> (z lewej strony).

=== Homomorfizm w grupę symetryczną ===
Powyższe dwa aksjomaty gwarantują, że dla każdego <math>g \in G</math> funkcja przekształcająca <math>x \in X</math> w <math>g \cdot x</math> jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]] <math>\varphi_g</math> zbioru <math>X.</math> Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, wyznaczaną jednoznacznie przez element <math>g \in G</math> bijekcję <math>\varphi_g(x)</math> oznacza się niekiedy symbolem <math>g(x)</math> lub nawet <math>gx.</math> Dlatego też działanie grupy może być zdefiniowane jako [[homomorfizm grup]]owy <math>\varphi</math> z <math>G</math> w [[grupa bijekcji|grupę symetryczną]] <math>\operatorname{Sym}(X)</math> wszystkich bijekcji <math>X</math> dany wzorem <math>\varphi(g) = \varphi_g.</math> Z tego też powodu dowolny homomorfizm <math>G \to \operatorname{Sym}(X)</math> można nazywać działaniem grupy na zbiorze.

Działanie to przypisuje każdemu elementowi grupy [[permutacja|permutację]] <math>X</math> w taki sposób, że
* permutacją <math>X</math> odpowiadającą [[element neutralny|elementowi neutralnemu]] <math>G</math> jest [[Funkcja tożsamościowa|odwzorowanie tożsamościowe]] <math>X;</math>
* permutacją <math>X</math> odpowiadającą iloczynowi <math>gh</math> dwóch elementów tej grupy jest [[złożenie funkcji|złożenie]] permutacji przypisanych do <math>g</math> oraz <math>h.</math>

Ponieważ każdy element w <math>G</math> reprezentowany jest jako permutacja, działanie grupy nazywa się także '''reprezentacją permutacyjną'''<ref group="uwaga">Dowolne działanie grupy <math>G</math> na [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] (czyli homomorfizm <math>G \to \mathrm{GL}</math> w [[pełną grupę liniową]]) nazywa się ''[[Reprezentacja grupy|reprezentacją]]'' tej grupy; przykładem może być grupa [[Macierz odwrotna|macierzy odwracalnych]] (działająca na <math>\mathbb R^n</math>). [[Grupa permutacji]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math> również działa na <math>\mathbb R^n.</math> Przekształcenie <math>G \to \operatorname{Sym}_B</math> nazywane jest ''reprezentacją permutacyjną'' skojarzoną z danym działaniem, ponieważ <math>B</math> może wtedy pełnić rolę [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazy]] przestrzeni liniowej: <math>\varphi_g</math> są wówczas [[Permutacja|macierzami permutacji]] (pojedyncza 1 w każdym wierszu i każdej kolumnie).</ref>.

=== Działania lewo- i prawostronne ===
Analogicznie można zdefiniować '''prawostronne działanie grupy''' <math>G</math> na <math>X</math> jako funkcję <math>X \times G \to X</math> spełniającą aksjomaty
* <math>x \cdot (gh) = (x \cdot g) \cdot h;</math>
* <math>x \cdot e = x.</math>

Różnicą między działaniami lewostronnym i prawostronnym jest kolejność w jakiej iloczyn <math>gh</math> działa na <math>x.</math> W działaniu lewostronnym najpierw działa <math>h,</math> a potem <math>g,</math> zaś w prawostronnym wpierw działa <math>g,</math> a następnie <math>h.</math> Działanie lewostronne może być otrzymane z prawostronnego za pomocą złożenia z operacją odwracania z grupy. Jeżeli <math>\mathcal P</math> jest działaniem prawostronnym, to
: <math>\mathcal L\colon G \times X \to X; (g, x) \mapsto \mathcal P(x, g^{-1})</math>

jest działaniem lewostronnym, ponieważ
: <math>\begin{align} \mathcal L(gh, x) & = \mathcal P(x, (gh)^{-1}) = x \cdot (h^{-1} g^{-1}) \\ & = (x \cdot h^{-1}) \cdot g^{-1} = \mathcal L(h, x) \cdot g^{-1} = \mathcal L(g, \mathcal L(h, x)) \end{align}</math>

oraz
: <math>\mathcal L(e, x) = \mathcal P(x, e^{-1}) = x \cdot e = x.</math>

Podobnie można przekształcić każde działanie lewostronne w prawostronne. Stąd w dalszej części rozważane będą wyłącznie lewostronne działania grupy, ponieważ działania prawostronne nic nie dodają.

== Przykłady ==
* Działanie trywialne dowolnej grupy <math>G</math> jest określone jako <math>g \cdot \mathrm x = \mathrm x</math> dla wszystkich <math>g \in G</math> oraz wszystkich <math>\mathrm x \in X,</math> tj. cała grupa <math>G</math> indukuje permutację tożsamościową na <math>X.</math>
* Jeżeli <math>X</math> jest niepustym zbiorem, a <math>G = \operatorname{Sym}(X),</math> to odwzorowanie <math>\operatorname{Sym}(X) \times X \to X</math> dane wzorem <math>(\sigma, \mathrm x) = \sigma \cdot \mathrm x</math> jest działaniem grupy na zbiorze. Zapis <math>\sigma(\mathrm x)</math> wydaje się tym bardziej naturalny, ponieważ działaniu temu odpowiada homomorfizm [[funkcja tożsamościowa|identycznościowy]]; jest to „największe” działanie grupy na tym zbiorze, gdyż składa się z wszystkich jego permutacji. W szczególności [[Grupa permutacji|grupa symetryczna]] <math>\operatorname S_n</math> i jej [[podgrupa|podgrupy]] działają na zbiorze skończonym <math>\{1, 2, \dots, n\}</math> permutując jego elementy.
* [[Grupa symetrii]] dowolnego obiektu geometrycznego działa na zbiorze jego punktów, w szczególności grupa symetrii wielościanu działa na jego zbiorze wierzchołków (a także na zbiorze jego ścian).

== Stabilizator, orbita, punkt stały ==
Nazwy te nawiązują do intuicji astronomicznych/geometrycznych dotyczących badania ruchów. ''Stabilizator elementu'' należącego do zbioru to zbiór elementów grupy, które nie „poruszają” elementu, stąd ''stabilizator'' całego zbioru to te elementy, które „nie poruszają” elementów zbioru (''stabilizują'' je). Inną nazwą stabilizatora jest ''grupa izotropii'' (''isos'' – równy, jednakowy, ''trópos'' – zwrot, obrót, zob. [[izotropowość|izotropia]]). ''Punkty stałe'' to punkty, które nie są „poruszane” przez żaden element grupy, czyli stabilizowane przez całą grupę.

''Orbita'' to zbiór punktów, do których można przejść z danego punktu przy działaniu grupy. Same orbity są rozłączne, a punkty mogą przechodzić wyłącznie na punkty należące do tej samej orbity (każdy punkt należy do pewnej orbity). Jeżeli działanie wyróżnia na zbiorze tylko jedną orbitę (dowolny punkt może przejść na każdy inny), to działanie nazywa się ''tranzytywnym.'' Jeśli wyłącznie element neutralny grupy stabilizuje zbiór, to działanie nazywa się ''wiernym'' lub ''efektywnym''.

=== Definicje ===
Niech grupa <math>G</math> działa na zbiorze <math>X</math> oraz <math>x \in X.</math> Zapis działania <math>g \cdot x</math> zostanie zarzucony na rzecz <math>g(x),</math> co uwydatni sens oznaczeń poszczególnych obiektów.

Zbiór
: <math>G(x) = \{g(x) \colon\, g \in G\}</math>

nazywa się '''orbitą''' elementu (wyznaczaną przez element) <math>x</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3951560 | tytuł = orbita | data dostępu = 2021-10-16 }}</ref>; czasami oznacza się go również po prostu <math>Gx</math> (w nawiązaniu do oznaczenia działania jako <math>gx</math>).

Zbiór wszystkich orbit w <math>X</math> ze względu na działanie grupy <math>G</math> zapisuje się symbolem <math>X/G</math> i nazywa '''ilorazem''' działania; w kontekście geometrycznym obiekt ten może być nazywany '''przestrzenią orbit'''.

Zbiór
: <math>G_x = \{g \in G\colon\, g(x) = x\}</math>

nazywa się '''stabilizatorem''' bądź '''grupą izotropii''' elementu <math>x,</math> który oznacza się również symbolem <math>\operatorname{Stab}(x).</math> Zbiór wszystkich stabilizatorów elementów zbioru <math>X</math> nazywa się '''stabilizatorem (zbioru)''' bądź '''grupą izotropii (zbioru)''' i oznacza <math>G_X</math> lub <math>\operatorname{Stab}(X).</math>

Punkt <math>x</math> nazywa się '''punktem stałym''', jeżeli spełnia on warunek
: <math>G(x) = \{x\},</math> czyli <math>g(x) = x</math> dla każdego <math>g \in G,</math>

co jest równoważne
: <math>G_x = G.</math>

Zbiór [[Punkt stały|punktów stałych]] wyznaczanych przez element <math>g</math> oznacza się <math>X^g,</math> a zbiór wszystkich punktów stałych jest zapisywany jako <math>X^G.</math>

=== Własności ===
; Orbity
Własności grupy gwarantują, że zbiór orbit w <math>X</math> tworzy [[Rozbicie zbioru|podział]] tego zbioru ze względu na działanie grupy <math>G.</math> [[Relacja równoważności]] wyznaczająca ten podział dana jest wzorem
: <math>x \sim y \iff \exists_{g \in G}\; g(x) = y,</math>

a orbity są [[relacja równoważności|klasami abstrakcji]] tej relacji, a więc dwa elementy są uważane za równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy oba wyznaczają tę samą orbitę (leżą w jednej orbicie), tzn. <math>G(x) = G(y).</math>

; Stabilizatory
Stabilizator <math>G_x</math> punktu <math>x</math> jest [[podgrupa|podgrupą]] w <math>G.</math> Wynika to z faktu, iż wraz ze stałą na pewnym punkcie bijekcją wyznaczaną przez dany element do stabilizatora należy bijekcja do niej odwrotna, która również jest stała na pewnym punkcie oraz tego, iż złożenie dwóch bijekcji stałych na danym punkcie również jest stałe na tym punkcie. Zwykle nie jest to jednak podgrupa normalna. Grupa <math>G</math> działa na <math>X</math> w sposób wolny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie stabilizatory są [[Podgrupa#Definicja|trywialne]].

Stabilizator <math>\operatorname{Stab}(X)</math> całego zbioru to [[Część wspólna|przecięcie]] wszystkich stabilizatorów elementów tego zbioru, gdyż przecięcie podgrup danej grupy również jest jej podgrupą. Tłumaczy to nazwę „grupa izotropii”.

Stabilizator zbioru <math>X</math> można zdefiniować jako zbiór <math>\{g \in G\colon\, \forall_{x \in X}\; g(x) = x\}.</math> Innymi słowy są to te elementy grupy <math>g,</math> które wyznaczają przekształcenia tożsamościowe na zbiorze <math>X,</math> czyli <math>\varphi_g = \operatorname{id}.</math> Wynika stąd, że <math>\operatorname{Stab}(X)</math> jest [[podgrupa normalna|podgrupą normalną]] w <math>G</math> jako [[homomorfizm grup#Jądro i obraz|jądro]] homomorfizmu <math>\varphi\colon G \to \operatorname{Sym}(X).</math>

=== Twierdzenie ===
Niech będzie dane dla ustalonego <math>x \in X</math> przekształcenie <math>G \to X</math> dane wzorem <math>g \mapsto g(x).</math> [[Obraz (matematyka)|Obrazem]] tego odwzorowania jest orbita wyznaczana przez punkt <math>x,</math> a [[Twierdzenie o izomorfizmie#Pierwsze twierdzenie|koobraz]] jest zbiorem wszystkich [[warstwa (teoria grup)|warstw]] lewostronnych stabilizatora <math>G_x.</math> Zwykłe twierdzenie o ilorazie [[Teoria grup|teorii grup]] daje naturalną [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcję]] między [[grupa ilorazowa|grupą ilorazową]] <math>G/G_x</math> a <math>G(x).</math> Bijekcja ta dana jest wzorem <math>hG_x \mapsto h(x).</math> Wynik ten znany jest w literaturze angielskiej jako „twierdzenie o orbitach i stabilizatorach” (ang. ''orbit-stabilizer theorem'') lub „twierdzenie o klasyfikacji ''G''-orbit” (ang. ''classification of ''G''-orbits'').

=== Wnioski ===
; Zliczanie elementów
Powyższe twierdzenie wraz z [[twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)|twierdzeniem Lagrange’a]] daje
: <math>|G(x)| = [G \colon G_x].</math>

Dla <math>G</math> i <math>X</math> skończonych dodatkowo zachodzi
: <math>|G(x)| = [G \colon G_x] = |G| / |G_x|.</math>

Wynik ten stosuje się szczególnie często podczas zliczania elementów zbioru.

; Sprzężenie stabilizatorów
Należy zauważyć, że jeżeli dwa elementy <math>x, y</math> należą do tej samej orbity, to ich podgrupy stabilizujące <math>G_x, G_y</math> są [[izomorfizm|izomorficzne]] (lub [[klasa sprzężoności|sprzężone]]). Dokładniej: jeśli <math>y = g(x),</math> to <math>G_y = g G_x g^{-1}.</math> O punktach mających sprzężone podgrupy stabilizujące mówi się, że mają ten sam ''typ orbity''.

; [[Lemat]] Burnside’a
Wynikiem blisko związanym z powyższym twierdzeniem jest [[lemat Burnside’a]]:
: <math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \left|X^g\right|,</math>

gdzie <math>X^g</math> to zbiór punktów stałych wyznaczanych przez element <math>g.</math> Z wyniku tego korzysta się głównie, gdy tak <math>G,</math> jak i <math>X</math> są skończone, można go wówczas interpretować następująco: liczba orbit jest równa średniej liczbie punktów stałych przypadających na jeden element grupy.

Zbiór różnic formalnych skończonych <math>G</math>-zbiorów tworzy [[pierścień (matematyka)|pierścień]] nazywany [[pierścień Burnside’a|pierścieniem Burnside’a]], gdzie dodawanie odpowiada [[suma rozłączna|sumie rozłącznej]], a mnożenie [[iloczyn kartezjański|iloczynowi kartezjańskiemu]].

== Rodzaje ==
Działanie grupy <math>G</math> na zbiorze <math>X</math> jest:
* '''przechodnie''' lub '''tranzytywne''', jeżeli dla dowolnych punktów <math>x, y \in X</math> istnieje element <math>g \in G</math> taki, że <math>y = g(x),</math> czyli zbiór zawiera wyłącznie jedną orbitę.
** '''ściśle przechodnie (tranzytywne)''', jeżeli wspomniane <math>g</math> jest dokładnie jedno; jest to równoważne niżej zdefiniowanej regularności.
* '''''n''-przechodnie (''n''-tranzytywne)''', jeżeli dla dowolnych parami różnych <math>x_1, \dots, x_n</math> i parami różnych <math>y_1, \dots, y_n</math> istnieje takie <math>g(x_k) = y_k</math> dla <math>k = 1, \dots, n.</math> Działanie 2-przechodnie (2-tranzytywne) nazywa się czasami ''dwukrotnie przechodnim (tranzytywnym)'', 3-przechodnie (3-tranzytywne) – ''trzykrotnie przechodnim (tranzytywnym)'' itd.
** '''ściśle ''n''-przechodnie (tranzytywne)''', jeśli istnieje dokładnie jedno takie <math>g.</math>
* '''wierne''' bądź '''efektywne''', jeżeli dla dowolnych dwóch różnych <math>g, h \in G</math> istnieje <math>x \in X</math> taki, że <math>g(x) \ne h(x);</math> równoważnie: jeżeli dla dowolnego <math>e \ne g \in G</math> istnieje <math>x \in X</math> taki, że <math>g(x) \ne x;</math> intuicyjnie: różne elementy <math>G</math> indukują różne permutacje <math>X.</math>
* '''wolne''', jeżeli dla dowolnych dwóch różnych <math>g, h \in G</math> i wszystkich <math>x \in X</math> zachodzi <math>g(x) \ne h(x);</math> równoważnie, jeżeli <math>g(x) = x</math> dla pewnego <math>x,</math> to <math>g = e.</math>
* '''regularne''', jeżeli jest zarazem przechodnie i wolne; jest to równoważne warunkowi, iż dla każdych dwóch <math>x, y \in X</math> istnieje dokładnie jedno <math>g \in G</math> takie, że <math>g(x) = y.</math> W tym przypadku o <math>X</math> mówi się, że jest [[główna przestrzeń jednorodna|główną przestrzenią jednorodną]] lub że jest <math>G</math>-torsorem.
* '''lokalnie wolne''', jeżeli <math>G</math> jest [[grupa topologiczna|grupą topologiczną]] i istnieje [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczenie]] <math>U</math> elementu <math>e \in G</math> takie, że ograniczenie działania do <math>U</math> jest wolne; to znaczy, jeżeli <math>g(x) = x</math> dla pewnego <math>x</math> i pewnego <math>g \in U,</math> to <math>g = e.</math>

Każde działanie wolne na niepustym zbiorze jest wierne. Grupa działa wiernie na <math>X</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jego stabilizator jest [[Grupa trywialna|trywialny]], tzn. homomorfizm <math>G \to \operatorname{Sym}(X)</math> opisujący działanie ma trywialne jądro, czyli jest monomorfizmem (zanurzeniem). Stąd przy wiernym działaniu grupa <math>G</math> jest izomorficzna z [[grupa permutacji|grupą permutacji]] w <math>X;</math> w szczególności <math>G</math> jest izomorficzna z własnym obrazem w <math>\operatorname{Sym}(X).</math>

Jeżeli <math>G</math> nie działa wiernie na <math>X,</math> można w łatwy sposób zmodyfikować grupę tak, by uzyskać działanie wierne. [[Grupa ilorazowa]] <math>G/\operatorname{Stab}(X)</math> działa wiernie na <math>X</math> według wzoru <math>\big(g\operatorname{Stab}(X)\big)(x) = g(x).</math> Pierwotne działanie <math>G</math> na <math>X</math> jest wierne wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\operatorname{Stab}(X) = \{e\}.</math>

== Porównywanie ==
Niech <math>G</math> oraz <math>H</math> działają odpowiednio na zbiorach <math>X</math> oraz <math>Y.</math> '''Podobieństwem''' między <math>G</math> a <math>H</math> nazywa się [[para uporządkowana|parę]] <math>(\varphi, f)</math> złożoną z [[izomorfizm]]u <math>\varphi\colon G \to H</math> oraz [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcji]] <math>f\colon X \to Y</math> związanych ze sobą wzorem
: <math>f\varphi_g = gf</math>

gdzie <math>\varphi_g\colon H \to Y</math> dla <math>g \in G,</math> tzn. dla dowolnego <math>x \in X</math> zachodzi
: <math>f(\varphi_g (x)) = g \cdot f(x).</math>

Jeśli <math>X = Y,</math> to <math>\varphi_g = f^{-1}gf,</math> tzn. dla <math>x \in X</math> jest
: <math>\varphi_g(x) = f^{-1}\Big(g \cdot f(x)\Big),</math>

przy czym <math>f \in \operatorname{Sym}(X).</math> W ten sposób grupy <math>G</math> i <math>H</math> działające na <math>X</math> są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy pewien automorfizm <math>f \in \operatorname{Sym}(X)</math> wyznacza sprzężenie <math>G</math> oraz <math>H</math> (por. [[#Działanie grupy na sobie|działanie grupy na sobie]]).

Podobieństwo jest relacją mocniejszą od izomorfizmu, czego przykładem mogą być grupy
: <math>G = \Big\langle(1, 2)(3, 4)\Big\rangle</math> oraz <math>H = \Big\langle(1, 2)(3)(4)\Big\rangle,</math>

które są izomorficzne jako [[grupa (matematyka)|grupy abstrakcyjne]] (generują [[grupa czwórkowa Kleina|grupę czwórkową Kleina]]), lecz nie są podobne jako grupy permutacji.

Jeśli <math>G = H,</math> to można przyjąć, że <math>\varphi = \operatorname{id}\colon G \to G,</math> tzn. <math>\varphi_g = g,</math> co upraszcza powyższą definicję: jeżeli istnieje bijekcja <math>f\colon X \to Y</math> taka, że
: <math>f\left(g \cdot x\right) = g \cdot f(x)</math> dla wszystkich <math>x \in X</math> oraz <math>g \in G,</math>

to zbiory <math>X</math> oraz <math>Y</math> nazywa się '''<math>G</math>-izomorficznymi'''.

== Zastosowania ==
=== Reprezentacja grupy ===
{{osobny artykuł|reprezentacja grupy}}
[[Macierz]] <math>A</math> kwadratowa stopnia <math>n \in \mathbb N</math> nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> wyznacza [[przekształcenie liniowe]] [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] <math>K^n</math> w siebie. [[Pełna grupa liniowa|Pełną grupę liniową]] <math>\operatorname{GL}(n, K)</math> można traktować zatem jako grupę przekształceń zbioru <math>K.</math> Każdy homomorfizm <math>\varphi\colon G\to \operatorname{GL}(n, K)</math> wyznacza działanie grupy <math>G</math> na przestrzeni <math>K^n.</math> Działania te nazywa się '''reprezentacjami''' grupy <math>G</math> w przestrzeni <math>K^n.</math> Jeśli <math>\varphi</math> jest różnowartościowy, to reprezentację nazywa się '''wierną'''.

=== Działania grupy na sobie ===
{{osobny artykuł|klasa sprzężoności|centralizator i normalizator|o2=centralizator oraz normalizator}}
Działanie dowolnej grupy <math>G</math> na sobie przez mnożenie z lewej strony jest regularne, a więc i wierne. Każda grupa może być więc zanurzona w grupie symetrycznej własnych elementów <math>\operatorname{Sym}(G).</math> Jest to wynik znany jako [[twierdzenie Cayleya]].

Innym ważnym działaniem grupy na sobie, bardzo pomocnym podczas badania jej struktury, jest działanie poprzez tzw. [[automorfizm#Automorfizmy wewnętrzne|automorfizmy wewnętrzne (sprzężenia)]], określone wzorem
: <math>g \cdot x = gxg^{-1}.</math>

Automorfizm <math>a_x(g) = gxg^{-1}</math> zapisywany jest też często jako <math>x^g,</math> gdyż zachowuje się on, zgodnie ze swoim oznaczeniem, tak jak [[Potęgowanie|potęga]].

Orbitami tego działania są zbiory <math>x^G = \{x^g\colon\, g \in G\}</math> nazywane '''klasami sprzężoności (klasami elementów sprzężonych)''', natomiast stabilizator <math>G_x = \{g \in G\colon\, gxg^{-1} = x\}</math> nazywa się '''centralizatorem''' elementu <math>x</math> i oznacza <math>\operatorname C_G(x)</math> lub krótko: <math>\operatorname Z(x);</math> są to wszystkie elementy grupy <math>G</math> przemienne z elementem <math>x.</math> Stabilizator <math>\operatorname C_G(G)</math> całego zbioru nazywa się '''[[centralizator i normalizator|centrum]]''' grupy i oznacza się symbolem <math>\operatorname Z(G);</math> są to te elementy, które są przemienne z dowolnym elementem grupy.

=== Równanie klas ===
Niech <math>G</math> będzie grupą skończoną działającą na zbiorze skończonym <math>X,</math> a <math>x_1, \dots, x_n</math> będą reprezentantami wszystkich orbit w zbiorze <math>X.</math> Ponieważ zbiór <math>X</math> rozpada się na rozłączne orbity:
: <math>X = \bigcup_{i=1}^n~G_{x_i},</math>

to prawdą jest, iż [[moc zbioru]] <math>X</math> jest równa sumie mocy poszczególnych orbit, czyli sumie [[warstwa (teoria grup)|indeksów]] stabilizatorów w grupie (zob. [[Działanie grupy na zbiorze#Wnioski|wniosek]]):
: <math>|X| = \sum_{i=1}^n~[G \colon G_{x_i}].</math>

Równanie to nazywa się często '''równaniem klas''', można je wyprowadzić wprost z [[#Twierdzenie|twierdzenia o stabilizatorach i orbitach]]. Równanie klas jest narzędziem dowodzenia wielu twierdzeń w teorii grup skończonych. Można je wykorzystać także w dowodzie [[Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)|twierdzenia Cauchy’ego]] i [[twierdzenie Sylowa|twierdzenia Sylowa]] (zob. [[Klasa sprzężoności#Równanie klas sprzężoności|zastosowania równania dla klas sprzężoności]]).

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* A. Bojanowska, P. Traczyk, ''Algebra I'', Skrypt WMIM, 2005.
* Cz. Bagiński, ''Wstęp do teorii grup'', SCRIPT, 2005, {{ISBN|83-904564-9-4}}.
* {{cytuj książkę|nazwisko=Białynicki-Birula|imię=Andrzej|autor link=Andrzej Białynicki-Birula|tytuł=Zarys algebry|miejsce=Warszawa | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | rok = 1987 }}

{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Teoria grup]]
[[Kategoria:Geometria]]