Tekst źródłowy strony Działanie algebraiczne

{{spis treści}}
'''Działanie algebraiczne''' ('''operacja algebraiczna''') – przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów (nazywanych ''[[Dziedzina (matematyka)|argumentami]]'' lub ''operandami'') '''jednego elementu''' (nazywanego ''wynikiem'').

Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne [[Obiekt matematyczny|obiekty matematyczne]]: [[Liczba|liczby]] (skalary), [[wektor]]y, [[macierz]]e, [[tensor]]y, [[Algebra ogólna|algebry]], [[Zdanie logiczne|zdania logiczne]], [[Funkcja|funkcje]] itp.

Do podstawowych działań algebraicznych należą tradycyjne [[Arytmetyka elementarna|działania arytmetyczne]] (tj. działania na liczbach)<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Działanie | id = 3895660 | data dostępu = 2021-07-22}}</ref>, jak dodawanie, [[odejmowanie]], mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, pierwiastkowanie. Działania te – odpowiednio zdefiniowane – mogą być wykonane także na [[macierz]]ach, [[Wyrażenie algebraiczne|wyrażeniach algebraicznych]]<ref>William Smyth, ''Elementary algebra: for schools and academies'', Publisher Bailey and Noyes, 1864, [https://books.google.com/books?id=BqQZAAAAYAAJ&lpg=PA55&ots=ex07zH_ljg&dq=%22Algebraic%20operations%22&pg=PA55#v=onepage&q=%22Algebraic%20operations%22&f=false „Algebraic Operations”].</ref>, czy na innych elementach [[Struktura matematyczna|struktury algebraicznej]], jak [[Grupa (matematyka)|grupy]] czy [[Pole (fizyka)|pola]]<ref>Horatio Nelson Robinson, ''New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies'', Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [https://books.google.com/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary%20algebra%20notation&pg=PA7#v=onepage&q=Elementary%20algebra%20notation&f=false page 7].</ref>. Działaniem algebraicznym jest też obliczanie iloczynu skalarnego, obliczanie potęgi całkowitej i wymiernej.

Działaniem algebraicznym nie jest zaś np. obliczanie [[Pochodna funkcji|pochodnej funkcji]].

Ze względu na liczbę argumentów wyróżnia się:
* [[Działanie zeroargumentowe|działania zeroargumentowe]] – mają zero argumentów,
* [[Działanie jednoargumentowe|działania jednoargumentowe]] (unarne),
* [[Działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]] (binarne).

[[Dziedzina (matematyka)|Dziedziną]] działania jest [[iloczyn kartezjański]] zbiorów, z których bierze się argumenty.

[[Przeciwdziedzina|Przeciwdziedziną]] działania jest zbiór, w którym znajdują się wyniki działania.

Działanie z każdym elementem dziedziny wiąże dokładnie jeden element przeciwdziedziny.

Dany zbiór z określonymi na nim działaniami algebraicznymi nazywa się [[Algebra ogólna|algebrą ogólną]] (krótko: algebrą). Działania zdefiniowane na tym zbiorze nazywa się „sygnaturą”. Badaniem działań w najogólniejszym sensie zajmuje się [[algebra uniwersalna]].

== Definicja działania ==
(1) '''Definicja: Działanie''' <math>\omega</math> to [[funkcja]] postaci
: <math>\omega\colon X_1 \times \ldots \times X_n \to Y.</math>

(2) Zbiór <math>X_1 \times \ldots \times X_n</math> nazywa się ''dziedziną'' działania.

(3) Zbiór <math>Y</math> nazywa się ''przeciwdziedziną'' działania.

(4) Liczbę argumentów <math>n</math> nazywa się ''typem'', ''arnością'' lub ''[[Argumentowość|argumentowością]]'' działania:
* działanie jednoargumentowe ma argumentowość / arność równą <math>1,</math>
* działanie dwuargumentowe ma argumentowość / arność <math>2,</math>
* działanie zeroargumentowe jest po prostu elementem przeciwdziedziny <math>Y,</math>
* działanie o arności <math>n</math> nazywa się działaniem <math>n</math>-arnym lub <math>n</math>-argumentowym.

Np. dodawanie w zbiorze liczb rzeczywistych to działanie 2-argumentowe, której dziedziną jest iloczyn kartezjański <math>R \times R,</math> tj.
: <math>+\colon R \times R \to R.</math>

'''Uwaga:'''

Powyższa definicja działania obejmuje tzw. działania ''skończone'', tzn. odnosi się do skończonej liczby argumentów. Istnieją rozszerzenia, w których argumentowość jest nieskończoną [[Liczby porządkowe|liczbą porządkową]] lub [[Moc zbioru|kardynalną]], a nawet dowolnym zbiorem indeksującym argumenty.

== Typy argumentów / wyników działań ==
Argumentami i wynikami działań mogą być dowolne [[Obiekt matematyczny|obiekty matematyczne]]: liczby (skalary), wektory, macierze, tensory, algebry itp. W zależności od rodzaju argumentów i wyników można zdefiniować różne działania, np.
* '''działania na liczbach''' (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie)
* '''działania na [[wektor]]ach''' ([[Wektor|dodawanie]], odejmowanie, [[Iloczyn skalarny|mnożenie skalarne]] wektorów, [[Iloczyn wektorowy|mnożenie wektorowe]], mnożenie wektora przez skalar)
* '''działania na [[Zbiór|zbiorach]]:'''
** działania jednoargumentowe, np. znajdowanie ''[[Dopełnienie zbioru|dopełnienia]]'' zbioru
** działania dwuargumentowe, np. tworzenie ''[[Suma zbiorów|sumy]]'' i ''[[Część wspólna|iloczynu zbiorów]]''
* '''działania na [[Zdanie logiczne|zdaniach logicznych]]:'''
** jednoargumentowe: ''[[negacja]]'' („nie”)
** dwuargumentowe: ''[[Koniunkcja (logika)|koniunkcja]]'' („i”), ''[[alternatywa]]'' („lub”), implikacja, równoważność
* '''działania na [[macierz]]ach:'''
** działania wewnętrzne (wynikiem działania jest macierz)
*** [[dodawanie macierzy]]
*** [[mnożenie macierzy]]
*** mnożenie przez skalar
*** podnoszenie do potęgi
*** znajdowanie [[Macierz odwrotna|macierzy odwrotnej]]
*** znajdowanie [[Eksponenta macierzy|eksponenty macierzy]]
** działania zewnętrzne (wynikiem działania jest skalar)
*** znajdowanie [[Ślad (algebra liniowa)|śladu]] macierzy
*** znajdowanie [[wyznacznik]]a macierzy
* '''działania na [[funkcja]]ch:'''
** przyporządkowanie funkcji liczby ('''[[funkcjonał]]'''), np. [[całka oznaczona]]
** dodawanie funkcji <math>f+g</math>
** mnożenie funkcji <math>f\cdot g</math>
** [[Złożenie funkcji|składanie]] funkcji, [[Splot (analiza matematyczna)|splot]] funkcji

– w wyniku ostatnich 3 działań otrzymuje się inną funkcję.

Np. za pomocą mnożenia macierzy opisujących [[Obrót|obroty]] otrzymuje się macierz odpowiadającą jakiemuś innemu obrotowi

== Działanie jako operator i relacja ==
(1) Działanie jest rodzajem [[operator]]a. Można mówić „operator dodawania” – wyrażenie to podkreśla, iż działanie jest pewną operacją abstrakcyjną, funkcją,

(2) Działanie <math>n</math>-argumentowe jest <math>(n+1)</math>-argumentową [[Relacja (matematyka)|relacją]], która jest funkcyjna na swoich pierwszych <math>n</math> dziedzinach.

== Własności działań ==
Działania mogą przejawiać pewne szczególne własności, np.
* [[alternatywność]],
* [[antyprzemienność]],
* [[idempotentność]],
* [[łączność (matematyka)|łączność]],
* [[przemienność]],
* itp.

Im więcej własności mają działania w danym zbiorze, tym zbiór tworzy bardziej subtelną strukturę algebraiczną.

== Działania wewnętrzne i zewnętrzne ==
(1) '''Działanie wewnętrzne''' – funkcja, która przyporządkowuje ''n'' elementom danego zbioru jeden element tego zbioru; dziedziną jest [[iloczyn kartezjański]] jednej lub większej liczby egzemplarzy przeciwdziedziny<ref>Zob. np. rozdz. II, def. 1.1, w: S.N. Burris i H.P. Sankappanavar, ''[http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra]'', Springer, 1981.</ref>; mówi się wtedy, że zbiór jest ''zamknięty'' ze względu na to działanie.

(2) '''Działanie zewnętrzne''' – funkcja, które przyporządkowują ''n'' elementom danego zbioru jeden element innego zbioru (zob. ''[[#Przykłady|Przykłady]]'').

== Symbole działań ==
=== Znak mnożenia ===
Kiedy nie ma operatora pomiędzy zmiennymi lub wyrażeniami, albo kiedy występuje znak „<math>\times</math>”, implikowany jest symbol mnożenia.

Np. <math>3\times x^2</math> pisane jest jako <math>3x^2,</math> a <math>2 \times x \times y</math> jako <math>2xy</math><ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=nL5ObMmDvPEC |tytuł = Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook |wydawca = Panpac Education Pte Ltd |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9789812738820 |język = en |s = 68}}</ref>.

Czasami symbole mnożenia zastępowane są przez kropkę, więc <math>x \times y</math> pisane jest jako <math>x\cdot y.</math>

W nieformatowanych dokumentach, [[Język programowania|językach programowania]] i [[kalkulator]]ach do definiowania mnożenia używa się symbolu pojedynczej gwiazdki, na przykład działanie <math>3x</math> pisane jest jako <math>3 * x</math><ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=JAXNVaPt7uQC |tytuł = Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others |wydawca = Mathematical Association of America |data = 2004-01-01 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9780883857366 |język = en |autor = William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa |s = 75}}</ref>.

=== Znak dzielenia ===
W działaniach dzielenia zamiast [[Znak dzielenia|znaku dzielenia]] „<math>\div</math>”, korzysta się z poziomej linii, na przykład <math>\frac{2}{x + 4}.</math>

W tekstach nieformatowanych oraz w [[Język programowania|językach programowania]] używa się [[ukośnik]]a, np. <math>5/(x+4).</math>

=== Znak potęgi ===
Wykładniki potęg zapisywane są w [[Indeks górny|indeksie górnym]] po prawej stronie podstawy, np. <math>x^2.</math>

W tekstach nieformatowanych i w języku znaczników [[TeX]] symbolem [[Kareta (znak)|karety]] ^ oznacza się wykładniki potęg, dlatego <math>x^2</math> pisane jest jako x^2<ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=zQa5I2sHPKEC |tytuł = Dictionary of Information Technology |wydawca = Laxmi Publications, Ltd. |data = 2010-01-01 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9789380298153 |język = en |autor = Ramesh Bangia |s = 212}}</ref><ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=mLdg5ZdDKToC |tytuł = First Steps in LaTeX |wydawca = Springer Science & Business Media |data = 1999-10-01 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9780817641320 |język = en |autor = George Grätzer |s = 17}}</ref>.

W językach programowania takich jak [[Ada (język programowania)|Ada]]<ref>{{Cytuj |url = https://books.google.co.uk/books?id=694P3YtXh-0C&lpg=PA718&ots=O_EgQ75FeB&dq=ada%2520%2520asterisk&pg=PA12#v=onepage&q=double%2520star%2520exponentiate&f=false |tytuł = Ada 2005 Reference Manual. Language and Standard Libraries: International Standard ISO/IEC 8652/1995(E) with Technical Corrigendum 1 and Amendment 1 |wydawca = Springer Science & Business Media |data = 2006-12-22 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9783540693352 |język = en |autor = S. Tucker Taft |s = 13}}</ref>, [[Fortran]]<ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=WYMgF9WFty0C |tytuł = Fortran 77 and Numerical Methods |wydawca = New Age International |data = 1994-01-01 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9788122406702 |język = en |autor = C. Xavier |s = 20}}</ref>, [[Perl]]<ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=l2IwEuRjeNwC |tytuł = Learning Perl |wydawca = O’Reilly Media, Inc. |data = 2011-06-16 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9781449313142 |język = en |autor = Randal L. Schwartz, brian d foy, Tom Phoenix |s = 24}}</ref>, [[Python]]<ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=754knV_fyf8C |tytuł = Python Power!: The Comprehensive Guide |wydawca = Course Technology PTR |data = 2008-01-01 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9781598631586 |język = en |autor = Matthew A. Telles |s = 46}}</ref> i [[Ruby (język programowania)|Ruby]]<ref>{{Cytuj |url = https://books.google.com/books?id=kq2dBNdAl3IC |tytuł = Ruby by Example: Concepts and Code |wydawca = No Starch Press |data = 2007-01-01 |data dostępu = 2015-12-20 |isbn = 9781593271480 |język = en |autor = Kevin C. Baird |s = 72}}</ref> używa się podwójnej gwiazdki, więc <math>x^2</math> zapisuje się jako <math>x ** 2.</math>

=== Znak plus-minus ===
Znak [[Znak plus-minus|plus-minus]], <math>\pm,</math> używa się jako skrótu do zapisywania dwóch wyrażeń za pomocą jednego, określając jedno wyrażenie ze znakiem dodawania, a drugie ze znakiem odejmowania. Przykładowo <math>y = x \pm 1</math> przedstawia dwa równania <math>y = x + 1</math> oraz <math>y = x - 1.</math> Czasami plus-minus wykorzystywany jest do zapisu dodatniego lub ujemnego wyrażenia tak jak <math>\pm x.</math>

== Przykłady ==
=== Działania zeroargumentowe ===
[[Element neutralny]] działania (o ile istnieje) jest działaniem zeroargumentowym.

Np.
* [[0|zero]] względem dodawania dla
** [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] (''[[monoid]]''),
** [[Liczby całkowite|całkowitych]] ('' [[Pierścień (matematyka)|pierścień]]''),
** [[Liczby wymierne|wymiernych]], [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]], [[Liczby zespolone|zespolonych]] ('' [[Ciało (matematyka)|ciała]]''),

* [[1 (liczba)|jedynka]] względem mnożenia dla
** dodatnich liczb naturalnych (''[[półgrupa]]''),
** liczb całkowitych (''[[pierścień z jedynką]]''),
** wymiernych, rzeczywistych, zespolonych (ciała),
** w [[Kwaterniony|kwaternionach]] (''[[pierścień z dzieleniem]]''),
* [[wektor zerowy]] (dla dodawania) w przypadku ''[[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]]'' czy ''[[Algebra nad ciałem|algebr liniowych]]''

=== Działania jednoargumentowe ===
Za działania jednoargumentowe można uważać funkcje ustalonego zbioru w siebie, np. [[Silnia|silnię]], [[funkcje trygonometryczne]], [[Funkcja wykładnicza|funkcję wykładniczą]] (o ustalonej podstawie), [[potęgowanie]] (przy ustalonym wykładniku) i [[pierwiastkowanie]] (ustalonego stopnia).

=== Działania dwuargumentowe ===
[[Element odwrotny]] względem działania dwuargumentowego w dowolnej strukturze algebraicznej (o ile istnieje) jest działaniem jednoargumentowym.

Np. w dowolnej [[Grupa (matematyka)|grupie]] (w tym dodawania w pierścieniach, ciałach, przestrzeniach liniowych czy mnożenia w ciałach; zob. [[grupa addytywna]], [[grupa multiplikatywna]]).

Działania dwuargumentowe są zasadniczym przedmiotem badań algebry uniwersalnej; strukturę złożoną ze zbioru i działania dwuargumentowego na nim określonego nazywa się [[grupoid]]em. Nałożenie dodatkowych warunków na działanie daje inne struktury.

=== Zbiory z jednym działaniem ===
* [[półgrupa]] – grupoid z działaniem [[łączność (matematyka)|łącznym]]{{odn|Kurosz|1974|s=20–25}},
* półgrupa z działaniem zeroargumentowym ([[element neutralny]]) – [[monoid]],
* monoid z działaniem jednoargumentowym [[Element odwrotny|odwracania elementu]] nazywa się [[Grupa (matematyka)|grupą]],

czyli grupa to zbiór z trzema działaniami: dwu-, jedno- i zeroargumentowym (grupowe, odwracanie i element neutralny).

Grupę można także określić jako zbiór ''z jednym działaniem'' dwuargumentowym (odwrotność powyższego działania grupowego, w notacji multiplikatywnej nazywane jest „dzieleniem”, a w addytywnej – „odejmowaniem”){{odn|Kurosz|1974|s=17–19}}.

Grupę można również scharakteryzować jako zbiór z [[Rodzina zbiorów|rodziną]] działań jednoargumentowych: mnożeń lewostronnych każdego elementu przez dowolny inny.

=== Zbiory z dwoma działaniami ===
Bada się również zbiory z dwoma działaniami, zwykle związanymi ze sobą warunkiem [[Rozdzielność|rozdzielności]]. Np. [[Pierścień (matematyka)|pierścień]] to zbiór
* z dwoma działaniami dwuargumentowymi (łączne i [[Przemienność|przemienne]] dodawanie oraz łączne mnożenie – rozdzielne względem siebie),
* jednym jednoargumentowym (branie elementu przeciwnego),
* jednym zeroargumentowym (zero – element neutralny dodawania){{odn|Kurosz|1974|s=56}},
* dodając działanie zeroargumentowe w postaci elementu neutralnego mnożenia (jedynka) otrzymuje się [[pierścień z jedynką]],
* żądając przemienności mnożenia uzyskuje się [[pierścień przemienny]],
* pierścień z jedynką, w którym określono działanie odwracania elementu nazywa się [[Pierścień z dzieleniem|pierścieniem z dzieleniem]],
* jeżeli mnożenie jest przemienne, to taki pierścień nazywa się [[Ciało (matematyka)|ciałem]].

Innymi słowy: zbiór ze strukturą [[Grupa przemienna|grupy przemiennej]] i ten sam zbiór bez wyróżnionego elementu (zera) ze strukturą półgrupy, których działania są względem siebie rozdzielne tworzy pierścień. Zastąpienie półgrupy monoidem, grupą albo grupą przemienną daje odpowiednio pierścień z jedynką, pierścień z dzieleniem oraz ciało.

=== Zbiory z trzema działaniami ===
Przykładem działania trójargumentowego jest [[iloczyn mieszany]] określony na trójwymiarowej [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] w tę przestrzeń<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Pogoriełow |imię = Aleksiej |autor link = Aleksiej Wasiliewicz Pogoriełow |tytuł = Geometria |wydawca = Nauka |miejsce = Moskwa |rok = 1983 |strony = 72–73 |język = ru}}</ref>, w której określone są działania:
* [[iloczyn skalarny]] ([[Przemienność|przemienny]], w dowolnym wymiarze)
* [[iloczyn wektorowy]] ([[Antyprzemienność|antyprzemienny]], tylko w trzecim wymiarze<ref>Istnieje bezpośrednie uogólnienie na przestrzeń siedmiowymiarową (tzw. uogólniony iloczyn wektorowy) i nieco ogólniejsze na przestrzenie dowolnego wymiaru (tzw. [[Iloczyn mieszany|iloczyn zewnętrzny]]).</ref>).
* powyższe dwa działania służą zdefiniowaniu iloczynu mieszanego

=== Działania zewnętrzne ===
Działania zewnętrzne to np.
* [[Funkcja|funkcje]] zbioru w inny (działania jednoargumentowe),
* [[mnożenie przez skalar]] w [[Algebra liniowa|algebrach liniowych]], [[Przestrzeń liniowa|przestrzeniach liniowych]] czy [[Moduł (matematyka)|modułach]] (grupy przemienne ze wspomnianym działaniem, rozdzielnym względem działania grupowego) czy ogólniej: [[działanie grupy na zbiorze]].

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|działanie}}
{{wikisłownik|operacja}}
* [[element neutralny]], [[element odwrotny]]
* [[Algebra ogólna|struktura algebraiczna]]
* [[Relacja (matematyka)|relacja]], [[funkcja]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kurosz |imię = A.G. |autor link = Aleksandr Giennadiewicz Kurosz |tytuł = Obszczaja algebra: lekcii 1969–1970 uczebnogo goda |wydawca = Nauka |miejsce = Moskwa |strony = 11 |wydanie = 1 |rok = 1974 |język = ru |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Wiktor Bartol, ''[https://www.youtube.com/watch?v=KNhUTWFC3gI Jak działają działania]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki” na [[YouTube]], 27 września 2017 [dostęp 2024-09-04].

{{Funkcje matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Działania| ]]