Tekst źródłowy strony Dowód niekonstruktywny

{{Dopracować|POV=2024-03|źródła=2024-03|styl=2024-03}}

'''Dowód niekonstruktywny''' – metoda [[dowód (matematyka)|dowodzenia]] w matematyce istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur, funkcji) bez jawnego wskazania tych obiektów lub podania sposobu ich konstruowania.

Zwykle są to [[dowód nie wprost|dowody nie wprost]], w których wykazuje się, że założenie o nieistnieniu badanego obiektu prowadzi do sprzeczności z założeniami twierdzenia. Z tego wyciąga się wniosek o istnieniu rozpatrywanego obiektu. Rozumowania korzystające z [[zasada szufladkowa Dirichleta|zasady szufladkowej Dirichleta]] albo z [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] zazwyczaj też są niekonstruktywne.

Przykładem dowodu niekonstruktywnego jest dowód następującego twierdzenia:
: ''Twierdzenie''. Istnieją takie dwie [[liczby niewymierne]] dodatnie <math>x</math> i <math>y,</math> że <math>x^y</math> jest [[liczby wymierne|liczbą wymierną]].

: Dowód:
:* Jeżeli <math>\sqrt2^\sqrt2</math> jest liczbą wymierną, to możemy wziąć
:: <math>x=y=\sqrt2.</math>
:* Jeżeli <math>\sqrt2^\sqrt2</math> jest liczbą niewymierną<ref group="uwaga">W rzeczywistości wiemy, że jest to liczba niewymierna na mocy [[Twierdzenie Gelfonda-Schneidera|twierdzenia Gelfonda-Schneidera]].</ref>, to biorąc
::: <math>x=\sqrt2^\sqrt2, y=\sqrt2</math>
:: mamy
:: <math>x^y=\sqrt2^{\sqrt2 \cdot \sqrt2}=2.</math>

Dowód niekonstruktywny spotykał się z krytyką [[intuicjonizm (matematyka)|intuicjonistów]], którzy m.in. w niefrasobliwym stosowaniu [[prawo wyłączonego środka|prawa wyłączonego środka]] w dowodach egzystencjalnych upatrywali przyczynę pojawiania się w matematyce paradoksów (np. paradoksy w [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]), jak również pojawiania się obiektów, których istnienie jawnie kłóciło się z [[Intuicja|intuicją]] (np. [[Paradoks Banacha-Tarskiego|paradoksalny rozkład kuli]]). Proponowany przez nich program przebudowy matematyki i narzucenia pewnej dyscypliny metodologicznej nie spotkał się z przychylnością zdecydowanej większości matematyków, bowiem prowadziłoby to do odrzucenia dużej części dorobku tej dyscypliny.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}
[[Kategoria:Dowody matematyczne]]