Tekst źródłowy strony Częściowy porządek

{{dopracować|źródła=2020-12}}
[[Plik:Hasse diagram of powerset of 3.svg|mały|Zbiór podzbiorów {x,y,z}, uporządkowany przez inkluzję]]
[[Plik:Infinite lattice of divisors.svg|mały|[[Liczby naturalne]] częściowo uporządkowane relacją [[Dzielnik|podzielności]]]]
[[Plik:Dih4 subgroups (cycle graphs).svg|mały|[[Krata (matematyka)|Krata]] podgrup czwartej [[Grupa diedralna|grupy diedralnej]]]] 

'''Częściowy porządek''' lub krótko '''porządek'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3960805 | tytuł = porządek | data dostępu = 2021-10-10 }}</ref> – [[relacja (matematyka)|relacja]] [[relacja zwrotna|zwrotna]], [[relacja przechodnia|przechodnia]] i (słabo) [[Relacja antysymetryczna|antysymetryczna]]<ref name="epwn" /> albo równoważnie antysymetryczny [[praporządek]].

Jeśli <math>X</math> jest [[zbiór|zbiorem]], a <math>\leqslant</math> częściowym porządkiem na <math>X</math>, to [[para uporządkowana]] <math>(X, \leqslant)</math> bywa znana jako '''poset''', z {{ang.|partially ordered set}} – zbiór częściowo uporządkowany<ref>{{otwarty dostęp}} [[Marek Zaionc]], [[Jakub Kozik]] i [[Marcin Kozik]], ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_10:_Zbiory_uporz%C4%85dkowane._Zbiory_liniowo_uporz%C4%85dkowane._Poj%C4%99cia_g%C4%99sto%C5%9Bci_i_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci Logika i teoria mnogości, wykład 10: Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości]'', [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego]] (MIM [[Uniwersytet Warszawski|UW]]), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-30].</ref><ref>{{otwarty dostęp}} [[Paweł Idziak]], Bartłomiej Bosek i Piotr Micek ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_2/Wyk%C5%82ad_2:_Porz%C4%85dki_Cz%C4%99%C5%9Bciowe_i_twierdzenie_Dilworth%27a Matematyka dyskretna 2, wykład 2: Porządki częściowe i twierdzenie Dilwortha]'', [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego]] (MIM [[Uniwersytet Warszawski|UW]]), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-01-30].</ref>. Ta nazwa występuje zwłaszcza w [[Matematyka dyskretna|matematyce dyskretnej]]{{fakt|data=2025-01}}.

== Ostre i słabe porządki ==
'''Słabymi porządkami częściowymi''' nazywane są relacje [[Relacja zwrotna|zwrotne]], [[Relacja przechodnia|przechodnie]] i [[Relacja antysymetryczna|antysymetryczne]], z kolei '''ostre porządki częściowe''' to relacje [[Relacja zwrotna|przeciwzwrotne]] i przechodnie (relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest zarazem [[Relacja przeciwsymetryczna|asymetryczna]]). Porządki ostre i słabe są blisko związane w tym sensie, że łatwo jest zamienić relację jednego typu na relację drugiego typu.

Przypuśćmy, że <math>\preccurlyeq</math> jest (słabym) porządkiem częściowym na zbiorze <math>X.</math> Wówczas relacja <math>\prec</math> na <math>X</math> zdefiniowana przez
: <math>x \prec y \iff x \preccurlyeq y \land x \neq y</math>

jest ostrym porządkiem częściowym.

I na odwrót, jeśli <math>\prec</math> jest ostrym porządkiem częściowym na zbiorze <math>X,</math> to relacja <math>\preccurlyeq</math> na <math>X</math> zdefiniowana przez
: <math>x \preccurlyeq y \iff x \prec y \lor x = y</math>

jest (słabym) porządkiem częściowym.

== Oznaczenia ==
Często w tekstach matematycznych używamy zarówno słabej, jak i silnej wersji porządku, którym się interesujemy. Zwyczajowo używamy wtedy oznaczeń takich, aby wersja słaba była oznaczana symbolem zawierającym znak równości (np. <math>\leqslant, \sqsubseteq, \subseteq, \preccurlyeq</math>), a wersja silna była oznaczona symbolem bez tego znaku (np. <math><, \sqsubset, \subset, \prec</math>).

Należy mieć jednak na uwadze, że zwyczaj taki nie wykształcił się względem [[Podzbiór|zawierania]] zbiorów, gdzie symbol <math>\subset</math> oznaczać może zawieranie właściwe lub niewłaściwe (relację silną lub słabą). W celu uniknięcia nieporozumień stosuje się więc często symbole <math>\subseteq</math> oraz <math>\varsubsetneq</math> odpowiednio dla relacji słabej i silnej.

== Przykłady ==
* Szczególnym przypadkiem częściowego porządku jest [[porządek liniowy]], w szczególności: naturalny porządek na [[Liczby rzeczywiste|liczbach rzeczywistych]] jest porządkiem częściowym.
* Relacja <math>\preccurlyeq</math> określona w zbiorze [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]:
*: <math>a+bi \preccurlyeq c+di \iff a\leqslant c \land b \leqslant d</math>
: jest częściowym porządkiem. Nie jest to jednak porządek liniowy.
* Relacja [[podzbiór|podzbiorów]] określona na dowolnej [[rodzina zbiorów|rodzinie]] podzbiorów ustalonego zbioru jest częściowym porządkiem.
* Każdy praporządek <math>R</math> wyznacza porządek częściowy po utożsamieniu elementów <math>x, y</math> takich że <math>x\; R\; y</math> i <math>y\; R\; x;</math> proces ten można nazwać [[Praporządek#Redukcja do porządków|redukcją praporządku do porządku]].

== Zobacz też ==
* [[funkcja monotoniczna]]
* [[pojęcie forsingu]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Teoria porządku}}
{{Relacje matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Własności porządków]]

[[be:Дачыненне парадку]]