Tekst źródłowy strony Cząstka w pudle potencjału

[[Plik:InfiniteSquareWellAnimation.gif|mały|300px|Stan cząstki w pudle potencjału obliczony z [[Zasady dynamiki Newtona|zasad dynamiki Newtona]] ([[mechanika klasyczna]]) przedstawiający cykliczny ruch między ścianami pudła (A) oraz stan układu kwantowego obliczony z [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] ([[mechanika kwantowa]]) (B-F). W przypadkach (B-F), pozioma oś oznacza położenie, pionowa natomiast rzeczywistą (kolor niebieski) i urojoną (kolor czerwony) część [[Funkcja falowa|funkcji falowej]]. Stany (B,C,D) są stanami własnymi [[hamiltonian]]u <math>\psi_1, \psi_2, \psi_3</math> o ściśle określonych energiach. Stany (E,F) są superpozycjami stanów własnych hamiltonianu, dlatego nie mają ściśle określonej energii. Jednak średnia energia tych stanów jest stała w czasie.Prawdopodobieństwa znalezienia cząstki dla stanów własnych <math>P(x,t)=|\psi_n(x,t)|^2, n=1,2,3</math> zależą tylko od położenia, a nie zależą od czasu. Dla stanów (E,F) prawdopodobieństwa te zmieniają się w czasie, analogicznie jak dla cząstki klasycznej.]]
'''Cząstka w pudle potencjału''' – zagadnienie z dziedziny [[Mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]] opisujące zachowanie cząstki w obecności ograniczających jej ruch nieskończonych [[Bariera potencjału|barier potencjału]]. Cząstka w pudle potencjału jest szczególnym przypadkiem szerszego problemu [[Cząstka w studni potencjału|cząstki w studni potencjału]].

Model cząstki w pudle potencjału jest często używany jako ćwiczenie wprowadzające w nauce mechaniki kwantowej, pokazuje pierwsze zastosowanie [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]]. Stosuje się go również jako przybliżenie skomplikowanych problemów takich jak model [[Kropka kwantowa|kropki kwantowej]] czy model [[Jądro atomowe|jądra atomowego]], dlatego że jako jeden z nielicznych problemów kwantowych, jest rozwiązywalny analitycznie. Rozwiązanie to pokazuje, że cząstka może przyjąć tylko określone, dyskretne stany energetyczne, a jej minimalna energia jest większa niż 0.

== Rozwiązanie jednowymiarowe ==
[[Plik:Infinite potential well.svg|mały|Bariery na zewnątrz jednowymiarowego pudła mają nieskończenie duży potencjał, podczas gdy wnętrze pudła ma stały, zerowy potencjał]]
Najprostszy przykład cząstki w studni dotyczy jednowymiarowego układu. W tym wypadku cząstka może poruszać się tylko wzdłuż jednej linii pomiędzy nieskończonymi, nieprzekraczalnymi barierami na obydwu końcach<ref name="Davies4">Davies, s. 4.</ref>. Ściany jednowymiarowej studni potencjału mogą zostać oznaczone jako obszary przestrzeni z nieskończonym [[potencjał]]em. Wnętrze studni ma natomiast stałą, zerową [[Energia potencjalna|energię potencjalną]]. Tak naprawdę, dowolny skończony poziom energii potencjalnej <math>V_0</math> wewnątrz studni może zostać ustalony (cechowanie energii potencjalnej). Taka procedura powoduje jedynie zmianę energii stanów o <math>V_0,</math> nie zmienia zaś postaci rozwiązania. Stałość potencjału, a tym samym zerowanie się [[Gradient (matematyka)|gradientu potencjału]] wewnątrz studni powoduje, że na cząstkę wewnątrz studni nie działają żadne [[Siła|siły]], cząstka porusza się [[Cząstka swobodna|swobodnie]]. Jednakże nieskończenie duże siły odpychają cząstkę na krawędzi studni, zatrzymując ją przed ucieczką. Energia potencjalna w tym modelu jest dana jako:
:: <math>V(x) = \begin{cases}
0, & 0 < x < L, \\
\infty, & \text{w innym wypadku},
\end{cases}</math>

gdzie:
: <math>L</math> – szerokość studni,
: <math>x</math> – położenie cząstki wewnątrz studni.

=== Funkcja falowa ===
W mechanice kwantowej [[funkcja falowa]] opisuje stan układu fizycznego; mierzalne własności cząstki (takie jak położenie, [[Pęd (fizyka)|pęd]], [[Energia (fizyka)|energia]]) mogą zostać obliczone na podstawie funkcji falowej<ref name="Davies1">Davies, s. 1.</ref>. Funkcję falową dla danego układu wyznacza się poprzez rozwiązanie równania Schrödingera.

W przypadku 1-wymiarowego ruchu cząstki funkcja falowa <math>\psi(x,t)</math> zależy od jednej współrzędnej przestrzennej <math>x</math> oraz od czasu <math>t.</math> Równanie Schrödingera ma wtedy postać:
:: <math>\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) +V(x)\psi(x,t),</math>

gdzie:
: <math>\hbar</math> – zredukowana [[stała Plancka]],
: <math>m</math> – [[Masa (fizyka)|masa]] cząstki,
: <math>\mathrm i</math> – [[jednostka urojona]],
: <math>t</math> – czas,
: <math>V(x)</math> – energia potencjalna cząstki, zależna od położenia <math>x</math> cząstki.

Z teorii równań różniczkowych wynika, że rozwiązanie powyższego równania ma postać
:: <math>\psi(x,t) = [A \sin(kx) + B \cos(kx)]\mathrm{e}^{-\mathrm i\omega t},</math>

gdzie:
: <math>A</math> i <math>B</math> – pewne [[liczby zespolone]],
: <math>k</math> – tzw. [[liczba falowa]],
: <math>\omega</math> – [[Pulsacja|częstość kołowa]].

Te dwie ostatnie liczby są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi.

Funkcja falowa jest więc w postaci iloczynu dwóch funkcji: zależnej tylko od <math>x</math> oraz zależnej tylko od <math>t.</math> Rozwiązanie to można objaśnić następująco: wewnątrz studni nie działają na cząstkę żadne siły, dlatego część funkcji falowej wewnątrz studni zależna od czasu oscyluje w sposób identyczny jak dla cząstki swobodnej, mając postać <math>\mathrm{e}^{-\mathrm i\omega t}</math><ref name="Davies4" /><ref name="Bransden157">Bransden i Joachain, s. 157.</ref>. Część funkcji falowej zależna od x jest zależna od. Obydwie wielkości są związane z całkowitą energią cząstki za pomocą wyrażenia:
:: <math>E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m},</math>

które jest znane również jako [[Dyspersja fali|związek dyspersyjny]] dla cząstki swobodnej<ref name="Davies4" />.

[[Plik:particle in a box wavefunctions 2.svg|mały|Funkcje falowe dla czterech stanów o najniższych energiach dla cząstki w jednowymiarowej studni potencjału]]
Powyżej podane rozwiązanie nie pokazuje jeszcze, że energia cząstki w studni jest skwantowana. Wynik ten otrzymuje się dopiero z założenia, że kwadrat modułu funkcji falowej <math>|\psi(x,t)|^2</math> przedstawia prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w punkcie <math>x</math> w chwili <math>t,</math> tzn. <math>P(x,t) = |\psi(x,t)|^2,</math> co implikuje, że całka <math>|\psi(x,t)|^2</math> po całej przestrzeni musi być jednością
:: <math>\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^2\mathrm dx=1.</math>

Funkcja falowa musi zatem znikać wszędzie poza krawędziami studni<ref name="Davies4" /><ref name="Bransden157" />. Dodatkowo, amplituda funkcji falowej nie może zmieniać się skokowo pomiędzy dwoma punktami<ref name="Davies4" />. Te dwa warunki są wyłącznie spełnione przez funkcje falowe w formie
:: <math>\psi_n(x,t) = \begin{cases}
A \sin(k_n x)\mathrm{e}^{-\mathrm i\omega_n t}, & 0 < x < L, \\
0, & \text{w innych przypadkach,}
\end{cases}</math>

gdzie <math>n</math> jest liczbą naturalną. Liczba falowa jest ograniczona do pewnych specyficznych wartości (kwantowanie), danych przez<ref name="Davies5">Davies s. 5.</ref>
:: <math>k_n = \frac{n \pi}{L}, \quad \mathrm{gdzie} \quad n = 1,2,3,4,\dots,</math> a <math>L</math> jest szerokością studni.

Ujemne wartości <math>n</math> są nieistotne, ponieważ dają funkcje falowe identyczne z rozwiązaniami dla dodatnich wartości <math>n,</math> z dokładnością do nieistotnej zmiany znaku<ref name="Bransden158">Bransden i Joachain, s. 158.</ref>. Otrzymuje się stąd wartości energii:
:: <math>E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 }{2mL^2}n^2,</math>

które są skwantowane.

Stałą <math>A</math> znajduje się poprzez [[Funkcje normalizowalne|normalizację]] funkcji falowej, tj. żądając, by całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek w przestrzeni było równe 1. Z obliczeń otrzymuje się:
:: <math>\left| A \right| = \sqrt\frac{2}{L}.</math>

Zatem <math>A</math> może być dowolną liczbą zespoloną o [[Wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]] równej <math>\sqrt{2/L};</math> ta dowolność w wyborze <math>A</math> nie ma znaczenia fizycznego (istotny jest moduł funkcji falowej), zatem wybiera się <math>A=\sqrt{2/L}.</math>

Powyższe rozwiązanie jest słuszne dla szczególnego przypadku studni znajdującej się w granicach <math>0</math> i <math>L.</math> Wartości własne operatora Hamiltona, czyli dozwolone energie <math>E_n</math> cząstki w studni powinny być takie same dla dowolnie wybranego położenia studni w przestrzeni. Rozwiązanie równania Schrödingera w tym ogólnym przypadku daje funkcje falowe:
:: <math>\psi_n(x,t) = \begin{cases}
\sqrt\frac{2}{L} \sin(k_n x - \frac{n \pi x_0}{L})\mathrm{e}^{-\mathrm i\omega_n t}, & x_0 < x < x_0 + L, \\
0, & \text{w innych przypadkach,}
\end{cases}</math>

gdzie <math>x_0</math> oraz <math>x_0+L</math> wyznaczają punkty brzegowe studni.

Zauważmy, że <math>\tfrac{n \pi x_0}{L}</math> reprezentuje przesunięcie przestrzenne funkcji falowej odpowiadające przesunięciu brzegów studni; dla <math>x_0 = 0</math> powyższy wzór na <math>\psi_n(x,t)</math> upraszcza się do szczególnego przypadku wcześniej omówionego. Co więcej, wartości własne odpowiadające powyższemu rozwiązaniu są identyczne jak podane wcześniej.

Funkcja falowa w przestrzeni pędów jest proporcjonalna do [[Transformacja Fouriera|transformaty Fouriera]] funkcji falowej w przestrzeni położeń. Za pomocą <math>k=p/\hbar</math> oraz <math>\omega_n=\tfrac{\pi h n^2}{4 L^2 m},</math>
: <math>\phi_n(p,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \psi_n(x,t)\mathrm e^{-\mathrm ikx}\,\mathrm dx
= \sqrt\frac{\pi L}{\hbar}\,\,\frac{n\left(1-(-1)^n\mathrm e^{-\mathrm ikL}\right) \mathrm e^{-\mathrm i \omega_n t}}{\pi^2 n^2-k^2 L^2}.</math>

=== Położenie cząstki w studni ===
Według fizyki klasycznej rozwiązanie zagadnienia ruchu cząstki w studni o stałym potencjale daje ruch oscylacyjny cząstki między ścianami studni z dowolną, stałą prędkością. Cząstka mogłaby więc być wykryta w dowolnym miejscu wewnątrz studni z równym prawdopodobieństwem. Natomiast według mechaniki kwantowej [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|gęstość prawdopodobieństwa]] znalezienia cząstki w dowolnym miejscu jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej <math>P(x) = |\psi(x)|^2.</math> Jeżeli cząstka w studni zajmuje stan <math>\psi_n(x,t),</math> to
:: <math>P_n(x) = \begin{cases}
\frac{2 }{L}\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right); & 0 < x < L \\
0; & \text{w innych przypadkach}.
\end{cases}</math>

Zatem dla dowolnej wartości <math>n</math> większej od jedności istnieją obszary studni, w których <math>P(x)=0,</math> ''węzły funkcji'' w których cząstki nie można znaleźć.

W mechanice kwantowej średnia wartość, [[wartość oczekiwana]], położenia cząstki jest dana jako
:: <math>\langle x \rangle = \int_{-\infty}^\infty x P_n(x)\,\mathrm{d}x.</math>

Dla cząstki w [[Stan stacjonarny|stanie stacjonarnym]] można pokazać, że średnia wartość położenia jest równa <math>\langle x \rangle = L/2,</math> niezależnie od stanu cząstki. Dla superpozycji (złożenia) stanów wartość oczekiwana położenia proporcjonalna do członu mieszanego stanów: <math>cos(\omega t).</math>

[[Wariancja]] położenia jest związana z nieoznaczonością położenia cząstki:
:: <math>\mathrm{Var}(x)=\int_{-\infty}^\infty (x-\langle x\rangle)^2 P_n(x)\,\mathrm dx = \frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{n^2\pi^2}\right).</math>

=== Pęd cząstki w studni ===
[[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|Gęstość prawdopodobieństwa]] znalezienia cząstki o określonym pędzie można wyprowadzić z funkcji falowej jako <math>P(x) = |\phi(x)|^2.</math> Tak jak od położenia, gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w określonym miejscu zależy od jej stanu, który jest dany przez:
:: <math>P_n(p)=\frac{2 \pi L}{\hbar}\, \frac{n^2 \left(1-(-1)^n \cos (k L)\right)}{\left(k^2 L^2-\pi^2 n^2\right)^2},</math>

gdzie ponownie <math>k=p/\hbar.</math> Można wyprowadzić, że wartość średnia pędu jest równa zeru, a wariancja pędu wynosi:
:: <math>\mathrm{Var}(p)=\left(\frac{\hbar n\pi}{L}\right)^2.</math>

=== Nieoznaczoności położenia i pędu ===
Nieoznaczoności położenia i pędu (<math>\Delta x</math> oraz <math>\Delta p</math>) definiuje się jako równe pierwiastkowi z odpowiedniej wariancji. Z obliczeń otrzymuje się iloczyn nieoznaczoności położenia i pędu:
:: <math>\Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}.</math>

Iloczyn ten rośnie ze wzrostem <math>n,</math> a ma wartość minimalną dla <math>n=1</math> równą około <math>0{,}568\ \hbar,</math> co jest w zgodzie z [[Zasada nieoznaczoności|zasadą nieoznaczoności]] Heisenberga, która stwierdza, że iloczyn nieoznaczoności nie może być mniejszy niż <math>\hbar/2.</math>

=== Poziomy energetyczne ===
[[Plik:Confined particle dispersion - positive.svg|mały|Zależności energii cząstki od liczby falowej <math>k</math> dla cząstki w pudle (czarne kółka) i cząstki swobodnej (szara linia). Energia ma identyczną zależność funkcyjną od liczby falowej w obu przypadkach, jednak cząstka w pudle może posiadać tylko ustalone, dyskretne wartości <math>k.</math> Stąd wynika, że także <math>E</math> ma wartości dyskretne.]]
Energie odpowiadające każdej dozwolonej liczbie falowej wynoszą<ref name="Davies5" />
:: <math>E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2} n^2.</math>

Energia rośnie proporcjonalnie do <math>n^2,</math> co oznacza, że ze wzrostem energii poziomy energetyczne są coraz bardziej od siebie oddalone. Wszystkie stany energii są dodatnie. Dla n=1 otrzymuje się stan <math>\psi_1</math> odpowiadający najniższej energii, tzw. [[stan podstawowy]], w którym cząstka ma energię<ref name="Bransden159">Bransden i Joachain, s. 159.</ref>:
:: <math>E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}.</math>

Energia ta jest większa od zera, co jest sprzeczne z fizyką klasyczną, według której najniższą energią cząstki w pudle jest energia zerową, odpowiadająca stanowi spoczynku. Wynik, jaki daje mechanika kwantowa, można wyjaśnić w oparciu o [[Zasada nieoznaczoności|zasadę nieoznaczoności]], która mówi, że iloczyn niepewności (nieoznaczoności) położenia i pędu cząstki nie może być zerowy:
:: <math>\Delta x\Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}.</math>

Ponieważ niepewność położenia cząstki jest proporcjonalna do szerokości pudła<ref name="Davies15">Davies, s. 15.</ref>, zatem, nieoznaczoność pędu jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do szerokości pudła<ref name="Bransden159" />. Oznacza to, że cząstka nie może spoczywać.

Energia kinetyczna cząstki jest dana wzorem <math>E=p^2/(2m),</math> zatem minimalna energia kinetyczna cząstki w pudle jest odwrotnie proporcjonalna do masy i kwadratu szerokości pudła. Wynik ten zgadza się jakościowo z powyższymi obliczeniami<ref name="Bransden159" />.

== Studnie wielowymiarowe ==
[[Plik:Particle2D.svg|mały|320px|Funkcja falowa dwuwymiarowej studni potencjału dla <math>n_x=4</math> i <math>n_y=4</math>]]
Zagadnienie cząstki w studni potencjału można rozwiązać w dowolnej liczbie wymiarów. W wersji dwuwymiarowej rozważamy cząstkę poruszającą się wzdłuż osi X i Y i ograniczoną w obydwu osiach przez bariery potencjału, gdzie szerokość studni wzdłuż osi X i Y określamy jako <math>L_x</math> i <math>L_y.</math> Posługując się rozważaniami analogicznymi do tych dla zagadnienia jednowymiarowego, można pokazać, że widmo energetyczne jest określone jako
:: <math>E_{n_x,n_y} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y}^2}{2m},</math>

a funkcja falowa przyjmuje postać
:: <math>\psi_{n_x,n_y} = \sqrt\frac{4}{L_x L_y} \sin \left( k_{n_x} x \right) \sin \left( k_{n_y} y\right),</math>

gdzie dwuwymiarowy [[wektor falowy]] wyraża się:
:: <math>\boldsymbol{k}_{n_x,n_y} = k_{n_x}\boldsymbol{x} + k_{n_y}\boldsymbol{y} = \frac{n_x \pi }{L_x} \boldsymbol{x} + \frac{n_y \pi }{L_y} \boldsymbol{y}.</math>

Analogiczne dla zagadnienia trójwymiarowego otrzymujemy:
:: <math>\psi_{n_x,n_y,n_z} = \sqrt\frac{8}{L_x L_y L_z} \sin \left( k_{n_x} x \right) \sin \left( k_{n_y} y \right) \sin \left( k_{n_z} z \right),</math>
:: <math>E_{n_x,n_y,n_z} = \frac{\hbar^2 k_{n_x,n_y,n_z}^2}{2m},</math>

a trójwymiarowy wektor falowy jest określony jako
:: <math>\boldsymbol{k}_{n_x,n_y,n_z} = k_{n_x}\boldsymbol{x} + k_{n_y}\boldsymbol{y} + k_{n_z}\boldsymbol{z} = \frac{n_x \pi }{L_x} \boldsymbol{x} + \frac{n_y \pi }{L_y} \boldsymbol{y} + \frac{n_z \pi }{L_z} \boldsymbol{z}.</math>

Ogólnie dla ''N''-wymiarowej studni potencjału funkcja falowa wyraża się jako:
:: <math>\psi = \sqrt\frac{2^n}{\prod_i^N L_i} \prod_i^N\sin(k_i x_i),</math>

energia systemu określona jest jako:
:: <math>E_{n_1,\dots, n_i,\dots, n_N} = \frac{\hbar^2 k_{n_1,\dots, n_i,\dots, n_N}^2}{2m},</math>

gdzie wektor falowy ma postać:
:: <math>\boldsymbol{k}_{n_1,\dots, n_i,\dots, n_N} = \sum_i^N k_{n_i}\boldsymbol{x}_i = \sum_i^N\frac{n_i \pi }{L_i} \boldsymbol{x}_i.</math>

Interesującą własnością powyższego rozwiązania jest fakt, że dla równych szerokości studni w dwóch, lub więcej, wymiarach więcej niż jedno rozwiązanie odpowiada tej samej energii całkowitej układu. Na przykład w dwuwymiarowej studni potencjału o równej szerokości w obu wymiarach, <math>L_x = L_y = L,</math> energia całkowita układu wynosi <math>E = \tfrac{5 \hbar^2 \pi^2 }{2L^2m}</math> dla liczb <math>n_x = 2, n_y=1</math> i <math>n_x = 1, n_y=2.</math> Taka sytuacja określana jest jako [[degeneracja poziomów energetycznych]], gdzie dla powyższego przykładu poziom jest podwójnie zdegenerowany.

== Zastosowania ==
Ze względu na matematyczną prostotę, model cząstki w pudle potencjału jest używany do znajdowania przybliżonych rozwiązań zagadnień opisujących bardziej złożone układy fizyczne, np. gdy cząstka jest uwięziona w wąskim obszarze niskiego [[Potencjał elektryczny|potencjału elektrycznego]] pomiędzy wysokimi barierami potencjału. Takie [[Studnia kwantowa|studnie kwantowe]] są szczególnie istotne w [[Optoelektronika|optoelektronice]], mogą stanowić obszar czynny [[Laser półprzewodnikowy|lasera półprzewodnikowego]] lub [[fotodetektor]]a.

== Efekty relatywistyczne ==
Gęstość prawdopodobieństwa nie spada do zera w węzłach fali, jeżeli wzięte są pod uwagę [[Relatywistyczna mechanika kwantowa|efekty relatywistyczne]]<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Alberto |imię = P. |nazwisko2 = Fiolhais |imię2 = C. |nazwisko3 = Gil |imię3 = V.M.S. |tytuł = Relativistic particle in a box |czasopismo = European Journal of Physics |doi = 10.1088/0143-0807/17/1/004 |rok = 1996 |wolumin = 17 |strony = 19 |bibcode = 1996EJPh...17...19A}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[cząstka w studni potencjału]]
* [[delta Diraca]]
* [[kwantowy oscylator harmoniczny]]
* [[suma statystyczna]] (mechanika statystyczna)

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bransden |imię = B.H. |nazwisko2 = Joachain |imię2 = C.J. |tytuł = Quantum mechanics |wydanie = 2 |wydawca = Pearson Education |miejsce = Essex |rok = 2000 |isbn = 0-582-35691-1}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Davies |imię = John H. |tytuł = The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction |wydawca = Cambridge University Press |rok = 2006 |isbn = 0-521-48491-X |wydanie = 6 (przedruk)}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Griffiths |imię = David J. |tytuł = Introduction to Quantum Mechanics |wydanie = 2 |wydawca = Prentice Hall |rok = 2004 |isbn = 0-13-111892-7}}

== Linki zewnętrzne ==
* [[ScienceWorld]]: [http://scienceworld.wolfram.com/physics/InfiniteSquarePotentialWell.html Nieskończona studnia potencjału] {{lang|en}}
* [[Aplet Javy]] symulujący zachowanie cząstki w 1-wymiarowym pudle potencjału: [http://www.falstad.com/qm1d/ 1-D quantum mechanics java applet] {{lang|en}}
* Aplet Javy symulujący zachowanie cząstki w 2-wymiarowym pudle potencjału: [http://www.falstad.com/qm2dbox/ 2-D particle in a box applet] {{lang|en}}

{{Mechanika kwantowa}}

[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]