Tekst źródłowy strony Circle Limit III

'''''Circle Limit III''''' – [[drzeworyt]] holenderskiego artysty [[Maurits Cornelis Escher|M.C. Eschera]] z 1959 roku. Jest to jeden z czterech drzeworytów artysty przedstawiających cechy [[Geometria hiperboliczna|geometrii hiperbolicznej]], zilustrowane za pomocą uporządkowanej kolorystycznie ławicy ryb. Holenderski fizyk i matematyk {{link-interwiki|Bruno Ernst|Q=Q2621575}} określił go jako „najlepszy z czterech”{{odn|Coxeter|1979|s=20}}.

== Inspiracja ==
[[Plik:Hyperbolic domains 642.png|left|thumb|upright=0.8|Trójkątny parkietaż hiperboliczny (6,4,2), który zainspirował Eschera]]
Escher zainteresował się [[parkietaż]]em w 1936 po zwiedzeniu [[Alhambra|Alhambry]] w [[Grenada (miasto w Hiszpanii)|Grenadzie]] w [[Andaluzja|andaluzyjskim regionie]] [[Hiszpania|Hiszpanii]]{{odn|Emmer|2006}}{{odn|Schattschneider|2010|s=707}}. Już w 1937 stworzył ''{{link-interwiki|Metamorphosis I|Q=Q6823055}}'', którym rozpoczął wprowadzanie mozaiki postaci ludzkich lub zwierzęcych w swych dziełach{{odn|Schattschneider|2010|s=707}}.

W 1958 Escher napisał list do [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxetera]] o tym, że ilustracja w jego artykule ''Crystal Symmetry and its Generalizations'' zainspirowała go do stworzenia serii ''Circle Limit''{{odn|Coxeter|1979|s=19}}. Ilustracja w artykule Coxetera przedstawia [[parkietaż]] płaszczyzny w geometrii hiperbolicznej z [[trójkąt prostokątny|trójkątów prostokątnych]] o kątach 30°, 45° i 90°. Takie trójkąty nie istnieją w geometrii euklidesowej, jednak są możliwe w geometrii hiperbolicznej. Taki parkietaż można zinterpretować jako przedstawienie linii odbić i głównych domen z {{link-interwiki|(6,4,2)|Q=Q7847919}} {{link-interwiki|grupa trójkątna|tekst=grupy trójkątnej|Q=Q652123}}{{odn|Coxeter|1997}}. Podstawową analizę ilustracji Coxetera, tak jak ją mógł rozumieć Escher, dokonał Casselman w 2010{{odn|Casselman|2010}}.

== Geometria ==
Przypuszczalnie Escher wierzył, że białe krzywe na jego drzeworycie, które dzielą ryby na pół, przedstawiają proste hiperboliczne w [[Dysk Poincarégo|modelu Poincarego]] płaszczyzny hiperbolicznej, w którym cała dwuwymiarowa przestrzeń jest umieszczona w kole na płaszczyźnie euklidesowej, a hiperboliczne proste są reprezentowane przez łuki prostopadłe do brzegu koła. Escher nawet opisał, że ruch ryb jest prostopadły do brzegu{{odn|Coxeter|1979|s=20}}. Jednak Coxeter wykazał, że nie jest to układ linii, który wykreśla naprzemiennie kwadraty i trójkąty równoboczne w przestrzeni hiperbolicznej, lecz są to [[Ekwidystanta|ekwidystanty]] stykające się z brzegiem koła pod kątem <math>\arccos \tfrac{2^{1/4}-2^{-1/4}}{2}</math>{{odn|Coxeter|1979|s=24}}.

Punkty w środkach kwadratów, w których spotykają się cztery ryby płetwami, tworzą wierzchołek ośmiu trójkątów równobocznych. Natomiast środki tych trójkątów są określone przez punkty, w których spotykają się trzy płetwy ryb oraz punkty, w których przecinają się trzy białe linie. Całość tworzy ośmiokątne kafelki{{odn|Coxeter|1979|s=20-21}}. Podobne [[parkietaż]]e z liniami ryb mogą być konstruowane dla innych hiperbolicznych kafelków utworzonych przez wielokąty inne niż trójkąty i kwadraty, lub z więcej niż trzema krzyżującymi się białymi krzywymi{{odn|Dunham|2006}}.

Współrzędne euklidesowe okręgów zawierających trzy najbardziej widoczne białe krzywe w drzeworycie można otrzymać przez obliczenia w {{link-interwiki|pole dwukwadratowe|tekst=polu dwukwadratowym|Q=Q4915520}} <math>Q(\sqrt 2 + \sqrt 3)</math>{{odn|Coxeter|1996|s=42}}.

== Symetria ==
Postrzegając wzór na płaszczyźnie hiperbolicznej ignorując kolory ryb, drzeworyt ma potrójną i poczwórną symetrię obrotową względem środków trójkątów i kwadratów wykreślonych przez białe linie{{odn|Conway|1992|s=446}}. W {{link-interwiki|zapis orbifold|tekst=zapisie orbifold|Q=Q12797591}} ta grupa symetrii jest oznaczona jako 433{{odn|Conway|1992|s=446}}.

== Druk ==
Ryby są przedstawione za pomocą czterech kolorów, dzięki czemu każdy potok ryb wzdłuż białej linii ma jeden kolor, a każda sąsiadująca ryba ma inny kolor. Kolorem czarnym zaznaczono rybi kontur<ref name="nga">{{Cytuj |url=https://www.nga.gov/collection/art-object-page.61280.html |tytuł=Circle Limit III |opublikowany=[[National Gallery of Art]] |miejsce=Waszyngton | data dostępu=2021-07-04 |język=en}}</ref>. Drzeworyt ma w sumie pięć kolorów i jest drukowany z użyciem pięciu desek{{odn|Hart|2017|s=8}}<ref name="nga"/>. Pełny wydruk wymagał czterokrotnego użycia każdej deski z odpowiednim kolorem{{odn|Hart|2017|s=8}}. Średnica uzyskanego obrazu to 41,5 cm (16 5/16 in.)<ref name="nga"/>.

== Wystawy ==
Drzeworyt jest częścią wystawy w {{link-interwiki|muzeum Eschera|Q=Q1871689}} w [[Haga|Hadze]]<ref>{{Cytuj |tytuł=Room 10b |url=https://dutchvr.nu/dvrportal/panorama.php?PanoLink=1258 |praca=Take a look inside |opublikowany=dutchvr.nu |data dostępu=2021-07-04}}</ref>. Jego kopia jest również w zbiorach [[National Gallery of Canada]]<ref>{{Cytuj |tytuł=Circle Limit III |url=https://www.gallery.ca/collection/artwork/circle-limit-iii |opublikowany=[[National Gallery of Canada]] |data dostępu=2021-07-04 |język=en |archiwum=https://web.archive.org/web/20210709183123/https://www.gallery.ca/collection/artwork/circle-limit-iii |zarchiwizowano=2021-07-09 }}</ref>.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor=Bill Casselman |url=https://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-circle-limit |tytuł=How did Escher do it? |praca=Feature Column |opublikowany=[[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|AMS]] |data=czerwiec 2010 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor = [[John Horton Conway]] |rozdział = The orbifold notation for surface groups |redaktor=Martin W. Liebeck, Jan Saxl | tytuł=Groups, Combinatorics & Geometry |miejsce=Cambridge |wydawca=Cambridge Univ. Press |data=1992 |wolumin=165 |seria=London Math. Soc. Lecture Note Ser. | doi=10.1017/CBO9780511629259.038 |język=en |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=[[Harold Scott MacDonald Coxeter]] |tytuł=The Non-Euclidean Symmetry of Escher's Picture 'Circle Limit III' |czasopismo=Leonardo |wolumin=12 |numer=1 |data=1979 |s=19-25 |jstor=1574078 |język=en |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Harold Scott MacDonald Coxeter |tytuł=The Trigonometry of Escher’s Woodcut “Circle Limit III” |czasopismo=The Mathematical Inteligencer |wolumin=18 |numer=4 |data=1996 |s=42-46 |język=en |doi=10.1007/BF03026752 |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Harold Scott MacDonald Coxeter |tytuł=The trigonometry of hyperbolic tessellations |czasopismo=Canadian Mathematical Bulletin |wolumin=40 |numer=2 |data=1997 |s=158-168 |doi = 10.4153/CMB-1997-019-0 |język=en |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Douglas Dunham |tytuł=More “Circle Limit III” patterns |url=https://www.d.umn.edu/~ddunham/dunbrid06.pdf |data=2006 |data dostępu=2021-07-04 |język=en |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Michele Emmer | tytuł=Escher, Coxeter and symmetry |czasopismo=International Journal of Geometric Methods in Modern Physics |wolumin=3 |numer=05n06 |data=2006 |doi=10.1142/S0219887806001594 |s=869–879 |język=en |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Sarah Hart |tytuł=Escher and Coxeter - A Mathematical Conversation | url=https://s3-eu-west-1.amazonaws.com/content.gresham.ac.uk/data/binary/2496/2017-06-05_SarahHart_EscherCoxeterTranscriptFINAL.pdf | data=5 czerwca 2017 | wydawca=Gresham College |data dostępu=2021-07-04 |język=en |odn=tak}}
* {{Cytuj |autor=Doris Schattschneider |tytuł=The mathematical side of M. C. Escher |url=https://www.ams.org/notices/201006/rtx100600706p.pdf |czasopismo=Notices of the AMS |wolumin=57 |numer=6 |s=706–718 |data=2010 |język=en |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj |autor=Elżbieta Stróżecka |tytuł=W magicznym zwierciadle Eschera |url=http://www.matematyka.wroc.pl/doniesienia/w-magicznym-zwierciadle-eschera |data=2012-12-20 |opublikowany=Wrocławski Portal Matematyczny |data dostępu=2021-07-04 |język=pl}}
* {{Cytuj |autor=Tomasz  Żak |tytuł=M. C. Escher – artysta, który w XX wieku odkrył twierdzenia nieznane matematykom |url=http://prac.im.pwr.edu.pl/~zak/Escher.pdf |miejsce=Politechnika Wrocławska |data=24 marca 2011 | data dostępu=2021-07-04 |język=pl |odn=nie}}
* {{Cytuj |url=https://www.youtube.com/watch?v=JkhuMvFQWz4 |tytuł=Coxeter discusses the math behind Escher's circle limit |data=26 grudnia 2010 |praca=twistedlot |opublikowany=[[YouTube]] |data dostępu=2021-07-04 |język=en}}
* [[:en:File:Escher Circle Limit III.jpg|Obraz drzeworytu w Wikipedii angielskojęzycznej]]

[[Kategoria:Obrazy w holenderskich kolekcjach]]
[[Kategoria:Obrazy holenderskich malarzy]]
[[Kategoria:Drzeworyty]]