Tekst źródłowy strony Ciąg Cauchy’ego

[[Plik:Cauchy sequence illustration.svg|thumb|Wykres ciągu Cauchy’ego (''x<sub>n</sub>'') oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi [[odcięta|odciętych]], wartość na osi [[rzędna|rzędnych]]). Jeżeli przestrzeń zawierająca ciąg jest [[przestrzeń zupełna|zupełna]], to jego granica istnieje.]]
[[Plik:Cauchy sequence illustration2.svg|thumb|Ciąg, który nie jest Cauchy’ego. Elementy ciągu nie zbliżają się do siebie wraz z jego postępem.]]

'''Ciąg Cauchy’ego''' – [[ciąg (matematyka)|ciąg]] elementów [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] (np. zbioru [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]), którego dwa dowolne elementy, jeśli mają dostatecznie wysokie indeksy, są dowolnie blisko siebie. O ciągu, który jest ciągiem Cauchy’ego, mówi się też, że spełnia ''warunek Cauchy’ego''. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka [[Augustin Louis Cauchy|Augustina Cauchy’ego]]{{odn|Jahnke|2003|s=167}}.

Skoro definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia ''[[Przestrzeń metryczna|odległości]]'' (''metryki''), to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w [[przestrzeń metryczna|przestrzeniach metrycznych]]. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzenie liniowo-topologiczne]], [[przestrzeń jednostajna|przestrzenie jednostajne]], czy też [[grupa (matematyka)|grupy]].

Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się np. w algorytmach, by wykazać zbieżność procesu [[Iteracja|iteracji]] poprzez wskazanie, iż kolejne wyrazy iteracji tworzą ciąg Cauchy’ego.

Ciągi Cauchy’ego [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]] mogą być użyte do formalnej [[Aksjomaty i konstrukcje liczb#Konstrukcja przy pomocy ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych|konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych]]{{odn|Strzelecki|2018|s=31}}, co zrobili po raz pierwszy [[Charles Méray]] i [[Georg Cantor]]{{odn|Maurin|1991|s=40}}.

== Definicje formalne ==
Niech <math>(a_i)</math> będzie ciągiem liczbowym, tj. <math>a_i\in \mathbb R.</math> Ciąg <math>(a_i)</math> jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
: <math>\forall_{\varepsilon \in \mathbb R, \varepsilon > 0}\; \exists_{N \in \mathbb N}\; \forall_{m, n > N}\; |a_m - a_n| < \varepsilon.</math>

Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą <math>\varepsilon,</math> można ustalić odpowiednio duży wskaźnik <math>N</math> taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż <math>\varepsilon.</math>

Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.

Niech <math>(X, d)</math> będzie przestrzenią metryczną i niech <math>(a_i)</math> będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg <math>(a_i)</math> jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{N \in \mathbb N}\; \forall_{m, n > N}\; d(a_m, a_n) < \varepsilon.</math>

Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą [[Średnica#Średnica zbioru|średnicy zbioru]].

Niech <math>(a_i)</math> będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i <math>A_k = \{a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dots\}.</math> Ciąg <math>(a_i)</math> jest ciągiem Cauchy’ego, gdy
: <math>\lim_{k \to \infty}\; \operatorname{diam}\; A_k = 0.</math>

== Przykłady ==
* Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym <math>a_n = \tfrac{1}{n}</math> jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego <math>\varepsilon</math> wystarczy przyjąć <math>N > \tfrac{2}{\varepsilon}.</math> Wówczas dla <math>p,q > N</math> zachodzi:
*: <math>\left|\frac{1}{p} - \frac{1}{q}\right| \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \leqslant \frac{2}{\min(p,q)} < \frac{2}{N} < \varepsilon.</math>
* Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym <math>a_n = n</math> nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np. <math>\varepsilon=\tfrac{1}{2},</math> wówczas dla dowolnego <math>N</math> dwa wyrazy ciągu <math>a_{N+1}, a_{N+2}</math> spełniają
*: <math>|a_{N+1}-a_{N+2}| = 1 > \varepsilon.</math>

== Własności ==
W dowolnej [[Przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] prawdziwe są zdania:
* jeżeli [[Granica ciągu#Zbieżność|ciąg jest zbieżny]], to spełnia warunek Cauchy’ego<ref>{{otwarty dostęp}} [[Rafał Czyż]], [[Leszek Gasiński]], [[Marta Kosek]], Jerzy Szczepański, [[Halszka Tutaj-Gasińska]], ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_3:_Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87_i_ci%C4%85gi#Ci%C4%85gi_Cauchy’ego Analiza matematyczna 2, wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność]'', wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-07-09].</ref> (ale niekoniecznie odwrotnie, czego przykładem jest ciąg Cauchy’ego <math>a_n=\tfrac{1}{n},</math> choć zawarty na przestrzeni <math>(0,1]</math> to niezbieżny w niej),
* każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
* ciąg Cauchy’ego <math>(x_n)</math> mający [[punkt skupienia ciągu|punkt skupienia]] <math>x_0</math> (zawierający [[podciąg (matematyka)|podciąg]] zbieżny do <math>x_0</math>) jest zbieżny do <math>x_0</math><ref group="uwaga">Niech <math>B(x_0, r)</math> będzie pewną [[kula (matematyka)|kulą]] w przestrzeni metrycznej <math>(X, d);</math> z warunku Cauchy’ego dla ciągu <math>(x_n)</math> wynika istnienie <math>N,</math> dla którego <math>d(x_n, x_m) < \frac{r}{2}</math> dla <math>m, n > N,</math> a ponieważ <math>x_0</math> jest punktem skupienia <math>(x_n),</math> to można wybrać <math>m \geqslant N,</math> dla którego <math>d(x_0, x_m) < \frac{r}{2},</math> skąd <math>x_n \in B(x_0, r)</math> dla <math>n \geqslant N.</math></ref>.

W [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeniach euklidesowych]] <math>\mathbb R^k</math> (w szczególności w przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R</math>) dodatkowo zachodzą własności:
* ciąg punktów <math>\mathbf x_n = (x_{n, 1}, \dots, x_{n, k})</math> jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów <math>x_{n, 1}, \dots, x_{n, k}</math> jest ciągiem Cauchy’ego,
* ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego<ref>{{otwarty dostęp}} [[Rafał Czyż]], [[Leszek Gasiński]], [[Marta Kosek]], Jerzy Szczepański, [[Halszka Tutaj-Gasińska]], ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_3:_Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87_i_ci%C4%85gi#Ci%C4%85gi_Cauchy’ego Analiza matematyczna 1, wykład 3: Odległość i ciągi, 4. Ciągi Cauchy’ego]'', wazniak.mimuw.edu.pl, 9 czerwca 2024 [dostęp 2024-07-09].</ref>. Fakt ten bywa znany jako '''twierdzenie Cauchy’ego'''{{odn|Krych|2010|s=22}}, przy czym termin ten ma też [[Twierdzenie Cauchy’ego|inne znaczenia]].

== Ciąg podstawowy ==
Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się '''ciągiem podstawowym'''. Oczywiście każdy ciąg podstawowy jest ciągiem zbieżnym w <math>\mathbb R.</math>

Ciąg podstawowy może mieć granicę wymierną <math>a\in\mathbb Q,</math> np.:
: <math>\frac{3n + 1}{n + 2} \to 3,\;\;\; (-1)^n\frac{1}{2^n} \to 0</math>

może mieć granicę [[Liczby niewymierne|niewymierną]], np.:
: <math>a_n = \frac{\lfloor 10^{n-1}\cdot\pi \rfloor}{10^{n-1}},</math> gdzie <math>\lfloor x\rfloor</math> oznacza [[podłoga i sufit|część całkowitą]] liczby <math>x.</math>

Jest to ciąg kolejnych [[Zaokrąglanie|przybliżeń dziesiętnych]] z dołu [[pi|liczby π]] <math>(a_n) = (3;\ 3{,}1;\ 3{,}14;\ 3{,}141;\ 3{,}1415;\ 3{,}14159;\ \dots)</math> i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.

Innym przykładem może być ciąg zdefiniowany [[Rekurencja|rekurencyjnie]]:
: <math>a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1},</math>
ciąg ten jest zbieżny do niewymiernej liczby <math>\sqrt 2,</math> postać rekurencyjna wynika z rozwinięcia <math>\sqrt 2</math> w [[ułamek łańcuchowy]] <math>[1; 2,2,2, \dots].</math> Zaletą definicji tego ciągu w porównaniu z definicją poprzedniego jest to, że tu do wyznaczenia wartości kolejnych wyrazów ciągu nie jest wymagana znajomość granicy ciągu.

Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.

Kluczowe znaczenie ciągów podstawowych jest takie, że każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu podstawowego. Wynika to z faktu, że zbiór liczb wymiernych <math>\mathbb Q</math> jest [[Zbiór gęsty|zbiorem gęstym]] w zbiorze liczb rzeczywistych <math>\mathbb R.</math>

Wprowadzając w zbiorze ciągów podstawowych [[Relacja równoważności|relację równoważności]] <math>\sim{:}</math>
: ciągi <math>(a_n),\, (b_n)</math> są w relacji <math>(a_n) \sim (b_n),</math> jeśli ciąg <math>c_n =|a_n-b_n|</math> jest zbieżny do <math>0,</math>
można utożsamić ciągi podstawowe, których granicami jest ta sama liczba rzeczywista. Wówczas każda liczba rzeczywista jest pewną klasą abstrakcji w zbiorze ciągów podstawowych.

Jest to jedna z możliwych [[aksjomaty i konstrukcje liczb#Konstrukcja przy pomocy ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych|konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne]].

== Zupełność ==
{{osobny artykuł|przestrzeń zupełna|przestrzeń Banacha|przestrzeń Hilberta|przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)}}
* [[Przestrzeń metryczna|Przestrzeń metryczną]], w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny, nazywa się '''przestrzenią zupełną'''.
* [[Przestrzeń unormowana|Przestrzeń unormowaną]], która jest zupełna (w sensie metryki generowanej przez [[norma (matematyka)|normę]]), nazywa się '''przestrzenią Banacha'''.
* [[Przestrzeń unitarna|Przestrzeń unitarną]] zupełną nazywa się '''przestrzenią Hilberta'''.

W szczególności przestrzeń <math>\mathbb R</math> (z [[wartość bezwzględna|wartością bezwzględną]]) i przestrzeń <math>\mathbb R^k</math> (z metryką euklidesową) są zupełne.

== Inne postacie ==
=== Szeregi ===
Ponieważ [[szereg (matematyka)|szeregi]] z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.

Niech <math>(E, \|\cdot\|)</math> będzie [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]], a <math>(a_n)</math> ciągiem jej elementów. Szereg <math>\sum~a_i</math> spełnia '''warunek Cauchy’ego''', jeżeli
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{N \in \mathbb N}\; \forall_{m, n > N}\; \left\|\sum_{i = n + 1}^m~a_i\right\| < \varepsilon.</math>

Szereg <math>\sum~a_i</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla <math>\big(\mathbb R^k, |\cdot|\big).</math> Przyjęcie w powyższym warunku <math>m = n + 1</math> daje definicję [[granica ciągu|granicy ciągu]] <math>(a_n)</math> do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się [[kryteria zbieżności szeregów#Warunek konieczny|warunkiem koniecznym zbieżności szeregu]] (zob. [[warunek konieczny]]).

=== Przestrzenie liniowo-topologiczne ===
{{osobny artykuł|przestrzeń liniowo-topologiczna}}
W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg <math>(x_n)</math> punktów przestrzeni liniowo-topologicznej <math>X</math> nazywa się '''ciągiem Cauchy’ego''' wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczenia]] zera <math>U \subseteq X</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N,</math> że dla <math>m, n > N</math> jest
: <math>\mathbf x_n - \mathbf x_m \in U.</math>

W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są [[#Własności|własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych]]. Jeżeli topologia przestrzeni <math>X</math> jest wyznaczona przez [[przestrzeń metryczna#Niezmienniczość na przesunięcia|niezmienniczą na przesunięcia metrykę]] <math>d,</math> to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest [[Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)|przestrzenią Frécheta]] wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną [[baza lokalna|bazę lokalną]] i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

=== Funkcje mierzalne ===
{{osobny artykuł|warunek Cauchy’ego według miary}}

== Zobacz też ==
{{Literatura}}
* [[twierdzenie Baire’a]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]] |oclc = 51607350 |odn=tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Krych |imię = Michał |tytuł = Analiza matematyczna dla ekonomistów |wydanie = I |wydawca = [[Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego]] |miejsce = Warszawa |rok = 2010 |isbn = 978-83-235-0776-5 |odn = tak}}
* {{Cytuj |autor = [[Paweł Strzelecki (matematyk)|Paweł Strzelecki]] |url = https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/Analiza_Matematyczna_1/Notatki_itp./Archiwum_files/skryptAM1-2010-11-ver01.010c.pdf |tytuł = Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) | opublikowany = mimuw.edu.pl |data = 14 grudnia 2018 |data dostępu = 2024-07-08 |dostęp = o |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę | odn = tak | nazwisko = Maurin | imię = Krzysztof | tytuł = Analiza | data = 1991 | isbn = 8301099399 | tytuł tomu = Analiza: Elementy. Cz. 1}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = CauchySequence | tytuł = Cauchy Sequence }} [dostęp 2024-07-08].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Cauchy_sequence Cauchy sequence]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-07-08].

{{Ciągi liczbowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Geometria metryczna]]
[[Kategoria:Ciągi|Cauchy’ego]]
[[Kategoria:Topologiczne własności funkcji]]