Tekst źródłowy strony Ciąg (matematyka)

{{inne znaczenia|pojęcia ogólnego|[[ciąg (teoria grup)|ciągi]] (podgrup) oraz [[ciąg dokładny]] (homomorfizmów)}}
{{Definicja intuicyjna|'''Ciąg''' w matematyce to uporządkowany zestaw liczb lub innych obiektów ponumerowany (indeksowany) liczbami naturalnymi.}}
'''Ciąg''' – przyporządkowanie wszystkim kolejnym [[liczby naturalne|liczbom naturalnym]] (czasami ograniczonych do liczb nie większych niż <math>n</math>) elementów z pewnego ustalonego [[zbiór|zbioru]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3886387 | tytuł = ciąg | data dostępu = 2021-09-30}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor = [[Stefan Banach]] |tytuł = Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych |miejsce = Warszawa |rok = 1951 |strony = 15}}</ref>. W przypadku bez ograniczeń jest to ''ciąg nieskończony'', a w przeciwnym – ''ciąg skończony'' lub <math>n</math>''-elementowy''<ref>{{Cytuj |rozdział = ciąg |tytuł = Matematyka |seria = Encyklopedia Szkolna |data = 1990 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |s = 27 |isbn = 83-02-02551-8}}</ref>.

Każdej liczbie naturalnej <math>i</math> jest przyporządkowywany tylko jeden element, oznaczany zwykle <math>a_i.</math> Elementy <math>a_1, a_2, \dots</math> zwane są zwykle ''wyrazami ciągu''. W odróżnieniu od elementów zbioru, kolejność wyrazów ciągu jest istotna, a ta sama wartość może wystąpić w ciągu wielokrotnie. Rozważając kilka ciągów równocześnie, kolejne z nich oznacza się najczęściej według alfabetu, natomiast ich wyrazy zapisywane są wówczas jako <math>b_i, c_i</math> itd.

== Definicja i oznaczenia ==
W szerszym sensie '''ciąg''' to dowolna [[funkcja]] <math>a\colon I \to X</math> określona na dowolnym zbiorze <math>I</math> [[izomorfizm|izomorficznym]] w sensie [[struktura porządkowa|struktury porządkowej]] z pewnym [[podzbiór|podzbiorem]] zbioru liczb naturalnych i o wartościach należących do pewnego zbioru <math>X</math><ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Reinhardt |imię = Fritz |nazwisko2 = Soeder |imię2 = Heinrich |tytuł = Atlas matematyki |wydawca = Prószyński i S-ka |rok = 2003 |isbn = 83-7469-189-1 |strony = 263}}</ref>. Zbiór <math>I</math> nazywa się '''zbiorem wskaźników''' lub '''indeksów''', a jego elementy – '''wskaźnikami''' bądź '''indeksami'''. Jeśli zbiór wskaźników jest [[zbiór skończony|skończony]], to sam ciąg również nazywa się '''skończonym'''. Jeśli zbiór <math>I</math> nie jest skończony, to ciąg nazywa się '''nieskończonym'''.

Wartości funkcji <math>a</math> nazywa się '''wyrazami''' bądź '''elementami''' ciągu i w miejsce tradycyjnego zapisu <math>a(n)</math> stosuje się zwykle zapis <math>a_n.</math> Sam ciąg oznacza się zazwyczaj nie za pomocą symbolu funkcji, tutaj <math>a,</math> lecz dłuższej notacji <math>(a_n)_{n \in I}</math> lub krótszych jej wariantów <math>(a_n)_n</math> oraz <math>(a_n),</math> gdzie napis w nawiasie nazywa się '''wyrazem ogólnym''' ciągu; w tej roli, zamiast symbolu <math>a_n</math> może wystąpić ''wzór'' na obliczanie <math>a_n</math> dla danego <math>n.</math> Niekiedy zamiast nawiasów okrągłych stosuje się nawiasy klamrowe, np. <math>\{a_n\}_{n \in I}</math> – choć może to powodować kolizję z takim oznaczeniem zbioru elementów <math>a_n,</math> który nie jest tym samym co ciąg.

Zwykle przyjmuje się <math>I = \{1, \dots, k\}</math> (bądź od zera) w przypadku skończonym i pisze często <math>(a_n)_{n = 1}^k</math> oraz <math>I = \mathbb N</math> w przypadku nieskończonym i zapisuje <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> (lub od zera, w zależności od przyjętej definicji liczb naturalnych).

== Przykłady ==
* skończony ciąg pięciu liczb naturalnych: <math>10,\ 2,\ 3,\ 0,\ 12</math>
* nieskończony ciąg stały: <math>5,\ 5,\ 5,\ ,\dots</math>
* nieskończony ciąg: <math>1,\ -1,\ 1,\ -1,\dots</math>
* nieskończony ciąg kolejnych [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]]: <math>2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\dots</math>
* nieskończony ciąg następujących [[liczby wymierne|liczb wymiernych]]: <math>\tfrac{1}{1},\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \dots</math>
* skończony ciąg wielkich liter [[Alfabet łaciński|alfabetu łacińskiego]]: <math>A,\ B,\ C, \dots,\ Z</math>

== Określanie ==
{{Zobacz też|Zmienne zależna i niezależna}}
Wiele ciągów można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów, dlatego wybór sposobu zależy zwykle od zastosowań. Należy mieć przy tym świadomość, że liczba tych ciągów, które można opisać za pomocą jednego z poniższych sposobów, jest znikoma, choć nieskończona w porównaniu do wszystkich możliwych ciągów <math>I \to X,</math> gdzie <math>I, X</math> są ustalonymi zbiorami nieskończonymi. Wynika to z faktu, iż liczba wszystkich możliwych do zapisania formuł jest [[zbiór przeliczalny|co najwyżej przeliczalna]], natomiast zbiór wszystkich ciągów jest [[zbiór nieprzeliczalny|nieprzeliczalny]].

=== Podanie wzoru na wyraz ogólny ===
Jeżeli wyraz ogólny <math>a_n</math> jest (względnie nieskomplikowaną) [[funkcja|funkcją]] wskaźnika <math>n,</math> np.
: <math>a_n = n - 2</math> lub <math>a_n = 3^n,</math> czy <math>a_n = \sin 1/n,</math>

to ciąg można określić, wskazując ten związek, np.
: <math>a = (n - 2)_{n = 1}^\infty,\quad (a_n) = (3^n)_2^7, \quad (a_n)_{n \in \mathbb N} = (\sin 1/n)_n.</math>

=== Wskazanie wyrazów ===
Jeśli ciąg jest skończony i ma niewiele wyrazów, to najszybszą metodą jest zwykle podanie tych wyrazów (jak to uczyniono w pierwszym przykładzie we wstępie). Jeśli wyrazów jest więcej, to zwykle korzysta się z domyślności czytelnika względem wzoru na wyraz ogólny, z tego powodu reguła wiążąca wskaźnik z wyrazem o tym wskaźniku powinna być w tym wypadku szczególnie prosta, np.
: <math>\left((-1)^k\right)_{k = 1}^9 = (-1, +1, -1, +1, -1, +1, -1, +1, -1).</math>

Jeżeli wyrazów jest więcej, to wypisanie kilku początkowych i końcowych wyrazów zwykle wystarcza do odgadnięcia postaci ciągu, np.
: <math>(1, 3, 5, 7, \dots, 97, 99) = (2l - 1)_{l = 1}^{50}.</math>

Podobnie w przypadku ciągów nieskończonych, w przypadku których ze względu na niemożliwość wskazania końca zapisuje się tylko wyrazy początkowe:
: <math>(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots) = \left(m^2\right)_{m = 1}^\infty.</math>

=== Określenia rekurencyjne ===
{{Zobacz też|Rekurencja}}
Definicja rekurencyjna jest to definicja, w której w wyrażeniu definiującym obok symbolu zmiennej <math>n</math> występuje symbol definiowanego ciągu – jest to więc [[równanie funkcyjne]]. W praktyce oznacza to, że wyraz ciągu zależy nie tylko od zmiennej <math>n,</math> ale także jednego lub kilku wyrazów poprzednich.

Przykładem ciągu, w którym każdy wyraz zależy od dwóch poprzednich wyrazów, jest ''[[ciąg Fibonacciego]]'' dany wzorem
: <math>a_n = a_{n-1} + a_{n-2}</math> dla <math>n > 1,</math>

przy czym <math>a_0 = 0</math> oraz <math>a_1 = 1.</math> Oczywiście dany wyraz może zależeć od jednego wyrazu, np. ciąg kolejnych [[silnia|silni]] można zadać wzorem:
: <math>a_k = k a_{k - 1},</math>

z warunkiem <math>a_0 = 1,</math> jak i od wszystkich poprzednich wyrazów ciągu, np. ciąg [[liczby Bernoulliego|liczb Bernoulliego]] zadaje się równaniem
: <math>B_m = -\sum_{k=0}^{m - 1} \binom mk \frac{B_k}{m - k + 1}</math> dla <math>m > 0,</math>

gdzie <math>B_0 = 1.</math>

Ciąg naprzemienny dany wzorem <math>a_k = (-1)^k</math> można zdefiniować rekurencyjnie jako
: <math>a_k = -a_{k-1}</math> dla <math>k > 0,</math>

przyjmując <math>a_0 = 1.</math> Z drugiej strony często pożądana jest definicja jawna (nierekurencyjna) ciągów określonych rekurencyjnie, ma ją np. wyżej wspomniany ciąg liczb Bernoulliego:
: <math>B_m = \sum_{k = 0}^m \sum_{n=0}^k (-1)^n \binom kn \frac{n^m}{k + 1}.</math>

Do definiowania ciągu niekiedy wykorzystuje się inny wcześniej dany ciąg; przykładami mogą być [[#Rodzaje|opisane dalej]] szeregi czy iloczyny nieskończone, których wyrazy zależą od poprzedniego i wyrazu o tym samym wskaźniku innego ciągu.

Definicje rekurencyjne są bardziej „eleganckie” od wzoru na wyraz ogólny, lecz cechuje je zwykle duża [[złożoność obliczeniowa]].

=== Definicje opisowe ===
Słowny opis wyrazów ciągów jest często łatwiejszy niż wymienione wyżej metody, a bywa jedynym z możliwych. Zawsze jednak, gdy to możliwe, definicję formalizuje się w postaci jednej z powyższych metod. Aby jednak taka metoda była użyteczna w zastosowaniach, musi być wystarczająco prosta. Często wystarczy ograniczyć się do [[funkcje elementarne|funkcji elementarnych]], jednak najbardziej naturalną klasą funkcji zdają się być [[funkcja obliczalna|funkcje obliczalne]], czyli te, dla których istnieje reguła wyliczania jej kolejnych wartości dla kolejnych wskaźników. Niezależnie od tego wykorzystuje się także funkcje rozważane w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]], które umożliwiają w dość zwięzły sposób zdefiniowanie trudnych w innym opisie ciągów, np. [[Funkcja licząca liczby pierwsze|funkcja ''π'']] (pi), która ustala liczbę [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]] nie większych od danej, definiuje ciąg
: <math>(0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, \dots)</math>

czy [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcja ''ζ'']] (zeta/dzeta), która pozwala równoważnie zdefiniować wyżej opisany ciąg liczb Bernoulliego.

== Własności ==
Ponieważ ciągi definiuje się jako funkcje, to do ich określania stosuje się pojęcia związane z funkcjami, np. ''[[funkcja stała|ciąg stały]]'', ''[[funkcja monotoniczna|ciąg monotoniczny]]'' (''rosnący'', ''malejący'', ''niemalejący'', ''nierosnący'') czy ''[[funkcja ograniczona|ciąg ograniczony]]''.

Jeśli struktura określona na zbiorze elementów ciągu umożliwia mówienie o [[granica ciągu|granicy ciągu]], np. [[przestrzeń metryczna|struktura metryczna]], to ciąg, który ma granicę (właściwą) nazywa się ''zbieżnym'', a w przeciwnym wypadku mówi się, iż jest on ''rozbieżny''. Ciąg spełniający tzw. ''warunek Cauchy’ego'', czyli ciąg, którego wyrazy „zbliżają się” do siebie, nazywa się ''[[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]]''.

O ciągach zbiorów można powiedzieć, że są ''zstępujące'' lub ''wstępujące'' w zależności od tego, czy kolejne wyrazy (zbiory) ciągu [[podzbiór|zawierają się]] w poprzedzającym, czy w kolejnym.

== Rodzaje ==
{{Osobny artykuł|Ciąg arytmetyczny|Ciąg geometryczny|Szereg (matematyka)|o3=Szereg nieskończony|Iloczyn nieskończony}}
W przypadku, gdy elementy należą do pewnego ciała (np. [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] czy [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]]), można wyróżnić następujące ważne rodzaje ciągów:
* arytmetyczny z parametrami: różnicą <math>r</math> oraz wyrazem początkowym <math>a_1,</math>
*: <math>a_k = a_{k-1} + r</math> w postaci rekurencyjnej,
*: <math>a_k = a_1 + (k - 1)r</math> w postaci jawnej,
* geometryczny z parametrami: ilorazem <math>q</math> i wyrazem początkowym <math>a_1,</math>
*: <math>a_l = a_{l-1}q</math> w postaci rekurencyjnej,
*: <math>a_l = a_1 q^{l - 1}</math> w postaci jawnej.

''Szereg'' definiuje się rekurencyjnie jako ciąg <math>(s_m)</math> zależny od ciągu <math>(a_n)</math> według reguły
: <math>s_m = s_{m - 1} + a_m,</math>

gdzie <math>s_1 = a_1.</math> W postaci jawnej zapisuje się go zwykle jako ciąg tzw. ''sum częściowych''

: <math>s_m = \sum_{n = 1}^m a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_m,</math>

co tylko pozornie omija rekurencyjną naturę definicji. Jeżeli <math>a_n</math> jest [[ciąg funkcyjny|ciągiem funkcyjnym]], to szereg również nazywa się ''[[szereg funkcyjny|szeregiem funkcyjnym]]''.

Podobnie definiuje się ''iloczyny nieskończone'' jako ciągi <math>(p_m)</math> zależne od ciągów <math>(a_n)</math> w następujący sposób:
: <math>p_n = p_{n-1} a_n,</math>

przy czym <math>p_1 = a_1.</math>

Stosuje się też różne nazwy ciągu stosownie do zbioru jego elementów: w przypadku zbioru [[liczba|liczb]] mówi się o ''ciągach liczbowych'' bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] czy [[liczby zespolone|zespolonych]], ciąg nazywa się odpowiednio ''ciągiem całkowitoliczbowym'', ''rzeczywistym'' i ''zespolonym''. Jeśli elementami zbioru są [[funkcja|funkcje]], to ciąg nazywa się ''[[ciąg funkcyjny|ciągiem funkcyjnym]]''. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów danego nazywa się ''[[Podciąg (matematyka)|podciągiem]]''.

== Przestrzenie ciągów ==
{{Osobny artykuł|Przestrzeń funkcyjna}}
W zbiorze <math>K^I</math> ciągów <math>I \to K</math> o elementach z ustalonego [[ciało (matematyka)|ciała]] <math>K,</math> gdzie <math>I</math> jest pewnym zbiorem wskaźników, można określić [[działanie algebraiczne|działania]], wprowadzając tym samym pewną [[algebra ogólna|strukturę algebraiczną]] bądź wprowadzić w niej [[przestrzeń metryczna|metrykę]] wprowadzającą [[przestrzeń topologiczna|strukturę topologiczną]].

=== Dodawanie ===
Sumę dwóch ciągów definiuje się zwykle jako ciąg o wyrazach będących sumą odpowiednich wyrazów tych ciągów,
: <math>(a_n) + (b_n) := (a_n + b_n).</math>

Wśród ciągów o elementach z ustalonego ciała można wyróżnić ciąg stale równy zeru, który pełni rolę [[element neutralny|elementu neutralnego]] dodawania ciągów.

Dla danego ciągu można również wyróżnić [[element odwrotny|element przeciwny]], będący ciągiem o wyrazach przeciwnych do danego, czyli
: <math>-(a_n) := (-a_n).</math>

Działanie to prowadzi do określenia [[Odejmowanie|odejmowania]] i wprowadzenia struktury [[grupa (matematyka)|grupy]] (przy czym można je określić na ciągach elementów z uboższej struktury algebraicznej, np. grupy i dalej uogólniać).

=== Mnożenie ===
Mnożenie dwóch ciągów
: <math>(a_n)(b_n) := (c_n)</math>

można określić jako
: <math>c_n = a_n b_n,</math>

co czyni z <math>K^I</math> [[pierścień (matematyka)|pierścień]] (z [[dzielnik zera|dzielnikami zera]]).

Przyjęcie definicji Cauchy’ego (wariantu [[splot (analiza matematyczna)|splotu dyskretnego]], por. mnożenie Cauchy’ego [[szereg (matematyka)#Działania|szeregów]] i [[Mnożenie macierzy#Standardowe mnożenie macierzy|macierzy]])
: <math>c_n = \sum_{k = 1}^n a_k b_{n+1-k},</math>

przy założeniu, że zbiór wskaźników <math>I = \mathbb N</math> zadaje w <math>K^I</math> strukturę pierścienia bez dzielników zera. Struktura ta jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z [[suma prosta|sumą prostą]] <math>I</math> egzemplarzy <math>K.</math> Można w niej [[zanurzenie (matematyka)|zanurzyć]] [[pierścień wielomianów]] o współczynnikach z <math>K.</math>

=== Mnożenie przez skalar ===
{{Zobacz też|Przykłady przestrzeni liniowych}}
Działanie mnożenia ciągu przez ustalony element z ciała ([[mnożenie przez skalar]])
: <math>c(a_n) := (ca_n)</math>

czyni z <math>K^I</math> wraz z dodawaniem [[przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] (jeśli rozpatruje się ciągi o elementach z ciała) lub [[moduł (matematyka)|moduł]] (jeśli elementy ciągów pochodzą z [[pierścień (matematyka)|pierścienia]]) nad <math>K.</math> Jeśli <math>I</math> jest skończony, to <math>K^I</math> z działaniami dodawania ciągów i mnożenia ich przez skalar nazywa się [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenią współrzędnych]].

=== Struktura topologiczna ===
{{Zobacz też|Przestrzeń Lp|o1=Przestrzeń L<sub>p</sub>}}
W przestrzeni liniowej ciągów o elementach z ciała <math>K</math> można określić strukturę [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanej]]. Klasa norm postaci
: <math>\left\|(a_n)\right\|_p = \left(\sum_{n = 1}^\infty |a_n|^p\right)^{1/p}</math>

umożliwia wyróżnienie [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni]] tych ciągów, dla których norma <math>\left\|(a_i)\right\|</math> jest skończona, co czyni z <math>K^I</math> [[przestrzeń Banacha]].

== Zobacz też ==
{{Wikibooks|Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe|Ciągi liczbowe}}
{{wikisłownik|ciąg}}
* [[zbiór uporządkowany]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* [http://oeis.org/?language=polish OEIS] [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]

{{Ciągi liczbowe}}
{{Funkcje matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Ciągi| ]]