Tekst źródłowy strony Całki eliptyczne

'''Całki eliptyczne''' – to de facto '''[[Funkcja|funkcje]] o wartościach zdefiniowanych za pomocą [[Całka|całek]]''' postaci<ref>{{Cytuj |autor = Eric W. Weisstein |tytuł = Elliptic Integral |data dostępu = 2024-09-10 |opublikowany = mathworld.wolfram.com |url = https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html |język = en}}</ref>{{odn|Bronsztejn|s=409}}
: <math>\int R (t,\sqrt{at^3+bt^2+ct+d} ) dt,\quad</math>lub <math>\int R (t,\sqrt{at^4+bt^3+ct^2+dt+e} ) dt</math>
gdzie <math>R</math> - [[funkcja wymierna]] zależna od <math>t</math> i <math> \sqrt{ W(t)}</math>, gdzie <math>W(t)</math> jest [[wielomian]]em o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4 (<math>a,b,c,d,e </math> - [[liczby rzeczywiste]]).

Każdą całkę eliptyczną można sprowadzić do sumy całek: (a) wyrażonych poprzez [[funkcje elementarne]] (zawierających całki po funkcjach wymiernych) (b) całek nie wyrażających się przez funkcje elementarne, mających trzy możliwe postacie (patrz niżej), nazywanych '''całkami 1., 2. i 3. rodzaju'''. Twierdzenia tego dowiódł [[Joseph Liouville|Liouville]].

Gdy <math>W(t)</math> ma [[Wielomian|pierwiastki jednokrotne]], to całki powyższe nie dają się sprowadzić do funkcji elementarnych. Całki, które da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych, nazywa się '''pseudoeliptycznymi'''. Jest tak, gdy wielomian <math>W(t)</math> ma pierwiastki dwu- i więcej krotne oraz <math>R</math> nie zawiera nieparzystych potęg <math> \sqrt{ W(t)}</math>.

Wyróżnia się całki eliptyczne '''niezupełne''' i '''zupełne''' (te ostatnie będące szczególnym przypadkiem całek niezupełnych). Szczególnie ważne i często używane są całki 1. i 2. rodzaju.

Całki eliptyczne odkryli i badali Giulio Fagnano i [[Leonhard Euler]] (ok. 1750) zajmując się m.in. problemem wyznaczenia [[Długość krzywej|długości łuku]] [[Elipsa|elipsy]]. Stąd pochodzi nazwa tych funkcji.

== Całki eliptyczne niezupełne ==
Całki eliptyczne niezupełne to funkcje zdefiniowane poprzez [[Całka oznaczona|całki oznaczone]], gdzie całkowanie jest w granicach od 0 do <math>\psi,</math> przy czym <math>\psi</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą, <math>\psi \in (-\infty, +\infty).</math> Wyróżnia się dwie równoważne postacie tych całek – [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jakobiego]] i [[Adrien-Marie Legendre|Legendre’a]].

=== Całki eliptyczne niezupełne w postaci Jacobiego ===
Niech <math>\psi \in (-\infty, +\infty)</math>. Definiuje się całki:
:* <math>F(k, \psi) = \int\limits_0^{\sin\psi} \frac{dt}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}\, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju,'''
:* <math>E(k, \psi) = \int\limits_0^{\sin\psi}
\frac{\left(1-k^2 t^2\right) dt}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}} \, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna niezupełna 2. rodzaju,'''
:* <math>\Pi(n ; k, \psi) = \int_0^{\sin\psi}

\frac{dt}{\left(1-n t^2\right)\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}\, , \qquad{}</math> <math>(k^2<1, n</math> – dowolna liczba rzeczywista <math>)</math> – '''całka eliptyczna niezupełna 3. rodzaju'''.

=== Całki eliptyczne niezupełne w postaci Legendre’a ===
[[File:JK Plots of Incomplete Eliptic Integrals with Different k.png|thumb|Wykresy całek eliptycznych niezupełnych 1. rodzaju <math>F(k, \psi)</math> dla <math>\psi \in <-3\pi, 3\pi></math> dla wybranych wartości modułu <math>k</math>. Widać, że całki te rosną ze wzrostem <math>\psi</math>; dla <math>\psi<0</math> mają wartości ujemne, mimo że funkcje podcałkowe zawsze mają wartości dodatnie. |300x300px]]
Legendre zastosował podstawienie <math>t = \sin\phi</math> w całkach postaci Jacobiego, dzięki czemu całki te przyjęły prostszą postać:
:* <math>F(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \frac{d\phi}{\sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)}}\, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju,'''
:* <math>E(k, \psi) = \int\limits_0^\psi \sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)} \;
d\phi
\, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna niezupełna 2. rodzaju,'''
:* <math>\Pi(n ; k, \psi) =\int\limits_0^\psi \frac{d\phi}{\left(1-n \sin^2 \phi\right) \sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)}}
\, , \qquad
</math> <math>(k^2<1, n</math> – dowolna   liczba rzeczywista <math>)</math> – '''całka eliptyczna niezupełna 3. rodzaju.'''

Parametr <math>k</math> występujący w funkcjach <math>F, E,\Pi</math> nazywany jest '''modułem'''. Parametr <math>n</math> całki <math>\Pi(n; k, \psi)</math> nazywany jest '''charakterystyką''' – może przyjmować dowolne wartości niezależnie od innych parametrów.

== Własności całek eliptycznych niezupełnych 1. rodzaju ==
[[Plik:JK Eliptic Integrands First Kind.png|thumb|300x300px|Wykresy funkcji podcałkowych całek 1. rodzaju <math>F(k, \psi)</math> w  postaci Legendre'a dla różnych wartości modułu <math>k.</math> Widoczna jest okresowość tych funkcji z okresem <math>T=\pi</math> oraz dodatnia określoność, skąd wynika szereg ich własności.]]Wartości całek eliptycznych <u>niezupełnych</u> <math>F(k, \psi),</math> <math>E(k, \psi)</math> oraz <math>\Pi(n ; k, \psi)</math> można obliczyć numerycznie. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).

Opierając się na definicji całek eliptycznych 1. rodzaju łatwo wykazać kolejno inne własności, słuszne dla dowolnej wartości zmiennej <math>\psi</math> oraz dowolnej wartości modułu <math>k</math>{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=95}}:

'''Tw. 1''' Całki eliptyczne 1. rodzaju <math>F(k, \psi)</math> są funkcjami rosnącymi w całej dziedzinie <math>\psi \in (-\infty, +\infty)</math> dla dowolnej wartości modułu k. 

'''Tw. 2''' <math>F(k, \psi+\pi)= F(k,\pi) + F(k, \psi)</math>

'''Tw. 3''' <math>F(k, -\psi)
= - F(k,\psi)</math>

'''Tw. 4''' <math>F(k, \pi) = 2F(k,\tfrac{\pi}{2}) = 2 K(k)</math>

'''Tw. 5''' <math>F(k, \psi+n\pi)
= F(k,\psi) +n F(k, \pi)
= F(k,\psi) +n \cdot 2K(k)</math>

gdzie: <math>n=0, \pm1, \pm 2, \cdots</math>, <math> K(k) = F(k,\tfrac{\pi}{2})</math> - cała eliptyczna zupełna 1. rodzaju.

<u>'''Komentarze'''</u>:

1. Własność wyrażoną w Tw. 1 ilustrują pokazane tu wykresy całek <math>F(k, \psi)</math> dla <math>\psi \in <-3\pi, 3\pi></math> i różnych wartości <math>k.</math>

2. Własności wyrażone w Tw. 2-5 można odczytać z [[Wykres funkcji|wykresów funkcji]] podcałkowych <math>f(k, \phi)=\tfrac{1}{\sqrt{(1-k^2\sin^2(\phi)}}</math> całek eliptycznych 1. rodzaju:

('''a''') Dla dowolnej wartości modułu <math>k</math> <u>funkcje podcałkowe są okresowe</u> z okresem  <math>T=\pi</math>; ponieważ wartość całki jest równa wielkości pola powierzchni pod wykresem funkcji podcałkowej (por. interpretacja geometryczna [[Całka Riemanna|całki Riemanna]]), to każde zwiększenie argumentu całki o <math>T=\pi</math> powoduje <u>wzrost wartości całki o identyczną wartość</u>; stąd wynika Tw. 2.  

('''b''') Tw. 3 wynika wprost z definicji całki: <math>F(k, -\psi)
= \int\limits_0^{-\psi} \tfrac{d\phi}{\sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)}}
</math>. Podstawiając '''<math>u=-\psi</math>''' otrzymamy '''<math>du=-d\psi</math>''' oraz zmienią się granice całowania, tak że: <math>F(k, -\psi)
= \int\limits_0^{-\psi} \tfrac{d\phi}{\sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)}}
= -\int\limits_0^{\psi} \tfrac{du}{\sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 u\right)}}
= -F(k,\psi)</math> 

('''c''') Wartość całki oznaczonej <math>F(k, \pi)</math> jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji podcałkowej <math>f(k, \phi)</math> w zakresie od 0 do <math>\pi </math>; z symetrii wykresu w tym zakresie widać, że <math>F(k, \pi)= 2 F(k, \tfrac{\pi}{2})</math>, gdzie <math>F(k, \tfrac{\pi}{2})\equiv K(k)</math> jest całką eliptyczną zupełną 1. rzędu (por. definicję niżej) - jest to treścią Tw. 4.  

('''d''') Tw. 5 wynika z wielokrotnego zastosowania Tw. 2 i 3.

'''<u>Uwaga</u>''':

Wartość całki <math>F(k, \psi)

</math> jest ujemna dla <math>\psi<0

</math>, pomimo że funkcja podcałkowa ma wartości dodatnie. Fakt ten wynika stąd, że górna granica całkowania jest w tym wypadku mniejsza niż dolna. Ma to zastosowanie np. w fizyce do wyznaczenie ruchu [[Wahadło|wahadła]], gdzie kątom odchylenia wahadła od pionu w lewo nadaje się wartości z przeciwnymi znakami niż dla odchyleń w prawo (np. <math>\psi<0

</math> dla odchyleń w lewo, <math>\psi>0

</math> dla odchyleń w prawo). 

== Całki eliptyczne zupełne ==
[[Plik:Mplwp complete ellipticKk.svg|thumb|299x299px|Wykres wartości całki eliptycznej zupełnej 1. rodzaju <math>K(k)</math> w zależności od wartości <math>k.</math>]]
[[Plik:Mplwp complete ellipticEk.svg|thumb|299x299px|Wykres wartości całki eliptycznej zupełnej 2. rodzaju <math>E(k)</math> w zależności od wartości <math>k.</math>]]
[[Plik:Mplwp complete ellipticPi nfixed k.svg|thumb|300x300px|Wykresy wartości całek eliptycznych zupełnych 3. rodzaju <math>\Pi(n,k)</math> w zależności od <math>k</math> dla kilku ustalonych wartości parametru <math>n.</math>]]
Całki eliptyczne zupełne są szczególnym przypadkiem całek niezupełnych <math>F(k, \psi), E(k, \psi)</math> oraz <math>\Pi(n; k, \psi)</math> – oblicza się je podstawiając <math>\psi = \pi/2.</math> Niżej podano je w postaci Legendre’a.
:* <math>K(k) = F \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)}}\, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna zupełna 1. rodzaju,'''
:* <math>E(k) = E \left( k, \frac{\pi}{2} \right) = \int\limits_0^{\pi/2} \sqrt{\left(1-k^2 \sin^2 \phi\right)} \; d\phi \, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna zupełna 2. rodzaju,'''
:* <math>\Pi(n;k) = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\phi}{\left(1-n\sin^2 \phi\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2 \phi}} \, , \qquad ( k^2<1)</math> – '''całka eliptyczna zupełna 3. rodzaju'''

Czasami całki 3. rodzaju definiuje się z odwrotnym znakiem stojącym przed parametrem <math>n{:}</math>
:* <math>\Pi(n;k) = \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\phi}{\left(1+n\sin^2 \phi\right)\sqrt{1-k^2 \sin^2 \phi}}, \quad (k^2<1)\quad{}</math> 

== Wartości całek eliptycznych zupełnych. Monotoniczność ==
Wartości całek eliptycznych <u>zupełnych</u> <math>K(k),</math> <math>E(k)</math> oraz <math>\Pi(n,k)</math> są stabelaryzowane (por. ''Tabela całek'' niżej); można je też znaleźć w niektórych tablicach matematycznych. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).

Na przedstawionych tu wykresach wykreślono wartości całek eliptycznych dla <math>k \in <0,1).</math> Z definicji tych całek oraz z wykresów widać, że całka zupełna 1. rodzaju rośnie ze wzrostem <math>k</math> od wartości <math>K(0)=\frac{\pi}{2}\approx 1{.}57</math> do <math>K(1)=+\infty</math>. Całka eliptyczna 2. rodzaju maleje ze wzrostem <math>k</math> od wartości <math>E(0)=\frac{\pi}{2}\approx 1{.}57</math>  do<math>E(1)=1.</math> 

Monotoniczność tych całek wynika wprost z zależności funkcji podcałkowych od parametru <math>k{:}</math> dla całki <math>K(k)</math> funkcja podcałkowa rośnie ze wzrostem <math>k,</math> a dla całki <math>E(k)</math> funkcja podcałkowa maleje ze wzrostem <math>k.</math>

Całka zupełna 3. rodzaju a) dla <math>k\ne1</math> rośnie ze wzrostem <math>k</math> dla <math>n<1</math> i maleje ze wzrostem <math>k</math> dla <math>n>1</math> b) dla <math>k = 1</math> rozbiega się do nieskończoności dla wszystkich wartości <math>n.</math>

<u>'''Uwaga'''</u>:

Wykresy całek wykreślone w całym zakresie wartości <math>k \in (-1,1)</math> są symetryczne względem osi <math>OY,</math> co wynika z definicji całek: wszystkie całki zależą od <math>k^2,</math> więc mają tę samą wartość dla <math>k</math> i <math>-k.</math> Wynika stąd, że jeśli dla <math>k \in <0,1)</math> funkcja jest rosnąca, to dla <math>k \in (-1,0></math> jest malejąca i na odwrót.

== Zastosowania całek eliptycznych ==
=== Całka eliptyczna 1. rodzaju ===
==== Obliczanie okresu drgań wahadła ====
Okres drgań [[Wahadło|wahadła matematycznego]] jest proporcjonalny do całki eliptycznej zupełnej 1. rodzaju, tj. <math>T\sim K(k),</math> gdzie <math>k=\sin(\tfrac{\theta_0}{2})</math> zależy od amplitudy drgań wahadła <math>\theta_0;</math> dokładnie mamy{{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=97}}:
: <math>T(\theta_0) = 4\sqrt\frac{\ell}{g}\,\cdot K\left( \sin\frac{\theta_0}{2} \right),</math>
gdzie <math>\ell</math> – długość wahadła, <math>\theta_0,</math> <math>g</math> – [[przyspieszenie ziemskie]].

Z wartości całki <math>K(k)</math> wynika (por. Tabela całek niżej), że dla małych amplitud drgań <math>K(\sin \theta_0/2)\approx K(0) = \pi/2,</math> co daje wynik <math>T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}</math> – okres drgań nie zależy od amplitudy ([[izochronizm]] odkryty przez [[Galileusz]]a). Jednak ze wzrostem amplitudy okres drgań rośnie. Np. dla <math>\theta_0 = 90^\circ</math> mamy (por. Tabela całek niżej) <math>K(\sin 45^\circ)\approx K(0{,}707)\approx 1{,}854</math> oraz <math>T(90^\circ) = 7{,}416 \sqrt{\ell/g} = 1,18T_0.</math> Zaś dla <math>\theta_0 = 180^\circ</math> (wahadło wznosi się do pionu) mamy <math>K(\sin 90^\circ) = K(1) = +\infty;</math> stąd <math>T = +\infty</math> – wahadło wznosi się od najniższego położenia do pionu nieskończenie długo (tzw. ruch pełzający){{odn|Królikowski|Rubinowicz|2012|s=98}}.

=== Całka eliptyczna 2. rodzaju ===
==== Obwód elipsy ====
Obwód [[Elipsa|elipsy]] o półosiach <math>a, b</math> zadany jest przez całkę eliptyczną zupełną 2. rodzaju wzorem<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Bronsztejn |imię = I.N. |nazwisko2 = Siemiendiajew |imię2 = K.A. |tytuł = Matematyka – poradnik encyklopedyczny |wydanie = 2 |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1968 |strony = 269}}</ref>
: <math>\ell = 4 a\, E \big(e\big),</math>

gdzie <math>e = \sqrt{a^2-b^2}/a = \sqrt{1-(b/a)^2}</math> – [[Mimośród (matematyka)|mimośród]] elipsy.

Np. dla <math>a = 2</math> oraz <math>b = 1</math> mimośród wynosi <math>e = 0{,}866025.</math> Aby skorzystać z Tabeli całek (por. niżej) obliczamy kąt <math>\alpha = \arcsin(k),</math> przy czym <math>\text{k}\equiv e,</math> co daje <math>\alpha = \arcsin(0,866025)\approx 60^\circ;</math> z tabeli odczytujemy <math>E(e) = 1{,}2110560,</math> co daje obwód elipsy równy <math>l = 9{,}688448.</math>

==== Łuk elipsy ====
('''a''') Łuk elipsy o półosiach <math>a, b,</math> ograniczony kątami <math>\alpha_1, \alpha_2,</math> mierzonymi od osi <math>OX</math> do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez różnicę całek eliptycznych niezupełnych 2. rodzaju wzorem
: <math>\ell(\alpha_1,\alpha_2) = a\,E(e, \psi_2)-a\,E(e,\psi_1),</math>

gdzie: <math>\psi_1 = \operatorname{arctg}\left(\frac{a}{b}\operatorname{tg}(\alpha_1)\right),</math> <math>\psi_2 = \operatorname{arctg}\left(\frac{a}{b}\operatorname{tg}(\alpha_2)\right),</math> <math>e = \sqrt{1-(b/a)^2}</math> – mimośród elipsy.

(Wartości parametrów <math>\psi_1,\psi_2,</math> którym odpowiadają katy <math>\phi_1,\phi_2</math> ograniczające łuk elipsy, wynikają z równań parametrycznych elipsy.)

('''b''') Łuk elipsy o półosiach <math>a, b,</math> ograniczony kątami <math>\alpha_1 = 0, \alpha_2,</math> mierzonymi od osi <math>OX</math> do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez całkę eliptyczną niezupełną 2. rodzaju wzorem
: <math>\ell(\alpha_1 = 0,\alpha_2) = a\,E(e, \psi_2),</math>

gdzie <math>\psi_2 = \operatorname{arctg}\left(\frac{a}{b}\operatorname{tg}(\alpha_2)\right).</math>

=== Całka eliptyczna 3. rodzaju ===
==== Długość łuku południka ====
Długość łuku południka od [[równik]]a do [[Szerokość geograficzna|szerokości geograficznej]] <math>\psi</math> jest określona wzorem:
: <math>d(\psi) = a(1-e^2)\Pi(e^2 ;e^2 , \psi )</math>

gdzie <math>a</math> jest główną osią elipsy, przechodzącej przez bieguny Ziemi, utworzonej z jej południków; <math>e</math> jest mimośrodem tej elipsy.

== Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela ==
Całki tego rodzaju, w których za zmienną <math>y</math> podstawia się dowolną [[Funkcja algebraiczna|funkcję algebraiczną]] zmiennej <math>x,</math> taką że
: <math>P(x,y) = 0,</math>

gdzie <math>P(x,y)</math> jest wielomianem względem zmiennych <math>x</math> i <math>y,</math> nazywa się czasem całkami [[Niels Henrik Abel|Abela]]. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

== Funkcje eliptyczne, czyli funkcje odwrotne do całek eliptycznych ==
[[Plik:Pobrane (1) (29).png|thumb|Funkcje amplitudy Jacobiego am(x, k) dla różnych wartości k.|300x300px]]

[[Funkcja odwrotna|Funkcje odwrotne]] do różnego typu całek eliptycznych noszą nazwę [[funkcje eliptyczne|funkcji eliptycznych]]. W szczególności definiuje się funkcje odwrotne do całek eliptycznych niezupełnych <math>F(k,\psi),</math> <math>E(k,\psi),</math> <math>\Pi(n;k,\psi).</math> Przy czym, aby istniała funkcja odwrotna konieczne jest ograniczenie danej funkcji do przedziału, w którym jest ona monotoniczna. (Jest to analogicznie jak przy definiowaniu [[Funkcje cyklometryczne|funkcji cyklometrycznych]], tj. odwrotnych do [[Funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]].)

=== Funkcja amplitudy – funkcja odwrotna do całki <math>F(k,\psi)</math> ===
Całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju <math>u(k)=F(k, \psi)</math> jest funkcją rosnącą w całym zakresie liczb rzeczywistych, <math>\psi \in (-\infty, +\infty)</math>, dla modułu <math>k\in <-1, 1></math>. [[Obraz (matematyka)|Zbiorem wartości]] tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Z monotoniczności funkcji <math>u(k)=F(k, \psi)</math> wynika, że istnieje funkcja do niej odwrotna, tzw. [[funkcje amplitudy|funkcja amplitudy]] (funkcja amplitudy Jakobiego) <math>\psi(k) = am(k, u), </math> określona w całym zakresie <math>u \in (-\infty, +\infty)</math> dla modułu <math>k</math> w przedziale <math>-1 \leqslant k \leqslant 1.</math>

'''<u>Uwaga 1</u>: O rodzinie całek eliptycznych i funkcji odwrotnych'''

Funkcja <math>u=F(k, \psi)</math> jest funkcją zmiennej <math>\psi,</math> zaś <math>k</math> jest stałą liczbą – oznacza to, że de facto mamy całą rodzinę funkcji i funkcji do nich odwrotnych dla różnych wartości <math>k,</math> <math>-1\leqslant k \leqslant 1.</math> 

'''<u>Uwaga 2</u>: O symetrii wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych''' 

Z zamieszczonych  powyżej wykresów funkcji amplitudy o różnych wartościach k widać, że wykresy te są symetryczne względem prostej y = x do wykresów całek eliptycznych 1. rodzaju o tych samych wartościach k - tak jak jest to w ogólności dla wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych. 

=== Całka eliptyczna odwrotna do funkcji Weierstrassa ===
Przykładem innej całki eliptycznej jest funkcja zmiennej zespolonej <math>z</math> o parametrach <math>g_2, g_3</math> wyrażona przez całkę
: <math>z(w) = \int\limits_w^\infty \frac{dt}{\sqrt{4t^3 - g_2 t - g_3}}</math>
Funkcją odwrotną do niej jest [[Funkcje eliptyczne Weierstrassa|funkcja eliptyczna Weierstrassa]] <math>\wp(z, g_2, g_3).</math>

== Rozwinięcia całek eliptycznych w szereg ==
('''1''') Całka eliptyczna zupełna 1. rodzaju może być przedstawiona za pomocą [[Szereg (matematyka)|szeregu]]<ref>{{Cytuj |autor = Eric W. Weisstein |tytuł = Complete Elliptic Integral of the First Kind |data dostępu = 2024-09-10 |opublikowany = mathworld.wolfram.com |url = https://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html |język = en}}</ref>:
: <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right)^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \big(P_{2 n}(0)\big)^2 k^{2n}</math>
gdzie <math>P_{2 n}</math> [[wielomiany Legendre’a]]. W postaci rozwiniętej mamy:
: <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 k^2+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 k^4+\ldots+\left(\frac{\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right)^2 k^{2n}+\ldots\right)</math>
gdzie <math>n!!</math> oznacza [[Silnia#Silnia wielokrotna|silnię podwójną]].

('''2''') Całka eliptyczna drugiego rodzaju może być przedstawiona za pomocą szeregu<ref>{{Cytuj |autor = Eric W. Weisstein |tytuł = Complete Elliptic Integral of the Second Kind |data dostępu = 2024-09-10 |opublikowany = mathworld.wolfram.com |url = https://mathworld.wolfram.com/CompleteEllipticIntegraloftheSecondKind.html |język = en}}</ref>:
: <math>E(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2n} \left(n!\right)^2}\right)^2 \frac{k^{2n}}{1-2n},</math>
tj.
: <math>E(k) = \frac{\pi}{2}\Big(1-\Big(\tfrac12\Big)^2 \tfrac{k^2}{1}-\left(\tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 \tfrac{k^4}{3}-\ldots-\left(\tfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \tfrac{k^{2n}}{2n-1}-\ldots\Big)</math>

== Obliczenia numeryczne całek eliptycznych ==
Poniżej podano kod programu w C++ liczącego całki eliptyczne zupełne 2. rodzaju <math>E(k)</math> dla <math>\alpha = 0^\circ, 1^\circ, \dots, 90^\circ,</math> gdzie <math>k = \sin\alpha.</math> Zastosowano tu prostą metodę [[całkowanie numeryczne|całkowania numerycznego]] – metodę trapezów. Pomimo prostoty uzyskuje się dowolnie duże dokładności, przy odpowiednio dobranej liczbie podziałów przedziału całkowania. Szybciej zbieżne metody numeryczne wykorzystują np. rozwinięcia funkcji podcałkowej w szeregi (por. powyżej). <syntaxhighlight lang="cpp" line="1">
/* Liczenie całek eliptycznych 2. rodzaju E(k) */
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double t, double k)
{
return sqrt(1-k*k*sin(t)*sin(t));
}

int main()
{
   double t, h, trapez, pole, t1,t2, alfa, alfa_r, k, a, b;
   int m;

   for(int j=0;j<=90;j++)
   {
       alfa=j; //kąt w stopniach
       alfa_r = M_PI/180*alfa;
       k=sin(alfa_r);
       t1=0;        //wartość początkowa przedziału całkowania
       t2=M_PI/2;   //wartość końcowa przedziału całkowania
       m = 10000000;//Liczba podziałów przedziału całkowania

       pole = 0;
       h = (t2-t1)/m;

       t=t1;
       a=f(t,k);

       for(int i=1; i<=m; i++)
       {
           b=f(t+h,k);
           trapez = (a+b)*h/2;
           pole = pole + trapez;
           t=t+h;
           a=b;
       }
       cout << setprecision(7) << fixed;
       cout << " k="<<k<<"  alfa="<<alfa<<"'"<<"  całka E(k)=" << pole << endl;
    }
   return 0;
}
</syntaxhighlight>

'''Obliczenia numeryczne całek eliptycznych niezupełnych'''

'''(1)''' W celu obliczenia całki niezupełnej 2. rodzaju <math>E(k, \psi)</math> wystarczy w powyższym kodzie zmienić parametr t2 z wartości M_PI/2 (oznaczającego liczbę {{pi}}/2) na odpowiednią wartość parametru <math>\psi</math> (linia 24 kodu).

'''(2)''' W celu obliczenia całki niezupełnej 1. rodzaju <math>F(k, \psi)</math> wystarczy zmienić wartość zwracaną przez funkcję na jej odwrotność (linia 10 kodu) oraz nadać wartość parametru <math>\psi</math> (linia 24 kodu).

'''(3)''' W celu obliczenia całki niezupełnej 3. rodzaju <math>\Pi(k, n, \psi)</math> wystarczy zmienić wartość zwracaną przez funkcję zgodnie z definicją funkcji podcałkowej tej całki (linia 10 kodu), podstawiając dodatkowo wartość parametru <math>n</math> oraz podstawić wartość parametru <math>\psi</math> (linia 24 kodu).

== Tabela wartości całek eliptycznych zupełnych K(k) i E(k) ==
Uwaga: Tutaj <math>\text{k} = \sin(\alpha)</math>
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! α° || K(0) || E(0)
|-
| 0° || 1,5707963 || 1,5707963
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Tabela wartości całek eliptycznych
|-
! α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k)
|-
| '''1°''' || 1,5709160 || 1,5706767 || '''11°''' || 1,5853942 || 1,5563998 || '''21°''' || 1,6252337 || 1,5190785 || '''31°''' || 1,6941144 || 1,4607735 || '''41°''' || 1,7992215 || 1,3848866
|-
| 2° || 1,5712750 || 1,5703179 || 12° || 1,5881972 || 1,5536809 || 22° || 1,6307291 || 1,5141469 || 32° || 1,7028359 || 1,4539078 || 42° || 1,8121599 || 1,3765043
|-
| 3° || 1,5718736 || 1,5697202 || 13° || 1,5912544 || 1,5507320 || 23° || 1,6365174 || 1,5090071 || 33° || 1,7119247 || 1,4468692 || 43° || 1,8256019 || 1,3679992
|-
| 4° || 1,5727124 || 1,5688837 || 14° || 1,5945683 || 1,5475546 || 24° || 1,6426041 || 1,5036621 || 34° || 1,7213908 || 1,4396621 || 44° || 1,8395667 || 1,3593770
|-
| '''5°''' || 1,5737921 || 1,5678091 || '''15°''' || 1,5981420 || 1,5441505 || '''25°''' || 1,6489952 || 1,4981149 || '''35°''' || 1,7312452 || 1,4322910 || '''45°''' || 1,8540747 || 1,3506439
|-
| 6° || 1,5751136 || 1,5664968 || 16° || 1,6019785 || 1,5405216 || 26° || 1,6556969 || 1,4923687 || 36° || 1,7414992 || 1,4247603 || 46° || 1,8691475 || 1,3418061
|-
| 7° || 1,5766780 || 1,5649476 || 17° || 1,6060813 || 1,5366698 || 27° || 1,6627160 || 1,4864268 || 37° || 1,7521652 || 1,4170749 || 47° || 1,8848087 || 1,3328700
|-
| 8° || 1,5784866 || 1,5631622 || 18° || 1,6104542 || 1,5325973 || 28° || 1,6700594 || 1,4802927 || 38° || 1,7632562 || 1,4092397 || 48° || 1,9010830 || 1,3238422
|-
| 9° || 1,5805409 || 1,5611417 || 19° || 1,6151009 || 1,5283063 || 29° || 1,6777349 || 1,4739699 || 39° || 1,7747859 || 1,4012598 || 49° || 1,9179975 || 1,3147296
|-
| '''10°''' || 1,5828428 || 1,5588872 || '''20°''' || 1,6200259 || 1,5237992 || '''30°''' || 1,6857504 || 1,4674622 || '''40°''' || 1,7867691 || 1,3931402 || '''50°''' || 1,9355811 || 1,3055391
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ cd. Tabela wartości całek eliptycznych
|-
! α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k) || α° || K(k) || E(k)
|-
| '''51°''' || 1,9538648 || 1,2962780 || '''61°''' || 2,1842132 || 1,2015382 || '''71°''' || 2,5507314 || 1,1096434 || '''81°''' || 3,2553029 || 1,0337895
|-
| 52° || 1,9728823 || 1,2869537 || 62° || 2,2131947 || 1,1920457 || 72° || 2,5998197 || 1,1010622 || 82° || 3,3698680 || 1,0278436
|-
| 53° || 1,9926698 || 1,2775739 || 63° || 2,2435493 || 1,1825891 || 73° || 2,6521380 || 1,0926503 || 83° || 3,5004225 || 1,0223126
|-
| 54° || 2,0132666 || 1,2681465 || 64° || 2,2753764 || 1,1731794 || 74° || 2,7080676 || 1,0844252 || 84° || 3,6518560 || 1,0172369
|-
| '''55°''' || 2,0347153 || 1,2586796 || '''65°''' || 2,3087868 || 1,1638280 || '''75°''' || 2,7680631 || 1,0764051 || '''85°''' || 3,8317420 || 1,0126635
|-
| 56° || 2,0570623 || 1,2491816 || 66° || 2,3439047 || 1,1545467 || 76° || 2,8326726 || 1,0686095 || 86° || 4,0527582 || 1,0086480
|-
| 57° || 2,0803581 || 1,2396612 || 67° || 2,3808702 || 1,1453479 || 77° || 2,9025649 || 1,0610593 || 87° || 4,3386540 || 1,0052586
|-
| 58° || 2,1046577 || 1,2301272 || 68° || 2,4198417 || 1,1362444 || 78° || 2,9785690 || 1,0537769 || 88° || 4,7427173 || 1,0025841
|-
| 59° || 2,1300214 || 1,2205890 || 69° || 2,4609995 || 1,1272496 || 79° || 3,0617286 || 1,0467865 || 89° || 5,4349098 || 1,0007516
|-
| '''60°''' || 2,1565156 || 1,2110560 || '''70°''' || 2,5045501 || 1,1183777 || '''80°''' || 3,1533853 || 1,0401144 || '''90°''' || <math>+\infty</math> || 1,0000000
|}

== Zobacz też ==
* [[funkcje eliptyczne Jacobiego]]
* [[funkcje eliptyczne Weierstrassa]]
* [[funkcje specjalne]]
Inne:
* [[elipsa]]
* [[wahadło]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, ''Poradnik encyklopedyczny. Matematyka'', PWN, Warszawa 1959, s. 92–93 (Tablice całek), s. 409–410 definicje całek
* G. A. Korn, T. M. Korn, ''Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów'', cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str. '''287-296'''.

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = EllipticIntegral | tytuł = Elliptic Integral}} [dostęp 2024-03-07].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Elliptic_integral Elliptic integral]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
* Kalkulator [https://calcresource.com/eval-elliptic1.html całek eliptycznych 1go rodzaju] Dr. Minas E. Lemonis, PhD [dostęp 2024-09-05].

{{Funkcje specjalne}}
{{Krzywe stożkowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki|Eliptyczne]]
[[Kategoria:Funkcje eliptyczne]]