Tekst źródłowy strony Całka względem miary wektorowej

'''Całka względem miary wektorowej''' – rozszerzenie konstrukcji [[całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]] na [[miara wektorowa|miary wektorowe]]. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie – względem miar wektorowych – zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. [[John von Neumann]] zbudował [[mechanika kwantowa|mechanikę kwantową]] w oparciu o [[miara spektralna|miary spektralne]], szczególne miary wektorowe.

== Konstrukcja ==
Niech <math>M</math> będzie niepustym zbiorem, <math>\mathfrak{M}</math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciałem]] jego podzbiorów oraz niech <math>B(\mathfrak{M})</math> oznacza zbiór wszystkich <math>\mathfrak{M}</math>-mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru <math>M</math> w [[ciało (matematyka)|ciało]] skalarów <math>K.</math> Dalej, niech <math>E</math> będzie ustaloną [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]] nad <math>K</math> oraz <math>\nu\colon \mathfrak{M}\to E</math> będzie miarą wektorową o ograniczonym [[miara wektorowa#Wahanie i półwahanie|półwahaniu]], tj. <math>\|\nu\|(M)<\infty.</math>

Jeżeli funkcja <math>f\colon M\to K</math> jest <math>\mathfrak{M}</math>-mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci
: <math>f=\sum_{j=1}^N\alpha_j\mathbf{1}_{A_j},</math>

gdzie <math>\alpha_1,\dots, \alpha_N\in K,</math> a zbiory <math>A_1,\dots, A_N\in\mathfrak{M}</math> są parami rozłączne i <math>\bigcup_{j=1}^NA_j=M.</math> Wzór
: <math>T_\nu f=\sum_{j=1}^N\alpha_j\nu(A_j)</math>

określa [[przekształcenie liniowe|odzworowanie liniowe]] przestrzeni
: <math>Y=\{f\in B(\mathfrak{M})\colon\; \operatorname{card}f(M)<\aleph_0\}</math>

w przestrzeń <math>E.</math> Odwzorowanie to jest ciągłe oraz <math>\|T_\nu\|=\|\nu\|(M).</math> Podprzestrzeń <math>Y</math> jest [[zbiór gęsty|gęsta]], więc odwzorowanie <math>T_\nu</math> można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni <math>B(\mathfrak{M})</math> w przestrzeń <math>E,</math> które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal <math>\|T_\nu\|=\|\nu\|(M).</math> Jeżeli <math>f\in B(\mathfrak{M}),</math> to zamiast <math>T_\nu f</math> piszemy też
: <math>\int\limits_M f d\nu.</math>

Jeżeli <math>f\in B(\mathfrak{M})</math> oraz <math>x^\star \in E^\star,</math> to
: <math>x^\star \int\limits_M f d\nu=\int\limits_M f d(x^\star\circ \nu).</math>

Jeżeli <math>A\in\mathfrak{M},</math> a <math>f\colon A\to K</math> jest ograniczoną funkcją <math>\mathfrak{M}</math>-mierzalną, to
: <math>\int\limits_A f d\nu:=\int\limits_M f_0 d\nu,</math>

gdzie <math>f_0\colon M\to K</math> dana jest wzorem <math>f_0(x)=f(x),</math> gdy <math>x\in A</math> oraz <math>f_0(x)=0,</math> gdy <math>x\in M\setminus A.</math>

Jeżeli <math>A,B\in \mathfrak{M}</math> są rozłączne, a <math>f\colon A\cup N\to K</math> jest ograniczoną funkcją <math>\mathfrak{M}</math>-mierzalną, to
: <math>\int\limits_{A\cup B} f d\nu=\int\limits_A f d\nu+\int\limits_B f d\nu.</math>

Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko= Ma |imię= Tsoy-Wo |autor link= |tytuł= Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations |url = |rok= 2002 |wydawca= World Scientific Pub Co Inc. |miejsce= Providence, Rhode Island |strony=}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Diestel J., Uhl J.J |imię= |autor= |autor link= |tytuł= Vector Measures |url = |rok= 1977 |wydawca= American Mathematical Society |miejsce= Providence, Rhode Island |strony=}}

[[Kategoria:Miary wektorowe]]
[[Kategoria:Całki]]