Tekst źródłowy strony Całka powierzchniowa

'''Całka powierzchniowa''' – [[całka]], w której obszarem całkowania jest [[płat (matematyka)|płat powierzchni]].

== Całka niezorientowana ==
Inne nazwy to ''całka powierzchniowa funkcji skalarnej'' i ''całka powierzchniowa pierwszego rodzaju''.

=== Definicja formalna ===
Niech funkcja rzeczywista <math>f\colon \ S\to \mathbb{R},</math> określona na powierzchni <math>S\subset \mathbb{R}^3,</math> będzie [[Funkcja ciągła|ciągła]]. Poprzez <math>D</math> oznaczamy rzut powierzchni <math>S</math> na [[płaszczyzna|płaszczyznę]] <math>XY.</math> Dzielimy <math>D</math> na podobszary <math>\Delta\delta_1, \Delta\delta_2, \dots, \Delta\delta_n,</math> gdzie <math>\Delta\delta_i \cap \Delta\delta_j=\empty</math> dla każdego <math>i\not=j.</math> Oznaczmy przez <math>P</math> ten konkretny podział.

Oznaczamy przez <math>\Delta S_i</math> tę część powierzchni <math>S,</math> której rzutem na płaszczyznę <math>XY</math> jest <math>\Delta\delta_i.</math> Niech <math>|\Delta \delta_i|</math> oznacza pole powierzchni <math>\Delta \delta_i,</math> a <math>|\Delta S_i|</math> pole powierzchni <math>\Delta S_i</math><ref>Należałoby najpierw zdefiniować pole powierzchni w <math>\mathbb{R}^3.</math> Por. G.M. Fichtenholz, ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', t. 3.</ref>. Na każdym <math>\Delta S_i</math> obieramy dowolny punkt <math>p_i=(x_i, y_i, z_i)\in \Delta S_i.</math> Rzutem <math>p_i</math> na <math>XY</math> jest <math>(x_i, y_i,0)\in\Delta\delta_i.</math>

Tworzymy sumę <math>\sigma (P) = \sum_{i=1}^n f(p_i)|\Delta S_i|.</math> Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów <math>P,</math> żeby największa ze [[średnica#Średnica zbioru|średnic]] <math>\Delta S_i</math> dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich <math>p_i</math> ciąg sum <math>\sigma(P)</math> dąży do tej samej [[granica ciągu|granicy]], to granicę tę oznaczamy symbolem
: <math>\iint\limits_S f(x, y, z)\;dS</math>

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Całka powierzchniowa | id = 3961229 | data dostępu = 2021-07-29 }}</ref>.

=== Obliczanie ===
==== Płat dany jawnie ====
Jeśli płat dany równaniem <math>z = \varphi(x, y),</math> gdzie funkcja <math>\varphi(x, y)</math> jest klasy <math>C^1</math> w <math>D,</math> to
: <math>\iint\limits_S f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_D f\big(x,\ y,\ \varphi(x, y)\big)\sqrt{1+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2}\;dx\;dy.</math>

==== Płat dany parametrycznie ====
Niech płat dany jest równaniami <math>x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v)</math> i ponadto zachodzą następujące warunki:
* funkcje <math>x(u, v),\ y(u, v),\ z(u, v)</math> są klasy <math>C^1</math> w <math>D;</math>
* <math>D</math> jest [[obszar regularny|obszarem regularnym]] [[zbiór domknięty|domkniętym]], ograniczonym jedną [[krzywa|krzywą]] [[krzywa zamknięta|zamkniętą]] [[krzywa zwykła|zwykłą]] częściami [[krzywa gładka|gładką]];
* różnym punktom wnętrza <math>S</math> odpowiadają różne punkty <math>D;</math>
* wyrażenie <math>H = \begin{vmatrix}
x_u & y_u\\
x_v & y_v
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
y_u & z_u\\
y_v & z_v
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
z_u & x_u\\
z_v & x_v
\end{vmatrix}^2</math> jest różne od zera wewnątrz <math>D.</math>

Wtedy
: <math>\iint\limits_S f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_D f\big(x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)\big)\sqrt{H}\;du\;dv.</math>

'''Uwaga.''' Wyrażenie <math>H</math> jest sumą kwadratów [[minor]]ów wziętych z [[Macierz Jacobiego|macierzy Jakobiego]]<math>\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix}
x_u & y_u & z_u\\
x_v & y_v & z_v
\end{bmatrix}.</math>

=== Przykłady zastosowania ===
Jeżeli funkcja <math>f(x,y,z)</math> wyraża [[gęstość]] materialnego płata <math>S</math> w punkcie <math>(x,y,z),</math> to [[masa (fizyka)|masa]] całego tego płata jest równa <math>\iint\limits_S f(x,y,z)dS.</math>

[[Pole powierzchni]] płata <math>S</math> jest równe <math>\iint\limits_S dS.</math>

== Całka zorientowana ==
Inne nazwy to ''całka powierzchniowa składowej normalnej wektora'', ''strumień wektora przez powierzchnię'', ''całka powierzchniowa drugiego rodzaju''.

=== Definicja ===
Niech funkcja wektorowa <math>F\colon \ S \to \mathbb{R}^3,</math> określona na powierzchni <math>S \subset \mathbb{R}^3,</math> będzie [[Funkcja ciągła|ciągła]].

Poprzez <math>D</math> oznaczamy rzut powierzchni <math>S</math> na [[płaszczyzna|płaszczyznę]] <math>XY.</math>

<math>D</math> dzielimy na podobszary <math>\Delta\delta_1, \Delta\delta_2, \dots, \Delta\delta_n,</math> takie że <math>\Delta\delta_i \cap \Delta\delta_j=\empty</math> dla każdego <math>i\not=j.</math> Poprzez <math>P</math> oznaczamy ten konkretny podział. Przez <math>\Delta S_i</math> oznaczamy tę część powierzchni <math>S,</math> której rzutem na płaszczyznę <math>XY</math> jest <math>\Delta\delta_i,</math> a przez <math>|\Delta S_i|</math> oznaczamy pole powierzchni <math>\Delta S_i.</math>

Na każdym <math>\Delta S_i</math> obieramy dowolny punkt <math>p_i=(x_1,y_i,z_i)\in \Delta S_i.</math> Rzutem <math>p_i</math> na <math>XY</math> jest <math>(x_i, y_i, 0)\in\Delta\delta_i.</math>

Tworzymy sumę <math>\sigma(P) = \sum_{i=1}^n F_N(p_i)|\Delta S_i|,</math> gdzie <math>F_N(p_i)</math> jest składową wektora <math>F(p_i)=(X(p_i),Y(p_i),Z(p_i))</math> [[normalna|normalną]] do <math>\Delta S_i.</math>

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów <math>P,</math> żeby największa ze [[średnica#Średnica zbioru|średnic]] <math>\Delta S_i</math> dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich <math>p_i</math> ciąg sum <math>\sigma(P)</math> dąży do tej samej [[granica ciągu|granicy]], to granicę tę oznaczamy symbolem
: <math>\iint\limits_S X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,</math>

lub
: <math>\iint\limits_S Xdydz+Ydzdx+Zdxdy</math>

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną<ref>{{Cytuj|autor=G.M. Fichtenholz|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowa t. 3|s=237}}</ref>. Niekiedy używa się również oznaczenia <math>\iint\limits_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},</math> <math>\iint\limits_S \vec{F}\cdot d\vec{S}</math> lub podobnego<ref>{{Cytuj|redaktor=W. Mizerski|tytuł=Tablice matematyczne|data=2004|miejsce=Warszawa|s=141}}</ref>.

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:
: <math>\iint\limits_S \left(X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy\right)=\iint\limits_S (X\cos\alpha + Y\cos\beta + Z\cos\gamma)\;dS,</math> gdzie <math>\alpha, \ \beta,\ \gamma</math>

to kąty pomiędzy [[Wektor normalny|wektorem normalnym]] do powierzchni S w punkcie <math>(x, y, z),</math> a osiami układu współrzędnych<ref>{{Cytuj|autor=G. M. Fichtenholz|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3|s=241}}</ref>.

=== Obliczanie ===
==== Płat dany jawnie ====
Niech płat jest zadany równaniem <math>z = \varphi(x, y),</math> gdzie funkcja <math>\varphi</math> jest klasy <math>C^1</math> w <math>D.</math> I niech <math>\mathbf{N}=[-\varphi_x, -\varphi_y, 1]</math> jest wektorem normalnym do <math>S</math> skierowanym zgodnie z osią <math>OZ.</math> Wtedy
: <math>\iint\limits_S\mathbf{F}(x, y, z) d\mathbf{\;S} = \varepsilon\iint\limits_D\mathbf{F}(x,\ y,\ \varphi(x, y)) \mathbf{N} \;dx\;dy =</math>

: <math>= \varepsilon\iint\limits_D\Big(- X\left(x,\ y,\ \varphi(x, y)\right)\varphi_x - Y\left(x,\ y,\ \varphi(x, y)\right)\varphi_Y + Z(x,\ y,\ \varphi(x, y))\Big)\;dx\;dy,</math>

gdzie <math>\varepsilon = +1,</math> jeśli płat <math>S</math> jest zorientowany zgodnie z osią <math>OZ,</math> i <math>\varepsilon = -1,</math> jeśli jest zorientowany przeciwnie.

==== Płat dany parametrycznie ====
Niech płat dany jest równaniami <math>x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v),</math> gdzie wszystkie te funkcje są klasy <math>C^1</math> w <math>D.</math> I niech ponadto zachodzą następujące warunki:
* <math>D</math> jest [[obszar regularny|obszarem regularnym]] [[zbiór domknięty|domkniętym]], ograniczonym jedną [[krzywa|krzywą]] [[krzywa zamknięta|zamkniętą]] [[krzywa zwykła|zwykłą]] częściami [[krzywa gładka|gładką]];
* różnym punktom wnętrza <math>S</math> odpowiadają różne punkty <math>D;</math>
* wyrażenie <math>H = |\mathbf{h}|^2 = \begin{vmatrix}
x_u & y_u\\
x_v & y_v
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
y_u & z_u\\
y_v & z_v
\end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix}
z_u & x_u\\
z_v & x_v
\end{vmatrix}^2</math> jest różne od zera wewnątrz <math>D</math> (jest to suma kwadratów [[minor]]ów [[macierz]]y [[Macierz Jacobiego|jakobianowej]] <math>\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix}
x_u & y_u & z_u\\
x_v & y_v & z_v
\end{bmatrix}</math>).

Wtedy:
: <math>\iint\limits_S \mathbf{F}(x, y, z) d\mathbf{\;S} = \varepsilon\iint\limits_D \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv,</math>

gdzie:
: <math>\mathbf{h} = [x_u, y_u, z_u] \times [x_v, y_v, z_v] = \bigg[\begin{vmatrix}
y_u & z_u\\
y_v & z_v
\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}
z_u & x_u\\
z_v & x_v
\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}
x_u & y_u\\
x_v & y_v
\end{vmatrix}\bigg].</math>

Z własności [[iloczyn mieszany|iloczynu mieszanego]] mamy więc:
: <math>\varepsilon\iint\limits_D \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv = \varepsilon\iint\limits_D \begin{vmatrix}
X & Y & Z\\
x_u & y_u & z_u\\
x_v & y_v & z_v
\end{vmatrix}\;du\;dv.</math>

Tu <math>\varepsilon=+1,</math> gdy płat <math>S</math> jest zorientowany zgodnie z wektorem '''h'''; <math>\varepsilon=-1,</math> gdy jest zorientowany przeciwnie.

==== Dane 3 rzuty ====
{{dopracować|sekcja|zweryfikować|niech ten, kto dobrze orientuje się w tym temacie, sprawdzi w tej sekcji wzór i to, co napisano po wzorze.|zrozumiale przepisać reguły o znaczeniach <math>\varepsilon x,</math> <math>\varepsilon y,</math> <math>\varepsilon z.</math> Tak, jak teraz są one napisane, jest zupełnie nie do przyjęcia}}
Jeśli płat <math>S</math> można opisać wzorami <math>x = x(y, z),\ y = y(z, x),\ z = z(x, y),</math> gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach <math>S_{yz},</math> <math>S_{zx},</math> <math>S_{xy},</math> będących rzutami <math>S</math> odpowiednio na <math>OYZ,</math> <math>OZX,</math> <math>OXY,</math> to
: <math>\iint\limits_S\mathbf{F}(x, y, z) d\mathbf{\;S} = \iint\limits_S \left(X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy\right) =</math>
: <math>= \varepsilon_x\iint\limits_{S_{yz}} X(x(y, z),\ y,\ z)\;dy\;dz \;+\; \varepsilon_y\iint\limits_{S_{zx}} Y(x,\ y(z, x),\ z)\;dx\;dz \;+\; \varepsilon_z\iint\limits_{S_{xy}} Z(x,\ y,\ z(x, y))\;dx\;dy.</math>

<math>\varepsilon_x=+1, \varepsilon_y=+1, \varepsilon_z=+1,</math> gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a <math>-1</math> gdy jest zorientowany przeciwnie. <math>\varepsilon_x * \varepsilon_z = +1 \Leftrightarrow z_x < 0</math> itd.
* Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna [[całka podwójna]].
* Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
* Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

=== Przykłady ===
Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w [[prawo Gaussa (elektryczność)|prawie Gaussa]] (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i [[prawo Ampère’a|prawie Ampère’a]].

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa]]
* [[twierdzenie Stokesa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Surface_integral Surface integral]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Całki wielowymiarowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki|powierzchniowa]]