Tekst źródłowy strony Całka Lebesgue’a

{{inne znaczenia|ścisłej matematycznej definicji całki Lebesgue’a|[[Henri Lebesgue#Teoria całkowania|poglądowe ujęcie]]}}
{{spis treści}}

'''Całka Lebesgue’a''' – konstrukcja [[Matematyka|matematyczna]] rozszerzająca pojęcie [[Całka Riemanna|całki Riemanna]] na szerszą klasę [[Funkcja|funkcji]], wprowadzona w 1902 r. przez [[Francja|francuskiego]] matematyka [[Henri Lebesgue|Henriego Lebesgue’a]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3931112 | tytuł = całka Lebesgue’a | data dostępu = 2021-10-04}}</ref>. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.

Sam Lebesgue tak porównywał swoją definicję z klasyczną całką Riemanna{{fakt|data=2021-10|id=2021-10}}:
: Wyobraźcie sobie, że należy zapłacić pewną sumę. Można w tym celu wyciągać pieniądze z portmonetki po kolei, aby uzbierać potrzebną kwotę. To całka Riemanna. Można też wyjąć wszystkie monety naraz, posegregować je według wartości i dopiero teraz zapłacić kilkoma monetami. To moja całka.

Wyjaśnić można to następująco: w metodzie Riemanna przebiega się [[Dziedzina (matematyka)|dziedzinę]] funkcji i mierzy „wysokość” wykresu po kolei w każdym miejscu, podczas gdy metoda Lebesgue’a bierze pod uwagę najpierw zbiór wartości funkcji i stosownie do tego wybiera kawałki dziedziny.

Jeżeli dla danej funkcji istnieje całka Riemanna, to jest ona równa całce Lebesgue’a tej funkcji. Zasadnicza przewaga całki Lebesgue’a polega na tym, że współgra z pojęciem [[Zbieżność punktowa|granicy punktowej ciągu funkcji]] i w opisie matematycznym można zamieniać kolejność operacji liczenia całki i granicy (nie jest to zawsze możliwe w przypadku całki Riemanna). Obecnie całka Lebesgue’a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących.

Całka Riemanna jest konstrukcją związaną nierozerwalnie z [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeniami euklidesowymi]]; uogólnienie Lebesgue’a umożliwia całkowanie funkcji określonych na ogólniejszych [[Przestrzeń mierzalna|przestrzeniach z miarą]]. Niżej naszkicowane podejście jest jednym z wielu możliwych.

== Wprowadzenie ==
[[Plik:Integral of positive function.svg|thumb|350px|Konstrukcja zbiorów ''A<sub>i</sub>''; liczby ''c<sub>i</sub>'' leżą na wysokości czerwonych odcinków]]
Całka Riemanna jest związana z [[Miara Jordana|miarą Jordana]], która jest tylko [[Funkcja addytywna zbioru#Skończona addytywność|skończenie addytywną funkcją zbioru]]. Innymi słowy zakłada się, że miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu [[Funkcja Dirichleta|funkcji Dirichleta]] było zastąpienie miary Jordana [[Miara Lebesgue’a|miarą Lebesgue’a]], która jest już [[Funkcja addytywna zbioru#σ-addytywność|przeliczalnie addytywna]], tzn. taka, że własność sumowania zachodzi także dla nieskończonej ilości zbiorów rozłącznych (zgodnie z tą obserwacją generalizacji uległo także ogólne pojęcie [[Miara (matematyka)|miary]]).

Definicja całki związanej z miarą Lebesgue’a wymaga zmiany spojrzenia na proces mierzenia obszaru. W definicji całki Riemanna dziedzina funkcji jest dzielona na krótkie przedziały. Tymczasem przy obliczaniu całki Lebesgue’a to nie dziedzina, ale [[Dziedzina (matematyka)|przeciwdziedzina]] całkowanej funkcji jest dzielona na skończenie wiele przedziałów.

Dla ułatwienia opisu założone zostanie, iż przeciwdziedzina dodatniej funkcji <math>f</math> jest zawarta w przedziale <math>[0, b].</math> Aby znaleźć przybliżenie wartości pola obszaru pod wykresem funkcji <math>f,</math> należy podzielić przedział <math>[0, b]</math> na rozłączne podprzedziały o końcach w punktach <math>0 = a_0 < a_1 < \dots < a_n < a_{n+1} = b.</math>

Jeżeli przyjąć <math>A_i = f^{-1}\big((a_i, a_{i+1}]\big)</math> (por. rysunek) i wybrać liczby <math>c_i \in (a_i,a_{i+1})</math> (na rysunku liczby te znajdują się na wysokości czerwonych odcinków), to każdy z ''obszarów'' <math>A_i \times [0, c_i]</math> ma ''pole'', które równe jest ''mierze'' <math>|A_i|</math> zbioru <math>A_i</math> pomnożonej przez <math>c_i.</math> Otrzymane w ten sposób ''obszary'' są parami rozłączne, można zatem oczekiwać, że suma ich pól będzie dobrym przybliżeniem do pola obszaru pod funkcją <math>f</math> – tym lepszym, im drobniejszy był początkowy [[Rozbicie zbioru|podział zbioru]] wartości za pomocą liczb <math>a_i.</math> Ściśle podejście to realizuje się poprzez przybliżanie zadanej funkcji [[Funkcja prosta|funkcjami prostymi]], czyli takimi, które mają tylko skończenie wiele wartości przyjmowanych na ''mierzalnych'' podzbiorach dziedziny.

== Konstrukcja ==
=== Oznaczenia ===
{{zobacz też|działanie określone punktowo#Relacja określona punktowo|o1=relacje określone punktowo}}
Dalej stosowana będzie następująca konwencja skracająca zapis: symbole
: <math>f = g,\; f \leqslant g,\; f < g,\; f > g,\; f \geqslant g</math>

oznaczać będą odpowiednie relacje, tzn.
: <math>f(x) = g(x),\; f(x) \leqslant g(x),\; f(x) < g(x),\; f(x) > g(x),\; f(x) \geqslant g(x)</math>

dla wszystkich elementów <math>x</math> należących do ustalonego zbioru lub też całej [[Dziedzina (matematyka)|dziedziny]], jeśli nie zostanie zaznaczone inaczej. Podobnie będzie miała się rzecz z funkcjami <math>\max, \min</math> ([[Funkcje minimum i maksimum|minimum i maksimum]]) i im podobnymi.

Całkę Lebesgue’a wprowadza się zwykle wraz z [[Miara Lebesgue’a|miarą Lebesgue’a]] <math>\lambda</math> jako uogólnienie [[Całka Riemanna|całki Riemanna]] w przestrzeniach euklidesowych. Jednak wybór miary zależy od zastosowań, sama zaś konstrukcja obowiązuje dla szerszej klasy przestrzeni. Z tego powodu wszędzie, gdzie będzie to można zrobić bez szkody dla jasności wywodu oznaczenie miary <math>\mu</math> przy całce, tzn. <math>\operatorname d\mu,</math> będzie konsekwentnie pomijane:
: <math>\int f \;\operatorname d\mu\ \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \int f,</math>

co wydatnie wpłynie na przejrzystość wzorów. Na podobnej zasadzie opuszczane będzie też wskazanie miary <math>\mu</math> przy ''mierzalności'' zbiorów, czy funkcji (zob. niżej).

=== Funkcje mierzalne ===
{{Zobacz też|funkcja mierzalna}}
Niech dana będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzeń z miarą]] <math>(X, \mathcal F, \mu).</math> Elementy [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciała]] <math>\mathcal F</math> określonego na przestrzeni <math>X</math> nazywa się ''zbiorami <math>\mu</math>-mierzalnymi'' względem <math>\mathcal F.</math>

<!--
A skąd ta bzdura??!
to kompletnie nie ma nic do rzeczy. Rodzina potęgowa dowolnego zbioru także jest \sigma-ciałem!!
Własności rodziny zbiorów mierzalnych odzwierciedla intuicje mówiące, że umiejąc zmierzyć dwa zbiory A i B, powinniśmy umieć zmierzyć A\cap B,. A\cup B, A\setminus B, że pusty i całość są mierzalne. Warunek \sigma odzwierciedla możliwość przybliżania zbiorów ciągami innych od wewnątrz.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
<ref group="uwaga">Dzięki temu, że [[Miara (matematyka)|miara]] <math>\mu</math> jest określona na zbiorach σ-ciała <math>\mathcal F,</math> a nie dowolnych podzbiorach przestrzeni <math>X,</math> unika się problemów z jej określeniem dla jej „nieporządnych” zbiorów, np. [[Zbiór Vitalego|zbioru Vitalego]].</ref>
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-->

Funkcja <math>f\colon X \to \mathbb R</math> jest ''<math>\mu</math>-mierzalna'', jeśli <math>\mu</math>-mierzalny jest [[przeciwobraz]] przedziału <math>(-\infty,a),</math> dla dowolnego <math>a\in\mathbb R..</math> Wówczas także mierzalne są przeciwobrazy dowolnych zbiorów [[Zbiór borelowski|borelowskich]].
<!--
dowolnego zbioru [[Zbiór otwarty|otwartego]]/[[Zbiór domknięty|domkniętego]] <math>U,</math> tzn. <math>f^{-1}(U) \in \mathcal F</math> dla otwartych/domkniętych <math>U \subseteq \mathbb R.</math>
-->

Zbiór [[Funkcja mierzalna|funkcji mierzalnych]] jest zamknięty ze względu na [[Działanie algebraiczne|działania algebraiczne]]. W szczególności jeżeli mierzalne są funkcje <math>f, g,</math> to mierzalne są także suma, różnica, iloczyn oraz iloraz tych funkcji, tj.
: <math>f \pm g,\; fg</math> oraz <math>f/g</math> (w ostatnim przypadku: iloraz określony tam, gdzie ma to sens).

Ponadto mierzalne są funkcje:
: <math>|f|,\; \max(f, g),\; \min(f, g)</math>

oraz
: <math>f^+ := \max(f, 0),</math>
: <math>f^- := \max(-f, 0),</math>

nazywane odpowiednio ''częścią dodatnią'' oraz ''ujemną'' funkcji <math>f</math> (moduł, części dodatnia i ujemna są funkcjami nieujemnymi). Wprost z definicji wynika, że:
: <math>f = f^+ - f^-</math> oraz <math>|f| = f^+ + f^-.</math>

Zbiór funkcji mierzalnych jest zamknięty ze względu na branie [[Granica funkcji|granic punktowych]], tzn. jeżeli mierzalne są funkcje należące do [[Ciąg funkcyjny|ciągu]] <math>(f_n)_{n \in \mathbb N},</math> to mierzalne są również funkcje
: <math>\sup f_n,\; \inf f_n,\; \limsup f_n,\; \liminf f_n.</math>

=== Funkcje proste ===
{{Zobacz też|funkcja prosta}}
Funkcję <math>f</math> nazywa się '''prostą''', jeżeli jej [[Obraz (matematyka)|obraz]] jest [[Zbiór skończony|zbiorem skończonym]], zaś każda jej wartość <math>c_i</math> przyjmowana jest na pewnym zbiorze mierzalnym <math>A_i,</math> tzn. <math>A_i = f^{-1}(c_i) \in \mathcal F</math> dla <math>i = 1, \dots, n.</math> Innymi słowy funkcję <math>f</math> nazywa się prostą, jeżeli można przedstawić ją w postaci skończonej [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]] [[Funkcja charakterystyczna zbioru|funkcji charakterystycznych]] (indykatorów) zbiorów mierzalnych:
: <math>f = \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i}</math>

dla pewnych wartości <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> oraz zbiorów <math>A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal F.</math>

=== Całka Lebesgue’a ===
Konstrukcja całki Lebesgue’a polega na stopniowym komplikowaniu klasy funkcji całkowalnych poczynając od najprostszych.

; Funkcje charakterystyczne
Jedyną rozsądną możliwością przypisania wartości całce z [[Funkcja charakterystyczna zbioru|funkcji charakterystycznej]] <math>\chi_A</math> zbioru mierzalnego <math>A</math> jest miara tego zbioru:
: <math>\int \chi_A \;\operatorname d\mu := \mu(A).</math>

Wynik może być równy <math>+\infty,</math> o ile <math>\mu</math> nie jest [[Miara σ-skończona|miarą skończoną]].

; Funkcje proste
Jeżeli <math>f</math> jest ''nieujemną'' funkcją prostą ([[Kombinacja liniowa|kombinacją liniową]] funkcji charakterystycznych), to całkę Lebesgue’a tej funkcji definiuje się wzorem
: <math>\int f \;\operatorname = \int \sum_{i = 1}^n a_i \chi_{A_i} := \sum_{i=1}^n a_i \int \chi_{A_i} = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i).</math>

Całkę Lebesgue’a z dowolnej funkcji prostej <math>g</math> definiuje się jako
: <math>\int g := \int g^+ - \int g^-.</math>

o ile skończona jest przynajmniej jedna z odejmowanych tu całek. Funkcja <math>g</math> jest ''całkowalna'', jeśli obie te całki są skończone.

<!--
Kompletna bzdura. NIGDY nie spotkałem się z sytuacją, aby nazywano całkowalną funkcję z nieskończona wartością całki!!!
Funkcja <math>g</math> jest ''całkowalna'', jeśli przynajmniej jedna z całek z nieujemnych funkcji prostych po prawej stronie jest skończona; brak tego warunku sprawia, że definicja traci sens z powodu możliwego [[Symbol nieoznaczony|wyrażenia nieoznaczonego]] postaci <math>\infty - \infty.</math> Funkcja <math>g</math> jest ''sumowalna'', jeżeli skończone są obie całki po prawej stronie powyższego wzoru<ref group="uwaga" name=sum>Większość autorów nie wyróżnia funkcji sumowalnych, które nazywane są przez nich „całkowalnymi”.</ref>.
-->

; Funkcje mierzalne
Całkę Lebesgue’a nieujemnej funkcji mierzalnej <math>g</math> określa się jako
: <math>\int g := \sup \Bigg\{\int f\colon f</math> jest nieujemną funkcją prostą taką, że <math>f \leqslant g \Bigg\}.</math>

Definicja całki Lebesgue’a z funkcji mierzalnej <math>h</math> nie różni się wiele od definicji całki z dowolnej funkcji prostej:
: <math>\int h := \int h^+ - \int h^-,</math>

gdy skończona jest przynajmniej jedna z odejmowanych tu całek. Podobnie jak wyżej <math>h</math> jest ''całkowalna'', gdy obie te całki są skończone.

<!-- p. wyżej
przy czym podobnie <math>h</math> jest ''całkowalna'', gdy choć jedna z całek po prawej stronie jest skończona i ''sumowalna'', gdy skończone są obie<ref group="uwaga" name=sum />.
-->

; Zbiory mierzalne
Całkę z funkcji mierzalnej <math>f</math> na zbiorze mierzalnym <math>E \in \mathcal F</math> określa się jako
: <math>\int\limits_E f := \int f \chi_E,</math>

gdzie <math>\chi_E</math> oznacza [[Funkcja charakterystyczna zbioru|funkcję charakterystyczną]] zbioru <math>E.</math>

== Własności i podstawowe twierdzenia ==
Niech dana będzie przestrzeń z miarą <math>(X, \mathcal F, \mu),</math> zaś <math>f, g, f_0, f_1, f_2, \dots\colon X \to \mathbb R.</math>

Całka Lebesgue „nie odróżnia” funkcji różniących się na [[Zbiór miary zero|zbiorach miary <math>\mu</math> zero]]. Precyzyjniej: funkcje <math>f</math> i <math>g</math> są sobie równe ''[[Zbiór miary zero|prawie wszędzie]]'' (p.w.), jeżeli
: <math>\mu\Big(\big\{x \in X\colon f(x) \ne g(x)\big\}\Big) = 0.</math><ref group="uwaga">W [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] spotyka się również zapis postaci <math>\mu(f \ne g) = 0.</math></ref>

Dlatego jeśli <math>f, g</math> są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi (przyjmującymi być może nieskończoność) takimi, że <math>f = g</math> prawie wszędzie, to
: <math>\int f = \int g.</math>

Jeżeli <math>f, g</math> są równe sobie prawie wszędzie, to funkcja <math>f</math> jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy całkowalna jest funkcja <math>g,</math> a ich całki są sobie równe.

Do najprostszych własności całki Lebesgue’a można zaliczyć poniższe:
* jeżeli <math>f</math> jest mierzalna i równa zero poza zbiorem miary zerowej, to jest ona całkowalna oraz
*: <math>\int f = 0;</math>
* jeśli <math>f</math> jest mierzalna i [[Funkcja ograniczona|ograniczona]] na <math>E</math> oraz <math>\mu(E)< \infty,</math> to <math>f</math> jest całkowalna na <math>E;</math> dodatkowo jeżeli <math>f(E) \subseteq [a, b],</math> to
*: <math>a \mu(E) \leqslant \int\limits_E f \leqslant b \mu(E);</math>
* jeżeli <math>f</math> jest mierzalna, a <math>g</math> całkowalna, oraz <math>f < |g|</math> prawie wszędzie, to <math>f</math> także jest całkowalna; ponadto
*: <math>-\int g \leqslant \int f \leqslant \int g;</math>

Całka Lebesgue’a ma ponadto następujące ważne własności:
; [[Przekształcenie liniowe|Liniowość]]
Jeśli <math>f, g</math> są całkowalne, to ich [[kombinacja liniowa]] <math>af + bg</math> również jest całkowalna dla dowolnych rzeczywistych <math>a, b,</math> przy czym
: <math>\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g.</math>

; [[Funkcja monotoniczna|Monotoniczność]]
Jeżeli <math>f, g</math> są całkowalne oraz <math>f \leqslant g,</math> to
: <math>\int f \leqslant \int g.</math>

; [[Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej]]
Niech <math>(f_n)</math> będzie ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych takich, że <math>f_n \leqslant f_{n+1}</math> dla każdego <math>n \in \mathbb N.</math> Wówczas
: <math>\lim_n \int f_n = \int \lim_n f_n.</math>

Uwaga: wartość dowolnej z powyższych całek może być nieskończona.

; [[Lemat Fatou]]
Jeżeli <math>(f_n)</math> jest ciągiem nieujemnych funkcji mierzalnych, to
: <math>\int \liminf_n f_n \leqslant \liminf_n \int f_n.</math>

Raz jeszcze wartość dowolnej z całek może być nieskończona.

; [[Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]]
Jeżeli <math>(f_n)</math> jest ciągiem zespolonych funkcji mierzalnych o granicy punktowej <math>f</math> i jeśli istnieje taka funkcja całkowalna <math>g,</math> że <math>|f_n| \leqslant g</math> dla każdego <math>n,</math> to <math>f</math> jest całkowalna oraz
: <math>\lim_n \int f_n = \int f.</math>

; [[Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]] na prostej
Jeżeli funkcja <math>f</math> jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale <math>[a, b]</math> oraz funkcja <math>F\colon [a, b] \to \mathbb R</math> jest określona przez <math>F(x) = \int\limits_a^x f,</math> to <math>F</math> jest [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] [[Zbiór miary zero|prawie wszędzie]], a jej [[Pochodna funkcji|pochodna]] jest prawie wszędzie (tzn. poza [[Zbiór miary zero|zbiorem miary zero]]) równa <math>f(x).</math> Na odwrót, jeżeli funkcja <math>F</math> jest różniczkowalna w przedziale <math>[a, b],</math> a jej pochodna <math>F' = f</math> jest ograniczona w przedziale <math>[a, b],</math> to <math>f</math> jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór
: <math>F(x) - F(a) = \int\limits_a^x f.</math>

== Przykłady ==
Typowym przykładem przewagi całki Lebesgue’a nad całką Riemanna jest [[funkcja Dirichleta]], tzn. [[funkcja charakterystyczna zbioru]] [[Liczby wymierne|liczb wymiernych]], czyli funkcja
: <math>D(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x \notin \mathbb Q, \\ 1 & \text{dla } x \in \mathbb Q. \end{cases}</math>

Zbiór liczb wymiernych jest [[Zbiór przeliczalny|przeliczalny]], poza nim zaś funkcja ta jest stale równa zeru. Dlatego naturalnym jest więc oczekiwanie, że całka tej funkcji („pole pod wykresem”) powinna być równa zeru, w szczególności powinna istnieć sama całka (możliwość „zmierzenia” wspomnianego pola).

Całkowanie Riemanna nie daje sensownego wyniku, w teorii Lebesgue’a jest to natomiast zwykła funkcja prosta, która przyjmuje tylko dwie wartości (0 i 1), tyle że w dość „nieregularny” sposób. Całka Lebesgue’a funkcji <math>D</math> wynosi
: <math>\int D = 0 \cdot \lambda\left(\mathbb R \setminus \mathbb Q\right) + 1 \cdot \lambda(\mathbb Q) = 0,</math>

gdyż miara zbioru liczb wymiernych wynosi zero (co wynika wprost z definicji miary i przeliczalności zbioru liczb wymiernych). W tym przypadku, wychodząc od zbioru wartości, podzielono dziedzinę tylko na ''dwie'' części, przy czym żadna z nich nie była odcinkiem.

Istnieją również funkcje niecałkowalne w sensie Lebesgue’a. Całka
: <math>\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2 + y^2)^2}\,\mathrm dy\,\mathrm dx</math>

nie istnieje, czego można dowieść korzystając z [[Twierdzenie Fubiniego|twierdzenia Fubiniego]].

== Porównanie z całką Riemanna ==
{{osobny artykuł|całka Riemanna}}
[[Plik:Lebesgue and Riemann integration animation.gif|thumb|Przybliżenie całki Riemanna za pomocą [[Suma dolna|sum dolnych]] (góra) oraz dla całki Lebesgue’a przybliżenie całkowanej funkcji za pomocą niemalejącego ciągu funkcji prostych (dół)]]
W przypadku całki Riemanna proces mierzenia tego pola jest oparty na dzieleniu [[Dziedzina (matematyka)|dziedziny]] funkcji na [[Przedział (matematyka)|przedziały]]. Podczas gdy metoda ta działa bardzo dobrze dla [[Funkcja ciągła|funkcji ciągłych]], to funkcje których zbiór punktów nieciągłości nie jest [[Zbiór miary zero|miary zero]], nie są całkowalne w sensie Riemanna. Co więcej, wśród tych niecałkowalnych znajdują się funkcje dość proste i często spotykane, a możliwość ich całkowania (włączenia do teorii całki) jest istotna zarówno dla teoretyków, jak i dla zastosowań.

Na rysunku obok pokazano poglądowe porównanie całek Riemanna i Lebesgue’a. W całce Riemanna podział na prostokąty pola pod wykresem jest z grubsza „dowolny”: dziedzinę dzieli się na drobne kawałki, w każdym „kawałku” wybiera pewną wysokość prostokąta (wysokością jest dowolna wartość funkcji na tym kawałku).

Typowym wyborem w praktyce jest podział równomierny na osi <math>x,</math> jak przedstawiono na górnym rysunku obok. W całce Lebesgue’a przybliża się daną funkcję ''niemalejącym'' ciągiem funkcji prostych. Jest to typowy sposób realizacji [[Kresy dolny i górny|supremum]] użytego w jej definicji. Chociaż graficznie wygląda to na pierwszy rzut oka podobnie, to należy zauważyć, że podział na prostokąty jest „sterowany” zbiorem wartości funkcji prostej. Co więcej, wspomniane funkcje proste można wybierać dość dowolnie; typowy wybór w praktyce opiera się na analizie (podziale) ''zbioru wartości'' danej funkcji podcałkowej, tak jak to opisano to wcześniej. Skutkuje to podziałem dziedziny na kawałki, które nie są już koniecznie tylko odcinkami: jeden „kawałek” może być np. sumą kilku odcinków (na rysunku obok sumy takie zaznaczono wspólnym kolorem prostokąta). W ogólności, dla mniej regularnych funkcji taki „kawałek” może mieć bardzo skomplikowaną postać i aby go „zmierzyć” wprowadza się miarę Lebesgue’a.

Jeżeli funkcja podcałkowa jest dostatecznie regularna, np. ciągła, obie definicje dadzą ten sam rezultat. W przypadku mniej regularnych funkcji całka Riemanna może w ogóle nie istnieć (zob. powyższy [[#Przykład|przykład]]).

Wszystkie [[Całka|wzory na całkowanie funkcji podstawowych]] w sensie Riemmana przenoszą się na odpowiednie wzory dla całki w sensie Lebesgue’a. Obowiązuje również [[twierdzenie Fubiniego]] mówiące o możliwości zamiany całki podwójnej na iterowaną oraz zmianie kolejności obliczania tych całek. Jednak najważniejsze cechy całki Lebesgue’a są związane ze zgodnością pojęcia całki i [[Zbieżność punktowa|granicy punktowej ciągu funkcji]]. Mówiąc najogólniej, przy odpowiednich warunkach całka z [[Granica ciągu|granicy ciągu]] funkcji jest równa granicy ciągu całek tych funkcji. Innymi słowy można zamieniać kolejność liczenia granicy ciągu i całki funkcji. Odpowiednie własności są ujęte precyzyjnie w następujących twierdzeniach:
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej]],
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]],
* [[lemat Fatou]].

Żadne z tych twierdzeń nie może być sformułowane w podobnie prosty sposób dla całki Riemanna, gdyż granica ciągu funkcji („regularnych”, prostych) może w ogóle nie być całkowalna w sensie Riemanna. To właśnie przede wszystkim ta zasadnicza różnica przyczyniła się do sukcesu pozornie bardziej skomplikowanej i odchodzącej od intuicyjnego pojęcia pola teorii Lebesgue’a.

== Alternatywne sformułowania ==
Całkę względem miary Lebesgue’a można określić nie odwołując się do całej skomplikowanej maszynerii [[Teoria miary|teorii miary]]; jednym z takich podejść jest tzw. [[Całka Daniella-Stone’a|całka Daniella]].

Istnieje również podejście do teorii całkowania poprzez metody [[Analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]]. Całka Riemanna istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej <math>f</math> o [[Nośnik funkcji|zwartym nośniku]] określonej na <math>\mathbb R^n</math> (lub ustalonym [[Zbiór otwarty|otwartym podzbiorze]] takiej przestrzeni). Całki ogólniejszych funkcji mogą być skonstruowane za pomocą wspomnianych całek. Otóż niech <math>\mathrm C_c</math> będzie przestrzenią wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej o zwartym nośniku. Definiuje się wówczas [[Przestrzeń unormowana|normę]] na <math>\mathrm C_c</math> wzorem
: <math>\|f\| = \int \big|f(x)\big| \operatorname dx.</math>

Wówczas <math>\mathrm C_c</math> staje się [[Przestrzeń unormowana|unormowaną]] [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] (w szczególności jest to [[przestrzeń metryczna]]). Wszystkie przestrzenie metryczne mają [[Przestrzeń zupełna|uzupełnienia]] [[Przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]]; niech <math>\operatorname L^1</math> będzie takim uzupełnieniem. Przestrzeń ta jest [[Izomorfizm|izomorficzna]] z [[Relacja równoważności|przestrzenią ilorazową]] funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a przez podprzestrzeń funkcji o zerowej całce. Co więcej całka <math>\int</math> Riemanna jest [[funkcjonał]]em [[Funkcja jednostajnie ciągła|jednostajnie ciągłym]] względem normy na <math>\mathrm C_c,</math> która jest gęsta w <math>\operatorname L^1.</math> Stąd <math>\int</math> ma dokładnie jedno rozszerzenie na całą przestrzeń <math>\operatorname L^1.</math> Całka ta jest właśnie całką Lebesgue’a.

Podejście powyższe może być uogólnione; może ono służyć konstrukcji całki względem [[Miara Radona|miary Radona]] na [[Przestrzeń lokalnie zwarta|przestrzeniach lokalnie zwartych]]. Stosuje je m.in. [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] (2004) (zob. [[Miara Radona#Miary Radona na przestrzeniach lokalnie zwartych|miary Radona na przestrzeniach lokalnie zwartych]]).

== Zobacz też ==
* [[Miara Haara|całka Haara]]
* [[Miara (matematyka)|miara]]
* [[Przestrzeń Lp|przestrzeń Lebesgue’a]]
* [[Przestrzeń mierzalna|σ-algebra]]
* [[zbiór miary zero]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Rudin |imię = Walter |tytuł = Analiza rzeczywista i zespolona |wydawca = PWN |rok = 1986 |miejsce = Łódź}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Rudnicki |imię = Ryszard |tytuł = Wykłady z analizy matematycznej |wydawca = PWN |isbn = 83-01-13554-9}}
* {{cytuj książkę |autor = G. B. Folland |tytuł = Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications |język = en}}
* {{cytuj książkę |autor = Paul Halmos |autor2 = P. R. Halmos |tytuł = Measure Theory |wydawca = D. Van Nostrand Company |miejsce = Nowy Jork |rok = 1950 |język = en}}

{{Całki}}
{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki|Lebesgue’a]]
[[Kategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Byłe Artykuły na Medal]]