Tekst źródłowy strony Całka Henstocka-Kurzweila

W [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]] '''całką Henstocka-Kurzweila''' lub '''uogólnioną całką Riemanna''', '''całką cechowania''' – znaną również jako (wąska) '''całka Denjoy''' (wym. [dɑ̃ˈʒwa], nie mylić z bardziej ogólną [[Całka Denjoy|całką Denjoy]]), '''całka Łuzina''' lub '''całka Perrona''' – nazywamy uogólnienie [[Całka Riemanna|całki Riemanna]], a w niektórych przypadkach także całkę ogólniejszą niż [[całka Lebesgue’a]]. W szczególności funkcja jest [[Funkcja całkowalna|całkowalna]] w sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy ta funkcja oraz jej [[wartość bezwzględna]] są całkowalne w sensie Henstocka-Kurzweila.

Całkę tę po raz pierwszy zdefiniował Arnaud Denjoy (1912). Denjoy był zainteresowany całką, która pozwoliłaby na całkowanie takich funkcji, jak
: <math>f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).</math>

Ta funkcja ma [[Osobliwość (matematyka)|osobliwość]] w zerze i nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a. Naturalnym pomysłem wydaje się jednak obliczenie tej całki na zbiorze <math>(-\infty,-\varepsilon)\cup (\delta,\infty)</math> dla pewnych <math>\delta,\varepsilon>0,</math> a następnie dokonanie przejścia granicznego <math>\delta,\varepsilon\to 0.</math>

Próbując stworzyć ogólną teorię, Denjoy użył [[Indukcja pozaskończona|indukcji pozaskończonej]] nad możliwymi typami osobliwości, co mocno skomplikowało definicję. Inne definicje podał [[Nikołaj Łuzin]] (przy użyciu pojęcia [[Ciągłość bezwzględna|ciągłości bezwzględnej]]) oraz Oskar Perron. Po pewnym czasie zrozumiano, że całki Perrona i Denjoya są w istocie identyczne.

Później, w 1957 roku, czeski matematyk [[Jaroslav Kurzweil]] stworzył nową definicję tej całki, elegancko naśladującą pierwotną definicję [[Bernhard Riemann|Riemanna]], którą nazwał '''całką cechowania'''. Teoria tej całki została opracowana przez [[Ralph Henstock|Ralpha Henstocka]], z tego powodu jest ona obecnie powszechnie znana jako '''całka Henstocka-Kurzweila'''. Prostota definicji Kurzweila sprawiła, że niektórzy pedagodzy opowiadają się za tym, aby ta całka zastąpiła całkę Riemanna we wprowadzających kursach z rachunku różniczkowego<ref>{{Cytuj stronę |url = https://math.vanderbilt.edu/schectex/ccc/gauge/letter/ |tytuł = An Open Letter to Authors of Calculus Books |data dostępu = 2021-04-15}}</ref>.

== Definicja ==
Niech <math>P</math> oznacza podział przedziału <math>[a,b],</math> to znaczy zbiór punktów <math>u_0, u_1,\dots,u_n</math> takich, że
: <math>a = u_0 < u_1 < \ldots < u_n = b</math>

razem z punktowaniami <math>t_1,\dots,t_n</math> spełniającymi warunek
: <math>t_i \in [u_{i-1}, u_i].</math>

Wówczas definiujemy sumę riemannowską funkcji
: <math>f \colon [a,b] \to \mathbb{R}</math>

jako
: <math>\sum_P f = \sum_{i=1}^n f(t_i) (u_i-u_{i-1}).</math>

Niech <math>\delta</math> będzie funkcją dodatnią
: <math>\delta \colon [a,b] \to (0, \infty),</math>

którą nazywamy ''cechowaniem''. Mówimy, że podział <math>P</math> jest <math>\delta</math>-drobny, jeśli
: <math>\forall_i \ \ [u_{i-1}, u_i] \subset [t_i-\delta(t_i), t_i + \delta (t_i)].</math>

Liczbę <math>I</math> nazwiemy całką Henstocka-Kurzweila funkcji <math>f</math>'','' jeśli dla każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje cechowanie <math>\delta</math> takie, że jeśli <math>P</math> jest <math>\delta</math>-drobny, to
: <math>\Big\vert \sum_P f - I \Big\vert < \varepsilon.</math>

Jeśli takie <math>I</math> istnieje, to mówimy, że <math>f</math> jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na przedziale <math>[a,b]</math><ref>{{Cytuj stronę |url = https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kurzweil-Henstock_integral |tytuł = Kurzweil-Henstock integral. ''Encyclopedia of Mathematics.'' |data dostępu = 2021-04-15}}</ref>.

Twierdzenie Cousina stwierdza, że dla każdego cechowania <math>\delta,</math> taki <math>\delta</math>-drobny podział <math>P</math> przedziału <math>[a,b]</math> istnieje, więc warunek jest spełniony<ref>{{Cytuj stronę |url = https://math.vanderbilt.edu/schectex/ccc/gauge/ |tytuł = An Introduction to The Gauge Integral |autor = Eric Schechter |data dostępu = 2021-04-15 |odn = tak}}</ref>.

Od razu można zauważyć, że całka Riemanna jest szczególnym przypadkiem całki Henstocka-Kurzweila, bo jest to przypadek, kiedy dopuszczamy tylko [[Funkcja stała|stałe funkcje]] <math>\delta</math>{{odn|Eric Schechter}}.

== Własności ==
* Niech <math>f\colon[a,b]\to \mathbb R.</math> Dla ustalonych <math>a<c<b</math> funkcja <math>f</math> jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila przedziale <math>[a,b]</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na obu przedziałach <math>[a,c]</math> i <math>[c,b],</math> wówczas też{{odn|Eric Schechter}}
: <math>\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx.</math>

* Całki Henstocka-Kurzweila są liniowe. Dla dowolnych funkcji <math>f,g\colon[a,b]\to\mathbb R</math> i liczb rzeczywistych <math>\alpha,\beta</math> wyrażenie <math>\alpha f +\beta g</math> jest całkowalne i zachodzi równość{{odn|Eric Schechter}}
: <math>\int_a^b\alpha f(x)+\beta g(x)\,dx=\alpha\int_a^bf(x)\,dx+\beta\int_a^bg(x)\,dx.</math>

* Jeśli <math>f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna lub Lebesgue’a, to jest ona również całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila, a wartość każdej z całek jest taka sama. [[Twierdzenie Hake’a]] stwierdza, że
: <math>\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{c\to b^-}\int_a^cf(x)\,dx,</math>

o ile tylko obydwie strony równości istnieją. Analogiczny wzór zachodzi dla granicy prawostronnej w lewym końcu przedziału. Oznacza to, że jeśli <math>f</math> całkowalna jako [[całka niewłaściwa]] w sensie Henstocka-Kurzweila, to jest też całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila jako całka właściwa. W szczególności niewłaściwe całki Riemanna lub Lebesgue’a postaci
: <math>\int_0^1\frac{\sin(1/x)}x\,dx</math>

są również właściwymi całkami Henstocka-Kurzweila. Badanie niewłaściwej całki Henstocka-Kurzweila o skończonych granicach nie miałoby sensu. Wartościowe jest jednak jest rozważenie niewłaściwych całek Henstocka-Kurzweila na przedziałach nieograniczonych, takich jak{{odn|Eric Schechter}}
: <math>\int_a^\infty f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx.</math>

* Dla wielu rodzin funkcji całka Henstocka-Kurzweila nie jest bardziej ogólna niż całka Lebesgue’a. W szczególności, jeżeli <math>f</math> jest [[Funkcja ograniczona|funkcją ograniczoną]] o [[Nośnik funkcji|nośniku]] [[Przestrzeń zwarta|zwartym]], to następujące stwierdzenia są równoważne:
# <math>f</math> jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila,
# <math>f</math> jest całkowalna w sensie Lebesgue’a,
# <math>f</math> jest [[Funkcja mierzalna|mierzalna]] względem [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]]{{odn|Eric Schechter}}.

* Ogólnie rzecz biorąc, każda funkcja całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila jest mierzalna, a <math>f</math> jest całkowalna w sensie Lebesgue’a wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno <math>f,</math> jak i <math>|f|</math> są całkowalne w sensie Henstocka-Kurzweila. Oznacza to, że całkę Henstocka-Kurzweila można traktować jako nie będącą zbieżną [[Szereg (matematyka)|bezwzględnie]] wersję całki Lebesgue’a. Oznacza to również, że całka Henstocka-Kurzweila spełnia odpowiednie wersje [[Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej|twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej]] (bez wymogu nieujemności funkcji) i [[Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej|twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]] (gdzie warunek ograniczoności jest osłabiony do <math>g(x)\leqslant f_n(x)\leqslant h(x)</math> dla pewnych funkcji całkowalnych <math>g,h</math>){{odn|Eric Schechter}}.

* Jeśli <math>F</math> jest funkcją wszędzie różniczkowalną (poza być może przeliczalnie wieloma punktami), to pochodna <math>F'</math> jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila, a jej całka nieoznaczona Henstocka-Kurzweila to <math>F.</math> Jest to mocne twierdzenie, gdyż <math>F'</math> nie musi być całkowalna w sensie Lebesgue’a. Innymi słowy, otrzymujemy prostszą i bardziej satysfakcjonującą wersję [[Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego|podstawowego twierdzenia rachunku całkowego]]: każda [[funkcja różniczkowalna]] jest, z dokładnością do stałej, całką swojej pochodnej:
: <math>F(x) - F(a) = \int_a^x F'(t) \,dt.</math>

Odwrotnie, [[twierdzenie Lebesgue’a o różniczkowaniu]] obowiązuje także dla całki Henstocka-Kurzweila: jeśli <math>f</math> jest całkowalna w sensie Henstocka-Kurzweila na <math>[a,b]</math> oraz
: <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,</math>

wtedy równość <math>F'(x)=f(x)</math> zachodzi prawie wszędzie na <math>[a,b]</math> (w szczególności <math>F</math> jest różniczkowalna prawie wszędzie){{odn|Eric Schechter}}.

== Całka McShane’a ==
[[Całka Lebesgue’a|Całkę Lebesgue’a]] na prostej można również zmodyfikować w podobny sposób.

Jeśli weźmiemy powyższą definicję całki Henstocka-Kurzweila i pominiemy warunek
: <math>t_i \in [u_{i-1}, u_i],</math>

to otrzymamy definicję [[Całka McShane’a|całki McShane’a]], która jest odpowiednikiem całki Lebesgue’a. Warto zwrócić uwagę na to, że warunek
: <math>\forall_i \ \ [u_{i-1}, u_i] \subset [t_i-\delta(t_i), t_i + \delta (t_i)]</math>

nadal zachodzi, jedynie dodatkowo żądamy, aby <math>t_i \in [a,b],</math> żeby <math>f(t_i)</math> było dobrze określone.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Bartle |imię = Robert G. |tytuł = A Modern Theory of Integration |seria = Graduate Studies in Mathematics |tom = 32 |wydawca = American Mathematical Society |rok = 2001 |isbn = 978-0-8218-0845-0 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Bartle |imię = Robert G. |nazwisko2 = Sherbert |imię2 = Donald R. |tytuł = Introduction to Real Analysis |url = https://archive.org/details/introductiontore00bart_1 |wydawca = Wiley |wydanie = 3 |rok = 1999 |isbn = 978-0-471-32148-4 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Čelidze |imię = V.G. |nazwisko2 = Džvaršeǐšvili |imię2 = A.G. |tytuł = The Theory of the Denjoy Integral and Some Applications |seria = Series in Real Analysis |tom = 3 |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 1989 |isbn = 978-981-02-0021-3 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Das |imię = A.G. |tytuł = The Riemann, Lebesgue, and Generalized Riemann Integrals |wydawca = Narosa Publishers |rok = 2008 |isbn = 978-81-7319-933-2 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Gordon |imię = Russell A. |tytuł = The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock |url = https://archive.org/details/integralsoflebes0004gord |seria = Graduate Studies in Mathematics |tom = 4 |wydawca = American Mathematical Society |miejsce = Providence, RI |rok = 1994 |isbn = 978-0-8218-3805-1 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Henstock |imię = Ralph |tytuł = Lectures on the Theory of Integration |url = https://archive.org/details/lecturesontheory0000hens |seria = Series in Real Analysis |tom = 1 |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 1988 |isbn = 978-9971-5-0450-2 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kurzweil |imię = Jaroslav |tytuł = Henstock–Kurzweil Integration: Its Relation to Topological Vector Spaces |seria = Series in Real Analysis |tom = 7 |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 2000 |isbn = 978-981-02-4207-7 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kurzweil |imię = Jaroslav |tytuł = Integration Between the Lebesgue Integral and the Henstock–Kurzweil Integral: Its Relation to Locally Convex Vector Spaces |seria = Series in Real Analysis |tom = 8 |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 2002 |isbn = 978-981-238-046-3 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Leader |imię = Solomon |tytuł = The Kurzweil–Henstock Integral & Its Differentials |seria = Pure and Applied Mathematics Series |wydawca = CRC |rok = 2001 |isbn = 978-0-8247-0535-0}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Lee |imię = Peng-Yee |tytuł = Lanzhou Lectures on Henstock Integration |seria = Series in Real Analysis |tom = 2 |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 1989 |isbn = 978-9971-5-0891-3 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Peng-Yee |imię = Lee |nazwisko2 = Výborný |imię2 = Rudolf |tytuł = Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock |url = https://archive.org/details/integraleasyappr0000leep |seria = Australian Mathematical Society Lecture Series |wydawca = Cambridge University Press |rok = 2000 |isbn = 978-0-521-77968-5 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = McLeod |imię = Robert M. |tytuł = The generalized Riemann integral |seria = Carus Mathematical Monographs |tom = 20 |wydawca = Mathematical Association of America |miejsce = Washington, D.C. |rok = 1980 |isbn = 978-0-88385-021-3 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Swartz |imię = Charles W. |tytuł = Introduction to Gauge Integrals |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 2001 |isbn = 978-981-02-4239-8 |język = en}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Swartz |imię = Charles W. |nazwisko2 = Kurtz |imię2 = Douglas S. |tytuł = Theories of Integration: The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock–Kurzweil, and McShane |seria = Series in Real Analysis |tom = 9 |wydawca = World Scientific Publishing Company |rok = 2004 |isbn = 978-981-256-611-9 |język = en}}

{{Całki}}

[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Całki]]