Tekst źródłowy strony Całka

{{Inne znaczenia}}

'''Całka''' – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą, pojęć [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]]. Najczęściej przez „całkę” rozumie się [[Całka Riemanna|całkę oznaczoną]] lub [[Funkcja pierwotna|całkę nieoznaczoną]], choć istnieje wiele innych odmian całki. Ścisłe definicje można znaleźć w artykułach dotyczących poszczególnych całek.

W artykule [[Rachunek różniczkowy i całkowy#Historia|rachunek różniczkowy i całkowy]] podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Polskojęzyczna nazwa została wprowadzona przez [[Jan Śniadecki|Jana Śniadeckiego]] jako tłumaczenie {{niem.|Integral}}<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Całka | id = 3882822 | data dostępu = 2021-07-29}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://muzhp.pl/en/e/1410/urodzil-si-jan-sniadecki |tytuł = Urodził się Jan Śniadecki |autor = |opublikowany = |język = |data dostępu = 2018-01-26}}</ref> (wraz z „różniczką” jako tłumaczeniem {{niem.|Differential}}<ref group="uwaga">Opracowane przez Śniadeckiego terminy dot. [[Funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]]: „wstawa” (sinus) i „dostawa” (kosinus), czy „styczna” (tangens) i „dostyczna” (kotangens) nie zdobyły równie dużego uznania, czy popularności i są dzisiaj jedynie ciekawostką historyczną (zob. [[Funkcje trygonometryczne#Polskie nazwy|polskie nazwy funkcji trygonometrycznych]]).</ref>).

== Intuicyjne określenie całki ==
[[Plik:Integral as region under curve.png|mały|Całka jako pole powierzchni obszaru pod krzywą.]]
Całki można sobie wyobrazić jako sumy nieskończenie wielu ''nieskończenie małych'' wartości, takich jak np. wartość funkcji pomnożona przez ''nieskończenie małą'' [[Różniczka|różniczkę jej zmiennej]]: <math>f(x) dx</math> (co znajduje odzwierciedlenie w podejściu Riemanna, zob. dalej). Jest to określenie nieścisłe i nieformalne, choć używane w początkach [[Historia rachunku różniczkowego i całkowego|rachunku całkowego]] przez [[Gottfried Wilhelm Leibniz|G.W. Leibniza]]. Dziś ma ono znaczenie jedynie poglądowe i historyczne, natomiast poszczególne rodzaje całek są definiowane ściśle. Z powodu intuicyjnej interpretacji jej jako sumy, symbol całki to wydłużone S, czyli <math>\scriptstyle\int,</math> wprowadzone jeszcze przez Leibniza{{odn|Jahnke|2003|s=89}}.

== Rodzaje całek ==
=== Całka oznaczona ===
[[Plik:Integral example.png|thumb|Całkę oznaczoną na przedziale [<math>a, b</math>] z funkcji <math>f,</math> można interpretować jako różnicę pól powierzchni figur ograniczonych prostymi <math>x = a,</math> <math>x = b,</math> wykresem funkcji <math>f</math> oraz osią <math>x{:}</math> części nad osią oraz pod nią.]]
{{Osobny artykuł|Całka oznaczona}}
Intuicyjnie całka oznaczona to [[pole powierzchni]] między [[Wykres funkcji|wykresem funkcji]] <math>f(x)</math> w pewnym przedziale <math>[a,b]</math> a [[Odcięta|osią odciętych]], wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest [[Funkcja całkowalna|całkowalna]] według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.

Znane są następujące całki oznaczone:
* [[całka Riemanna]], [[Całka Riemanna#Całka Darboux|całka Darboux]] – najprostsze (równoważne ze sobą) definicje całki oznaczonej (zobacz rysunek obok), jednak nie obejmujące wielu ważnych funkcji. Stąd powstało wiele uogólnień tych całek na szerszą klasę funkcji:
** [[całka niewłaściwa]] (Riemanna) – uogólnienie całki Riemanna na niektóre funkcje określone na przedziałach nieskończonych oraz na niektóre funkcje nieograniczone na przedziałach ograniczonych bądź nie.
*** [[całka Riemanna-Stieltjesa]] – uogólnienie całki niewłaściwej, gdy obszarem całkowania nie jest przedział, lecz zbiór wartości pewnej funkcji.
**** [[całka Russo-Vallois]] – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa.
* [[całka Daniella-Stone’a]].
* [[całka Henstocka-Kurzweila]] (inne nazwy: [[całka Łuzina]], [[całka Denjoy]], [[całka Perrona]], [[całka Denjoy-Perrona]]).
* [[całka Lebesgue’a]] – najczęściej stosowane uogólnienie całki Riemanna. Rozszerza klasę całkowalnych funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Pozwala także na całkowanie funkcji określonych na innych [[Przestrzeń mierzalna|przestrzeniach mierzalnych]] i w tym sensie wykracza poza tradycyjne rozumienie całki oznaczonej. Całka Lebesgue’a ma własne uogólnienia i szczególne przypadki:
** [[całka Lebesgue’a-Stieltjesa]] – odpowiednik całki Riemanna-Stieltjesa, gdzie funkcja jest całkowana tak jak w całce Lebesgue’a;
** [[Miara Haara|całka Haara]] – całka Lebesgue’a dla [[Funkcja mierzalna|funkcji mierzalnych]] względem [[Miara Haara|miary Haara]], określonej na [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciele]] [[Zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] [[Przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartej]] [[Grupa topologiczna|grupy topologicznej]].
* całki w przestrzeniach funkcyjnych:
** [[całka względem miary wektorowej]] – całka z funkcji skalarnej względem [[Miara wektorowa|miary wektorowej]].
** całki z funkcji o wartościach wektorowych (np. w [[Przestrzeń Banacha|przestrzeniach Banacha]] bądź [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|szerszej klasie]] przestrzeni):
*** [[całka Pettisa]], [[całka Gelfanda]];
*** [[całka Dunforda]];
*** [[całka McShane’a]];
*** [[całka Bochnera]].
** [[całka Bartle’a]] – całka z funkcji o wartościach wektorowych względem miar wektorowych.

=== Całka nieoznaczona ===
{{Osobny artykuł|Funkcja pierwotna}}
Przez całkę nieoznaczoną (albo funkcję pierwotną) rozumie się pojęcie odwrotne do [[Pochodna funkcji|pochodnej]] funkcji (zob. [[podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]]). Całkę oznaczoną na przedziale <math>[a, b]</math> można też zdefiniować (tzw. [[Całka Riemanna#Twierdzenie Newtona-Leibniza|całka Newtona-Leibniza]]) jako różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach <math>b</math> oraz <math>a.</math> Stąd obliczenie całki nieoznaczonej jest często pierwszym krokiem przy obliczaniu całek oznaczonych.

Uogólnieniem całki nieoznaczonej jest [[Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego|całka równania różniczkowego]] będąca rozwiązaniem [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowego]]: <math>F' (x)=f(x),</math> gdzie <math>F(x)</math> jest pierwotną, a <math>f(x)</math> oznacza całkowaną funkcję.

W drugiej połowie XX wieku wprowadzono nowe rodzaje całek nieoznaczonych, które umożliwiają obliczenia w obszarze analizy niearchimedesowej. Jedną z nich jest [[całka Volkenborna]], określona przez granicę
: <math>\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^n} \sum_{x=0}^{p^n-1} f(x).</math>

=== Pozostałe ===
* [[całka krzywoliniowa]] – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna [[krzywa]].
* [[całka powierzchniowa]] – odpowiednik całki oznaczonej, gdzie obszarem całkowania jest pewna [[powierzchnia]], np. pewne [[koło]], albo połowa [[Sfera|sfery]]. Całka krzywoliniowa i całka powierzchniowa to szczególne przypadki całki na hiperpowierzchni. W nowoczesnej teorii całkowania, traktuje się je jako całki Lebesgue’a względem pewnych niezmienniczych miar, określonych na σ-ciałach związanych z daną hiperpowierzchnią.
* [[całka podwójna]] – potocznie: całka z całki (z parametrem). Analogicznie całka potrójna, i ogólnie [[Całka wielokrotna|wielokrotna]]. Obecnie, całki <math>n</math>-krotne traktuje się jako całki Lebesgue’a względem <math>n</math>-wymiarowej [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]].
* [[całka stochastyczna]] – specjalny rodzaj całki używany w [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]]. Ma kilka wersji:
** [[całka Paleya-Wienera]] (całka Paleya-Wienera-Zygmunda);
** [[całka Itō]] – najpowszechniej używana całka stochastyczna;
** [[całka Stratonowicza]] – najczęstsza alternatywa dla całki Itō, czasem wygodniejsza.

Niektóre przypadki całek oznaczonych i nieoznaczonych dla pewnych szczególnych funkcji mają własne nazwy:
* [[całki eliptyczne]];
* [[całka abelowa]];
* [[Splot (analiza matematyczna)#Całka Duhamela|całka Duhamela]] (pochodna [[Splot (analiza matematyczna)|splotu funkcji]]);
* [[Całki Fresnela|całka Fresnela]];
* [[całka Poissona]];
* [[całka wymiany]];
* [[całka J]].

== Wyznaczanie całki ==
[[Plik:Calculation of integral.JPG|thumb|Wyznaczanie całki oznaczonej przy pomocy [[kalkulator]]a naukowego]]
Całki niektórych funkcji nie istnieją, a niektórych innych funkcji nie dają się zapisać za pomocą standardowych [[Funkcja|funkcji matematycznych]]. Często całkowanie jest twórczym procesem nie opierającym się na żadnym ścisłym algorytmie. Co prawda, [[algorytm Rischa]] pozwala dla każdej [[Funkcje elementarne|funkcji elementarnej]] sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Ten [[algorytm]] jednak jest bardzo długi i skomplikowany, dlatego też rzadko stosowany; ponadto nie obejmuje on całek wyrażonych przez [[funkcje specjalne]].

Zwykle w praktycznych problemach [[Całkowanie numeryczne|całkuje się numerycznie]] lub próbuje się sprowadzić całkę (m.in. za pomocą tzw. [[Całkowanie przez podstawienie|całkowania przez podstawienie]], [[Całkowanie przez części|całkowania przez części]], przekształceń algebraicznych lub [[Funkcje trygonometryczne#Całki funkcji trygonometrycznych|trygonometrycznych]]) do znanych całek, których szuka się w tablicach.

== Przykłady zapisu ==
: <math>\int f(x) dx</math> – całka nieoznaczona ([[funkcja pierwotna]])

: <math>\int\limits_a^b f(x) dx</math> – całka oznaczona

: <math>{}\,\int\limits_{-\infty}^0 f(x) dx</math> – całka niewłaściwa

: <math>\int\limits_E f(x) dx</math> – całka Lebesgue’a

: <math>\iint\limits_D f(x,y) dxdy</math> – całka podwójna po [[Obszar (matematyka)|obszarze]] <math>D\in \mathbb{R}^2</math>

: <math>\iiint\limits_D f(x,y,z) dxdydz</math> – całka potrójna po [[Obszar (matematyka)|obszarze]] <math>D\in \mathbb{R}^3</math>

: <math>\iint\limits_S f(x, y, z)dS</math> – całka powierzchniowa

: <math>\int\limits_S f(x,y)dl</math> – całka krzywoliniowa nieskierowana po krzywej <math>S</math>

: <math>\int\limits_S P(x,y)dx+Q(x,y)dy</math> – całka krzywoliniowa skierowana po krzywej <math>S</math>

: <math>\oint\limits_C f(z)dz</math> – zespolona całka krzywoliniowa skierowana po krzywej zamkniętej (np. [[kontur]]ze) <math>C</math>

== Symbol całki ==
Symbol całki {{unicode|∫}} powstał jako wydłużona litera '''ſ''' („[[długie s]]”) lub mała litera [[Ʃ|esz]].
[[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm von Leibniz]] oparł symbol całki na łacińskim słowie ''summa'' (suma), które pisał ''ſumma''.

== Zobacz też ==
{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica całek|tablicę całek}}
{{wikisłownik|całka}}
* [[metody Newtona-Cotesa]]
* [[podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]]
* [[rachunek różniczkowy i całkowy]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Jahnke |imię = Hans Niels |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |oclc = 51607350 |data dostępu = 2021-07-19 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* [http://obliczone.pl/start/kalkulatory/983-kalkulator-całek-nieoznaczonych Kalkulator całek nieoznaczonych]

{{Całki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki| ]]