Tekst źródłowy strony C*-algebra

'''C*-algebra''' (czyt. ''ce-gwiazdka-algebra''; czasami ''algebra typu ce-gwiazdka'') – zespolona [[algebra Banacha]] <math>A</math> z dodatkowym działaniem [[*-pierścień|inwolucji]] <math>^*\colon A \to A</math> (<math>A</math> jest więc [[*-pierścień|*-algebrą]]), spełniającym warunek
: (C*) <math>{}\quad \|a^* a \| = \|a\|\ \|a^*\|\quad(a\in A).</math>

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych [[obserwabla|obserwabli]] w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]. C*-algebry będące podalgebrami algebry [[Operator liniowy ograniczony|operatorów ograniczonych]] na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

== Przykłady ==
* Niech <math>H</math> będzie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]]. Algebra <math>\mathcal{B}(H)</math> wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na <math>H</math> ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest [[norma operatorowa]]). Operacja [[Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)|sprzężenia]] operatora <math>T \to T^*</math> jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra <math>\mathcal{B}(H)</math> jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
* [[Operator zwarty|Operatory zwarte]] na przestrzeni Hilberta <math>H</math> tworzą [[zbiór domknięty|domknięty]] [[ideał (teoria pierścieni)|ideał]] w algebrze <math>\mathcal{B}(H)</math> (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę <math>\mathcal{B}(H)</math>). Algebra <math>K(H)</math> operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra <math>K(H)</math> nie ma [[pierścień z jedynką|jedynki]].
* Niech <math>K</math> będzie [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]]. W [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] <math>C_0 (K)</math> złożonej z zespolonych [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na <math>K</math> i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest [[Przestrzeń unormowana|norma supremum]]) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując <math>f^*(z)</math> jako [[sprzężenie zespolone]] wartości <math>f(z)</math> dla każdego punktu <math>z</math> przestrzeni <math>K.</math> Przestrzeń <math>C_0 (K)</math> z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń <math>K</math> jest [[przestrzeń zwarta|zwarta]] (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na <math>K;</math> w tym przypadku używa się zwykle symbolu <math>C(K)</math> zamiast <math>C_0 (K)</math>). Przestrzeń <math>\ell_\infty</math> (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń <math>\ell_\infty</math> jest izomorficzna z przestrzenią <math>C(\beta\omega),</math> gdzie <math>\beta\omega</math> oznacza [[uzwarcenie Čecha-Stone’a]] zbioru [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] z [[Przestrzeń dyskretna|topologią dyskretną]]. Podobnie, [[przestrzeń c0|przestrzeń ''c''<sub>0</sub>]] jest algebrą postaci <math>C_0 (K),</math> gdzie <math>K</math> jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
* W przypadku gdy <math>A</math> jest C*-algebrą oraz <math>M_n</math> oznacza algebrę [[Macierz#Wprowadzenie i oznaczenia|macierzy kwadratowych]] stopnia <math>n,</math> to algebrę macierzy <math>M_n (A)</math> o współczynnikach z algebry <math>A</math> można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. [[podjednorodna C*-algebra]]).

== Elementy normalne, samosprzężone i rzutowania ==
Pojęcia [[operator normalny|operatora normalnego]], [[operator samosprzężony|samosprzężonego]], [[rzut (algebra liniowa)|rzutu]] rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie <math>a</math> C*-algebry <math>A</math> mówi się, że jest
* ''normalny'', gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. <math>aa^* = a^*a;</math>
* ''samosprzężony'', gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. <math>a = a^*;</math>
* ''rzutem'', gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. <math>a = a^*</math> oraz <math>a^2 = a.</math>

=== Klasyfikacja rzutów ===
Istnieje naturalna [[relacja równoważności]] w rodzinie rzutów danej C*-algebry <math>A.</math> Dwa rzuty <math>p, q \in A</math> są ''równoważne w sensie Murraya-von Neumanna'' (ozn. <math>p \sim q</math>), gdy istnieje taka częściowa izometria <math>v \in A,</math> że <math>p = v^* v</math> i <math>q = vv^*.</math> Rzuty dzieli się na ''skończone'' i ''nieskończone''. Rzut <math>p</math> w C*-algebrze <math>A</math> jest
* ''nieskończony'', gdy <math>p \sim q</math> dla pewnego właściwego rzutu <math>q \in A</math> spełniającego <math>q \leqslant p,</math>
* ''skończony'', gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty ''nieskończone w sposób właściwy'', tj. takie rzuty <math>p,</math> dla których istnieją takie dwa rzuty <math>p_1, p_2 \in A,</math> że <math>p_1 p_2 = 0</math> (wzajemna ortogonalność), <math>p_1 + p_2 \leqslant p</math> oraz <math>p \sim p_1 \sim p_2.</math>

Dla niezerowego rzutu <math>p \in A</math> następujące warunki są równoważne:
# <math>p</math> jest nieskończony w sposób właściwy,
# <math>p \oplus p \leqslant p,</math>
# istnieją takie częściowe izometrie <math>s_1, s_2 \in A,</math> że <math>s_1^* s_1 + s_2^* s_2 = p</math> oraz <math>s_1 s_1^* + s_2 s_2^* \leqslant p,</math>
# obraz <math>p</math> w dowolnej algebrze ilorazowej <math>A</math> poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka [[algebra Toepliza|algebry Toepliza]], tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na <math>\ell_2 (N).</math>

=== Elementy normalne i twierdzenie spektralne ===
Każdy element samosprzężony jest normalny. [[Twierdzenie spektralne]] rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego <math>a,</math> tj. pozwala zdefiniować ściśle element <math>f(a),</math> gdzie <math>f</math> jest zespoloną [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]] określoną na [[widmo (matematyka)|widmie]] <math>a.</math>

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci <math>C_0 (K),</math> to jej rzutami są funkcje będące [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcjami charakterystycznymi]] [[Zbiór otwarto-domknięty|domknięto-otwartych podzbiorów]] <math>K</math> (jeżeli przestrzeń <math>K</math> jest [[przestrzeń spójna|spójna]] i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

== Własności spektralne ==
* [[Promień spektralny]] elementu normalnego jest równy jego [[przestrzeń unormowana|normie]].
* W przypadku, gdy C*-algebra <math>A</math> ma jedynkę, to widmo [[element odwracalny|elementu odwracalnego]] w <math>A</math> jest zawarte w [[Okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowym]].
* Element <math>a</math> C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]].
* Jeżeli <math>A</math> i <math>B</math> są C*-algebrami, <math>A\subseteq B</math> oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu <math>a</math> algebry <math>A</math> (względem algebry <math>A</math>) jest takie samo jak jego widmo względem algebry <math>B.</math> Innymi słowy, widmo <math>a</math> nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

== Elementy unitarne, twierdzenie Russo-Dyego ==
Element <math>u</math> C*-algebry <math>A</math> (z jedynką 1) jest ''unitarny'', gdy <math>uu^* = 1</math> (równoważnie, <math>u^* u = 1,</math> bądź <math>u^* = u^{-1}</math>). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie [[macierz unitarna|macierzy]] czy [[operator unitarny|operatora unitarnego]]. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie<ref>B. Russo and H. A. Dye, [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.dmj/1077376395 ''A note on unitary operators in C*-algebras''], „Duke Math. J.” '''33''' (1966), 413–416.</ref>.
: ''Twierdzenie Russo-Dyego'': Niech <math>A</math> będzie C*-algebrą z jedynką oraz <math>U</math> niech będzie zbiorem elementów unitarnych w <math>A.</math> Wówczas domknięta kula jednostkowa <math>B_A</math> jest równa [[Domknięcie (topologia)|domknięciu]] [[otoczka wypukła|otoczki wypukłej]] zbioru <math>U,</math> tj.
:: <math>B_A = \overline\operatorname{conv} U.</math>

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera<ref>L.T. Gardner, [http://www.ams.org/journals/proc/1984-090-01/S0002-9939-1984-0722439-8/S0002-9939-1984-0722439-8.pdf ''An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem''], „[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc]]”. '''90''' (1984), s. 171.</ref>.
: ''Dowód''. Niech <math>x \in A</math> oraz <math>\|x\| < 1.</math> Wystarczy uzasadnić, że <math>x</math> należy do domknięcia zbioru <math>\operatorname{conv} U.</math> To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego <math>u \in U</math> element <math>y = (x + u)/2</math> należy do domknięcia <math>\operatorname{conv} U.</math> Rzeczywiście,
:: <math>y = [(x \cdot u^{-1} + 1)/2] \cdot u.</math>
: Ponieważ <math>\|x \cdot u^{-1} \| = \|x\| < 1,</math> więc element <math>(x \cdot u^{-1} + 1)</math> jest [[element odwracalny|odwracalny]], skąd również <math>y</math> jest elementem odwracalnym. Element <math>y</math> jest więc postaci <math>y = v |y|,</math> gdzie <math>v</math> jest pewnym elementem unitarnym oraz
:: <math>(y^* y)^{1/2} = |y| = (w + w^*) / 2,</math>
: gdzie <math>w = |y| + i(1 - |y|^2)^{1/2}</math> jest również unitarne. Dowodzi, to że <math>B_A - U \subseteq U + U.</math> Z powyższego wynika więc, że <math>U</math> zawiera się w zbiorze <math>2 \cdot \overline{\operatorname{conv}} - x,</math> który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie <math>\operatorname{conv} U.</math> Równoważnie,
:: <math>\tfrac{1}{2}(x + \overline{\operatorname{conv}} U) \subseteq \overline{\operatorname{conv}} U.</math>
: Ciąg <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math> elementów ze zbioru <math>\overline{\operatorname{conv}} U)</math> można zadać [[Rekurencja|rekurencyjnie]]: <math>x_0</math> – dowolny element <math>U</math> oraz <math>x_{n+1} = (x + x_n)/2;</math> ciąg ten jest zbieżny do <math>x.</math> <math>\Box</math>

== Dodatniość, stany ==
O operatorze <math>T</math> na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest ''dodatni'' (czasem ściślej: ''nieujemny''), gdy dla każdego elementu <math>x</math> z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek
: <math>\langle Tx, x\rangle \geqslant 0.</math>

Dodatniość operatora <math>T</math> jest równoważna istnieniu takiego operatora <math>S,</math> że <math>T = S S^*.</math> Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie ''elementu dodatniego'' w C*-algebrze <math>A</math> jako takiego, który można przedstawić w postaci <math>a = bb^*</math> dla pewnego elementu <math>b</math> C*-algebry <math>A.</math> Dla elementu <math>a</math> C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:
# <math>a</math> jest elementem dodatnim;
# widmo elementu <math>a</math> zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
# istnieje taki element samosprzężony <math>h</math> w C*-algebrze <math>A,</math> że <math>a = h^2.</math>

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy [[stożek (analiza funkcjonalna)|stożek]], oznaczany czasem symbolem <math>A_+.</math> Stożek ten jest domknięty i [[zbiór wypukły|wypukły]] oraz spełnia warunek <math>A_+ \cap - A_+ = \{0\}.</math> W stożku <math>A_+</math> definiuje się [[częściowy porządek|porządek częściowy]] warunkiem <math>a \leqslant b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy element <math>b - a</math> jest dodatni.

[[Forma liniowa|Funkcjonał liniowy]] <math>\varphi</math> na C*-algebrze <math>A</math> jest nazywany ''dodatnim'', gdy dla każdego elementu dodatniego <math>a</math> z <math>A</math> spełniony jest warunek <math>\varphi(a) \geqslant 0.</math> Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest ''stanem''. Stan [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowy]] nazywany jest ''wiernym''.

Funkcjonał dodatni <math>\varphi</math> na C*-algebrze <math>A</math> spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów <math>a, b</math> z <math>A{:}</math>
# <math>\varphi(a^*b)=\overline{\varphi(b^*a)};</math>
# <math>|\varphi(b^*a)|^2\leqslant \varphi(a^* a)\cdot \varphi (b^* b).</math>

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją [[nierówność Cauchy’ego-Schwarza|nierówności Cauchy’ego-Schwarza]]. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

== Reprezentacje ==
{{osobny artykuł|twierdzenie Gelfanda-Najmarka|twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala}}
Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. ''Reprezentacją'' C*-algebry <math>A</math> nazywa się parę <math>(H, \pi),</math> gdzie <math>H</math> jest pewną [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]] oraz <math>\pi\colon A \to \mathcal{B}(H)</math> jest [[*-pierścień|*-homomorfizmem]] (tj. [[homomorfizm]]em algebr zachowującym inwolucję; <math>\pi(a^*) = (\pi(a))^*</math> dla dowolnego <math>a \in A</math>) o wartościach w [[*-pierścień|*-algebrze]] <math>\mathcal{B}(H)</math> wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na <math>H</math> (<math>\mathcal{B}(H)</math> z [[norma operatorowa|normą operatorową]] jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji <math>(H, \pi)</math> C*-algebry <math>A</math> mówi się, że jest
* ''niezdegenerowana'', gdy o ile tylko dla każdego <math>a \in A,</math> <math>\xi</math> jest takim elementem <math>H,</math> że <math>\pi(a)\xi = 0,</math> to <math>\xi</math> musi być wektorem zerowym;
* ''cykliczna'', jeżeli istnieje taki element <math>\xi \in H,</math> że zbiór <math>\{\pi(a)\xi: a \in A\}</math> jest [[zbiór gęsty|gęsty]] w <math>H</math> (wektor <math>\xi</math> nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji <math>(H, \pi);</math> każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
* ''wierna'', gdy <math>\pi</math> jest [[monomorfizm]]em, tj. jeżeli <math>\pi(a) = 0,</math> to <math>a = 0;</math>
* ''nieprzywiedlna'', gdy rodzina operatorów <math>\pi(A) = \{\pi(a)\colon a \in A\}</math> nie ma wspólnej, [[zbiór domknięty|domkniętej]], nietrywialnej (tj. różnej od <math>\{0\}</math> i <math>H</math>) [[podprzestrzeń niezmiennicza|podprzestrzeni niezmienniczej]].
: Dla reprezentacji <math>\pi\colon A \to \mathcal{B}(H)</math> następujące warunki są równoważne:
:* <math>\pi</math> jest nieprzywiedlna,
:* <math>\pi(A)' = \{cI\colon c</math> jest liczbą zespoloną <math>{}\!\}</math>
:* <math>\pi(A)'' = \mathcal{B}(H),</math>
:* <math>\pi(A)</math> jest gęste w <math>\mathcal{B}(H)</math> w [[Silna topologia operatorowa|mocnej topologii operatorowej]].

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:
* [[Twierdzenie Gelfanda-Najmarka]] mówi, że każda [[algebra przemienna|przemienna]] C*-algebra <math>A</math> jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci <math>C_0(K)</math> dla pewnej [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie-zwartej]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzeni Hausdorffa]] <math>K.</math> W istocie, przestrzeń <math>K</math> jest [[transformata Gelfanda|przestrzenią Gelfanda]] C*-algebry <math>A</math> (tj. [[transformata Gelfanda]] <math>\Gamma\colon A \to C_0(K)</math> jest [[epimorfizm]]em).
* [[Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala]] mówi, że każda C*-algebra <math>A</math> ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta <math>H;</math> innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry <math>\mathcal{B}(H)</math> dla pewnej przestrzeni Hilberta <math>H.</math>

== Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazowe ==
Każda C*-algebra ma [[aproksymowalną jedność]] składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze <math>A</math> istnieje taki [[ciąg uogólniony]] <math>(e_\alpha)_\alpha</math> złożony z elementów samosprzężonych <math>(e_\alpha^* = e_\alpha),</math> że dla dowolnego <math>a \in A</math> zachodzi
: <math>\lim x\ e_\alpha = \lim e_\alpha\ x = x.</math>

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają [[pierścień z jedynką|jedności]] (gdy <math>A</math> ma jedność <math>e,</math> można przyjąć <math>e_\alpha = e</math>). W przypadku, gdy <math>J</math> jest domkniętym [[ideał (teoria pierścieni)|ideałem (obustronnym)]] w C*-algebrze <math>A,</math> dla każdego elementu <math>x \in J</math> istnieje taki ciąg <math>(f_n)</math> elementów <math>J</math> o następujących własnościach:
# [[widmo (matematyka)|widmo]] każdego elementu <math>f_n</math> zawarte jest w [[Przedział (matematyka)|przedziale]] <math>[0,1];</math>
# <math>\lim x\ f_n = x</math>

(gdy <math>A</math> ma jedność, wystarczy zdefiniować <math>f_n,</math> używając [[rachunek funkcyjny|ciągłego rachunku funkcyjnego]], wzorem <math>f_n = nx^2(e + nx^2)^{-1}</math>).

Używając tego faktu dowodzi się, że
: Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli <math>J</math> jest domkniętym ideałem w C*-algebrze <math>A</math> oraz <math>(f_n)_n</math> oraz <math>x \in J,</math> to <math>x = \lim x\ f_n.</math> Z drugiej strony, <math>x^* = \lim f_n\ x^*, f_n x^* \in J</math> oraz <math>J</math> jest domknięty, więc <math>x^* \in J.</math>

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry <math>A</math> przez domknięty ideał <math>J</math> inwolucję wzorem: <math>[x]^* = [x^*] (x \in A).</math> Tak zadana inwolucja w <math>A/J</math> spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być ''C*-algebry proste'' (C*-algebra <math>A</math> jest ''prosta'', gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny <math>\{0\}</math> oraz ideał niewłaściwy <math>A</math>). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe <math>B/J,</math> gdzie <math>B</math> jest pewną C*-algebrą oraz <math>J</math> jest jej [[ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]]. Przykładem jest [[algebra Calkina]], tj. C*-algebra <math>\mathcal{B}(H)/\mathbf{K}(H),</math> gdzie <math>H</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkową]] przestrzenią Hilberta, a <math>\mathbf{K}(H)</math> oznacza ideał [[operator zwarty|operatorów zwartych]] na <math>H.</math> Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. [[algebra Cuntza|algebry Cuntza]] <math>O_n.</math>

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne [[ideał (teoria pierścieni)|ideały lewostronne]]. Jeżeli <math>\varphi</math> jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze <math>A,</math> to zbiór
: <math>N_\varphi = \{a\in A\colon \varphi(a^*a)=0\}</math>

jest ideałem lewostronnym w <math>A.</math> W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

== Iloczyny tensorowe C*-algebr ==
{{Osobny artykuł|Iloczyny tensorowe C*-algebr}}
Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą C*-algebrami. Algebraiczny [[iloczyn tensorowy]] <math>A \otimes B</math> ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma <math>\|{\cdot}\|</math> w <math>A \otimes B</math> spełniająca warunek (C*) jest [[norma krzyżowa|normą krzyżową]] przestrzeni Banacha, tj.
: <math>\|x\otimes y\| = \|x\|_A\cdot \|y\|_B\;\;(x\in A, y\in B)</math><ref>B.J. Vowden, [https://academic.oup.com/jlms/article-abstract/s2-7/4/595/852783 C*-Norms and tensor products of C*-algebras], „J. London Math. Soc.” ('''2'''), 7 (1974), s. 595–596.</ref>.

Projektywny iloczyn tensorowy <math>\otimes_\pi</math> (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* [[William Arveson|W. Arveson]], ''An Invitation to C*-algebra'', „Graduate Texts in Mathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.
* [[Jacques Dixmier|J. Dixmier]], ''C*-Algebras'', North Holland 1977.
* H.G. Dales, ''Banach algebras and automatic continuity'', Clarendon Press, Oxford, 2000.
* M. Takesaki, ''Theory of Operator Algebras I''. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/C*-algebra C*-algebra]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Algebry nad ciałami liczbowymi}}
{{Struktury na przestrzeniach liniowych}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebry Banacha]]
[[Kategoria:Przestrzenie Hilberta]]
[[Kategoria:C*-algebry| ]]