Tekst źródłowy strony Antynomia Russella

{{spis treści}}
[[Plik:Honourable Bertrand Russell.jpg|mały|Bertrand Russell]]
'''Antynomia Russella''' lub '''paradoks Russella''' – sprzeczność wykryta w naiwnej [[teoria mnogości|teorii mnogości]] przez [[Bertrand Russell|Bertranda Russella]] w [[1901]] roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju [[logicyzm]]u, będącego próbą [[aksjomat]]yzacji [[matematyka|matematyki]], zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako [[zbiór|zbiory]]. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane [[formuła logiczna|formułami logicznymi]] – nazywa się je [[klasa (matematyka)|klasami właściwymi]]. [[Paradoks]] ten wynika z ''[[wikt:autoreferencja|autoreferencji]]'', czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów]], [[paradoks kłamcy]] czy [[paradoks Berry’ego]]; por. [[twierdzenie Gödla|twierdzenia Gödla]] i [[problem stopu]].

== Paradoks ==
Niech <math>V</math> oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory <math>X,</math> dla których <math>X</math> nie jest elementem <math>X,</math> tj.
: <math>V = \{X : X \notin X\}.</math>

Postawmy pytanie, czy <math>V</math> jest swoim elementem, czy nie.
* Jeśli przypuścimy, że <math>V</math> jest elementem <math>V,</math> to <math>V</math> nie spełnia definicji zbioru <math>V,</math> a więc nie jest elementem <math>V,</math>
* jeśli zaś <math>V</math> nie jest elementem <math>V,</math> to <math>V</math> musi być elementem <math>V</math> na mocy definicji tego zbioru<ref>{{encyklopedia PWN|id = 3954199|tytuł=paradoks Russella|data dostępu=2011-04-14}}</ref>.

Prowadzi do sprzeczności:
: <math>V \notin V \iff V \in V.</math>

=== Wyjaśnienie paradoksu ===
Paradoks jest pozorny i wynika z nadużycia pojęcia zbioru. „Zbiór” <math>V</math> został utworzony jako <math>\{X : P(X)\},</math> gdzie <math>P</math> jest predykatem z jedną zmienną <math>X,</math> niezawierającym symbolu <math>V.</math> Tworzenie zbiorów w taki sposób było powszechną praktyką w naiwnej teorii mnogości. Jednak w [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatycznej teorii mnogości ZF]] istnieją jedynie takie zbiory, których istnienie jest zagwarantowane jakimś aksjomatem (np. zbiór pusty) bądź takie, które można skonstruować powołując się na jakiś aksjomat (np. aksjomat pary, aksjomat sumy).

Definicja typu <math>\{X : P(X)\}</math> jest poprawna („skuteczna”), o ile elementy <math>X</math> są pobierane z jakiegoś już istniejącego zbioru. W przeciwnym razie dostajemy nie zbiór, ale klasę właściwą. Taką klasą właściwą może też być <math>\{X : X=X\},</math> jednak o ile w przypadku tej klasy traktowanie jej jako zbioru prowadzi np. do [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów|paradoksu zbioru wszystkich zbiorów]], o tyle w przypadku klasy <math>\{X : X \notin X\}</math> traktowanie jej jako zbioru prowadzi do sprzeczności już na etapie weryfikowania, czy on sam należy do siebie, czy nie.

== Anegdotyczne wersje paradoksu ==
[[Anegdota|Anegdotyczne]] sformułowanie [[antynomia|antynomii]] Russella nosi nazwę „paradoksu fryzjera” lub „paradoksu golibrody”<ref>{{cytuj stronę|url=http://www.math.edu.pl/paradoks-fryzjera|tytuł=Paradoks fryzjera|opublikowany=www.math.edu.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>:
: ''Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?''

[[John D. Barrow]] w swojej książce ''Pi razy drzwi'' używa postaci [[Cyrulik sewilski (opera)|cyrulika sewilskiego]]: „Cyrulik sewilski goli w [[Sewilla|Sewilli]] wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy cyrulik goli się sam?”. Inne sformułowanie tego paradoksu dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi.

== Próby rozwiązania paradoksu ==
Rozważmy zbiór <math>X,</math> którego elementy wskazane zostaną za pomocą [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcji charakterystycznej]] <math>\chi_A,</math> która przyjmuje dla danego elementu <math>x</math> wartość <math>1,</math> gdy <math>x</math> należy do <math>X,</math> oraz wartość <math>0,</math> gdy <math>x</math> nie należy do <math>X.</math> Wykorzystując ten sposób patrzenia na zbiory mężczyzn w mieście, można przypisać do zbioru <math>S</math> tych z nich, którzy golą się sami, albo do zbioru <math>G</math> tych mężczyzn, którzy korzystają w tym względzie z usług golibrody. Do którego z nich należy sam golibroda? Dla dowolnego golącego się mężczyzny <math>m</math> prawdą jest, że <math>\chi_S(m) + \chi_G(m) = 1,</math> tzn. mężczyzna jest golony (goli się sam albo goli go golibroda). Można się zgodzić, iż golibroda <math>g</math> w takim samym stopniu należy do tych, którzy golą się sami, jak i do tych, których goli golibroda, tzn. <math>\chi_S(g) = \chi_G(g).</math> Z równości tych wynika wtedy <math>\chi_S(g) = \chi_G(g) = \tfrac{1}{2}.</math> Paradoks ten można więc rozwiązać wprowadzając pośredni, ułamkowy stopień „należenia” do zbioru, które sformalizowano w postaci ''[[zbiór rozmyty|zbiorów rozmytych]]'' (por. [[logika trójwartościowa]] i [[logika wielowartościowa]]).

== Zobacz też ==
* [[definicja niepredykatywna]]
* [[paradoks Richarda]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=V3uDnwumIkg Nie wszystko jest zbiorem]'', [[Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej]] (MiNI [[Politechnika Warszawska|PW]]), kanał „Archipelag Matematyki” na [[YouTube]], 9 sierpnia 2017 [dostęp 2024-09-04].
* {{cytuj stronę |url=http://www.obi.opoka.org.pl/zfn/026/zfn02605Dadaczynski.pdf |tytuł=Antynomie teoriomnogościowe a powstanie klasycznych kierunków badania podstaw matematyki |autor=Jerzy Dadaczyński |opublikowany=www.obi.opoka.org.pl}}

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = RussellsAntinomy | tytuł = Russell's Antinomy }} [dostęp 2024-03-07].
* {{SEP | url = russell-paradox/ | autor = Andrew David Irvine, Harry Deutsch | tytuł = Russell’s Paradox | data = 2016-10-09 | data dostępu = 2018-01-28 | tytuł polski = (Paradoks Russella) }}
* {{IEP |url = par-russ/ |autor = Kevin C. Klement |tytuł = Russell’s Paradox |data dostępu = 2018-06-27}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Paradoksy teorii mnogości]]