Tekst źródłowy strony Analiza zespolona

[[Plik:Color complex plot2.jpg|alt=Koncentryczne zmniejszające się pasy otaczają miejsca zerowe, z których wyprowadzony jest kolorowy wiatraczek.|mały|Wykres funkcji <math>f(z)=\frac{(z^2-1)(z-2-i)^2}{(z^2+2+2i)}</math> w [[Układ współrzędnych biegunowych|biegunowym układzie współrzędnych]]. Argument jest reprezentowany poprzez odcień, a moduł za pomocą jasności i nasycenia.]]
'''Analiza zespolona''' – dział [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] badający [[Funkcja zespolona zmiennej zespolonej|funkcje zmiennej zespolonej]].

Od czasu swojej genezy – datowanej najpóźniej na XIX wiek – znalazła zastosowania w [[Teoria liczb|teorii liczb]], teorii [[fraktal]]i, teorii [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] i [[Matematyka stosowana|matematyce stosowanej]], np. w pewnych dziedzinach [[Fizyka matematyczna|fizyki matematycznej]].

== Podstawowe pojęcia ==
W analizie zespolonej kluczową rolę odgrywają:
* [[Funkcja holomorficzna|funkcje holomorficzne]], w tym [[Funkcja całkowita|całkowite]];
* bardziej ogólne [[Funkcja meromorficzna|funkcje meromorficzne]];
* [[Funkcja eliptyczna|funkcje eliptyczne]];
* [[Odwzorowanie konforemne|odwzorowania konforemne]].

Dla funkcji zespolonych, podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, definiuje się pojęcia [[granica funkcji|granicy funkcji]], [[ciągłość funkcji|ciągłości]], [[ciągłość jednostajna|ciągłości jednostajnej]] i [[Pochodna|różniczkowalności]].

Zdarza się jednak, że wprowadzenie analogicznej definicji pewnego pojęcia dla funkcji zespolonych, jak dla rzeczywistych, niesie ze sobą daleko idące konsekwencje. Na przykład: jeśli <math>D</math> jest [[obszar]]em oraz funkcja <math>f</math> ma w tym obszarze ciągłą [[Pochodna|pochodną]] (jest klasy <math>C^1</math>), to ma w tym obszarze wszystkie pochodne (jest klasy <math>C^{\infty}</math>). Dla funkcji zespolonych łatwiej podać, niż w przypadku funkcji rzeczywistych ([[piła Weierstrassa]]), przykład funkcji wszędzie ciągłej i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie: [[liczba sprzężona|funkcja sprzężenia]] <math>f(z)=\overline{z}</math> jest ciągła w każdym punkcie <math>z\in \mathbb{C}</math> i nieróżniczkowalna w żadnym z nich.

Ważnymi pojęciami analizy zespolonej są także:
* [[Odwzorowanie jednokrotne|Funkcje jedno- i wielokrotne]]
* [[Szereg Laurenta]]

== Twierdzenia ==
{{Związana kategoria|Twierdzenia – analiza zespolona}}
* [[Warunki Cauchy-Riemanna]]
* [[Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego]]
* [[Wzór całkowy Cauchy'ego]]

== Rozwój ==
{{związana kategoria|Analiza zespolona – naukowcy}}

Formalnie funkcjami zmiennych zespolonych są [[Działanie arytmetyczne|działania arytmetyczne]] na nich, rozważane od czasu pojawienia się tej koncepcji w XVI wieku. Przez to na dziedzinę zespoloną można uogólnić [[wielomian]]y, [[Funkcja wymierna|funkcje wymierne]], [[Pierwiastkowanie|pierwiastki]] stopnia wymiernego, inne [[pierwiastnik]]i oraz pozostałe [[Funkcja algebraiczna|funkcje algebraiczne]]. Za pomocą [[Wzór Taylora|szeregów Taylora]] można tak uogólnić też część innych, [[Funkcja przestępna|przestępnych]] funkcji [[Funkcje elementarne|elementarnych]] jak te [[Funkcja wykładnicza|wykładnicze]], [[Funkcje hiperboliczne|hiperboliczne]], [[logarytm]]y, [[funkcje trygonometryczne]] czy [[Funkcje cyklometryczne|kołowe]]. Rozważano to najpóźniej w XVIII wieku – robił to [[Leonard Euler]], otrzymując zależności istotne także dla innych dziedzin matematyki. W następnym stuleciu podstawy systematycznej analizy zespolonej – oparte na rygorze – zbudowali [[Augustin Cauchy]], [[Bernhard Riemann]] i [[Karl Weierstrass]]. W XXI wieku powstały nowe [[Czasopismo naukowe|czasopisma naukowe]] poświęcone tej dziedzinie<ref>{{otwarty dostęp}} [https://www.springer.com/journal/11785 Complex Analysis and Operator Theory] [dostęp 2023-02-12].</ref>, a na niektórych uczelniach ma ona osobne [[Katedra (jednostka organizacyjna)|katedry]]<ref>{{otwarty dostęp}} [http://wmii.uwm.edu.pl/wydzial/struktura/katedra-analizy-zespolonej Katedra Analizy Zespolonej], [[Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie|Uniwersytet Warmińsko-Mazurski]] w [[Olsztyn]]ie, wmii.uwm.edu.pl [dostęp 2023-02-12].</ref>.

== Przypisy ==
{{commonscat|Complex analysis}}
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = ComplexAnalysis | tytuł = Complex Analysis}} [dostęp 2023-06-01].

{{Działy analizy matematycznej}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza zespolona| ]]