Tekst źródłowy strony Analiza harmoniczna

{{Inne znaczenia|analizy widmowej w elektronice|[[Analiza widmowa|analiza widmowa w fizyce i chemii]]}}
[[Plik:Fourier unit pulse.svg|mały|280px|Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej [[Transformacja Fouriera|transformaty Fouriera]]]]

'''Analiza harmoniczna''', '''analiza fourierowska''' – dział [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] badający [[Szereg Fouriera|szeregi Fouriera]] i [[Transformacja Fouriera|transformacje Fouriera]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3869057 | tytuł = Analiza harmoniczna | data dostępu = 2021-09-15 }}</ref>, powstały w XIX wieku przy badaniu [[Równanie różniczkowe cząstkowe|równań różniczkowych cząstkowych]]. Od tego czasu skorzystał z osiągnięć innych działów matematyki, w tym: (a) [[analiza rzeczywista]] wypracowała '''[[warunki Dirichleta]]''' określające warunki nakładane na funkcje, by można je było analizować za pomocą szeregów i transformat Fouriera (b) [[analiza funkcjonalna]] zmieniła perspektywę na szeregi i transformacje Fouriera. W tej perspektywie szereg i transformata Fouriera '''są rozkładami wektorów w [[Baza (przestrzeń liniowa)|bazie]]''' przestrzeni Hilberta za pomocą [[Iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]].W XX wieku m.in. opracowano algorytm [[Szybka transformacja Fouriera|szybkiej transformacji Fouriera]], poszerzono zakres i metody badań dzięki [[Teoria dystrybucji|teorii dystrybucji]] oraz znaleziono zastosowania w [[Teoria liczb|teorii liczb]]{{fakt|data=2023-02}}.

== Zastosowania ==
Analiza fourierowska to jeden z fundamentów [[Fizyka matematyczna|fizyki matematycznej]]:

* jest narzędziem rozwiązywania równań
* jest podstawą analizy [[Drgania|drgań]] i [[Fala|fal]] w [[Mechanika|mechanice]], [[Optyka|optyce]] i [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]]
* stanowi fundament [[Fizyka kwantowa|fizyki kwantowej]], zwłaszcza [[Obrazy w mechanice kwantowej|obrazu Schrödingera]]. Np. [[Zasada nieoznaczoności]] Heisenberga wynika z falowej natury ciał oraz twierdzeń analizy harmonicznej.

== Modelowanie zjawisk ==
Analiza fourierowska prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych ([[Harmonika (matematyka)|harmonik]]), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:
: <math>y_t = \alpha_0 + \sum^{\frac{n}{2}}_{t=1} \left\{\alpha_i \cdot \sin\left(\frac{2 \cdot \pi}{n} \cdot i \cdot t\right) + \beta_i \cdot \cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{n} \cdot i \cdot t\right) \right\},</math>

gdzie:
: <math>\alpha_0, \alpha_1, \beta_1</math> – parametry modelu.

W przypadku, gdy w [[Szereg czasowy|szeregu czasowym]] występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje postać
: <math>y_t = f(t) + \sum^{\frac{n}{2}}_{t=1} \left\{\alpha_i \cdot \sin\left(\frac{2 \cdot \pi}{n} \cdot i \cdot t\right) + \beta_i \cdot \cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{n} \cdot i \cdot t\right) \right\},</math>

zaś parametry modelu wynoszą:
: <math>a_0 = \frac{1}{n} \cdot \sum^n_{t=1} yt,</math>

: <math>a_i = \frac{2}{n} \cdot \sum^n_{t=1} yt \cdot \sin\left(\frac{2 \cdot \pi}{n} \cdot i \cdot t\right)\quad{}</math> dla <math>i = 1,2,\dots,\frac{n}{2} -1,</math>

: <math>b_i = \frac{2}{n} \cdot \sum^n_{t=1} yt \cdot \sin\left(\frac{2 \cdot \pi}{n}\cdot i \cdot t\right)\quad{}</math> dla <math>i = 1,2,\dots,\frac{n}{2} -1.</math>

Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej mamy:
: <math>a_\frac{n}{2} = 0,</math>
: <math>b_\frac{n}{2} = \frac{1}{n} \cdot \sum^n_{i=1} yt \cdot \cos(\pi \cdot t)</math><ref>{{Cytuj |autor = |tytuł = Statystyka od A do Z portal edukacyjny poświęcony statystyce |data = |data dostępu = 2018-01-04 |opublikowany = www.statystyka.az.pl |url = http://www.statystyka.az.pl/analiza-harmoniczna.php}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[Harmoniczna|składowa harmoniczna]]
* [[współczynnik zawartości harmonicznych]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Maciej Mulak, ''[https://www.youtube.com/watch?v=p6R2bM-QkWY Widmo możliwości, czyli analiza fourierowska]'', [[Politechnika Wrocławska]], kanał „Fizyka bez zamulania” na [[YouTube]], 4 września 2024 [dostęp 2024-09-23].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Harmonic_analysis Harmonic analysis]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

{{Działy analizy matematycznej}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza harmoniczna| ]]