Tekst źródłowy strony Alternatywa

'''Alternatywa''', '''suma logiczna''', alternatywa zwykła<ref group=uwaga name = uw1>Taka nazwa jest niekiedy stosowana dla odróżnienia od [[alternatywa rozłączna|alternatywy rozłącznej]].</ref>, alternatywa nierozłączna<ref group=uwaga name = uw1 />, alternatywa łączna<ref group=uwaga name = uw1 /> – [[zdanie logiczne]] o postaci ''p lub q'', gdzie ''p'', ''q'' są zdaniami. W [[logika matematyczna|logice matematycznej]] alternatywę zapisuje się <math>p\,\lor\,q.</math> Alternatywa ''p lub q'' jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych ''p'', ''q'' jest prawdziwe.

== W logice matematycznej ==
'''Alternatywa''' ('''suma logiczna'''):
# [[Działanie dwuargumentowe]] określone w dowolnym zbiorze zdań bądź w zbiorze funkcji zdaniowych, które zdaniom (funkcjom zdaniowym) <math>p</math> i <math>q</math> przypisuje zdanie (funkcję zdaniową) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze zdań (funkcji) <math>p</math> i <math>q.</math>
# Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany <math>p\,\lor\,q</math> ([[łacina|łac.]] <math>p\mbox{ vel }q</math>) o znaczeniu odpowiadającemu wyżej zdefiniowanemu działaniu określonemu w zbiorze <math>A\ni p,q.</math> Od poprzedniej definicji różni się tym, że jest definiowany na poziomie syntaktycznym, dzięki czemu unika się określania jego dziedziny.
# Zdanie logiczne postaci <math>p\,\lor\,q,</math> gdzie <math>p</math> i <math>q</math> są zdaniami.

[[Plik:OR gate IEC and IEEE.svg|thumb|250px|Dwa symbole [[bramka logiczna|bramki logicznej]] OR (sumy logicznej)]]

Alternatywa pozostaje w ścisłym związku z [[Suma zbiorów|dodawaniem zbiorów]] (patrz [[Algebra zbiorów (nauka)|algebra zbiorów]]). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane '''sumą logiczną'''<ref name=":0">{{Cytuj |tytuł = Słownik terminologiczny informacji naukowej |data = 1979 |inni = Maria Dembowska (red. nacz.) |miejsce = Wrocław–Warszawa–Kraków–Gdańsk |wydawca = Zakład Narodowy imienia Ossolińskich |s = 24}}</ref>. Zdania składowe <math>p,</math> <math>q</math> nazywane są '''składnikami''' alternatywy{{odn|Rasiowa|1975|s=164}}.

Alternatywa jest [[prawda (logika)|prawdziwa]], jeżeli co najmniej jeden z jej składników jest prawdziwy{{odn|Rasiowa|1975|s=164}}{{odn|Mostowski|1948|s=9}}. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest [[fałsz]]ywa.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ {{nowrap|[[Tablica prawdy]] dla alternatywy}}
!width=55px height="30px"| <math>p</math>
!width=55px| <math>q</math>
!width=80px| <math>p \vee q</math>
|-
|0 || 0 || 0
|-
|0 || 1 || 1
|-
|1 || 0 || 1
|-
|1 || 1 || 1
|}
gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – zdanie fałszywe

== Notacja ==
Zestawienie symboli alternatywy, stosowanych przez różnych autorów{{odn|Mostowski|1948|s=13}}{{odn|Rasiowa|1975|s=170}}:
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
!
![[Ernst Schröder|Schröder]]<br />[[Charles Sanders Peirce|Peirce]]
![[Giuseppe Peano|Peano]], [[Bertrand Russell|Russell]]<br />[[David Hilbert|Hilbert]]
![[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]]
|-
!Alternatywa
|<math>p + q</math>
|<math>p \lor q</math>
|<math>Apq</math>
|}

W [[język programowania|językach programowania]] dla oznaczenia alternatywy używany jest często angielski spójnik '''OR'''. W języku C/C++ i pochodnych oznacza się ją przez „||”.

== Przykłady ==
* Alternatywa zdań: ''12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii ''jest prawdziwa, bo oba jej zdania składowe są prawdziwe.
* Alternatywa zdań: <math>10 > 12\mbox{ lub }10 < 11</math> jest prawdziwa, bo jeden z jej składników jest prawdziwy (prawdą jest, że 10 jest liczbą mniejszą niż 11).
* Alternatywa zdań: ''Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce'' jest fałszywa, bo oba jej zdania składowe są fałszywe.

== Własności ==
Alternatywa charakteryzuje się następującymi cechami:
* [[przemienność]]
:: <math>p\, \lor\, q = q\, \lor\, p</math>{{odn|Mostowski|1948|s=28}}{{odn|Rasiowa|1975|s=196}}
* [[Łączność (matematyka)|łączność]]
:: <math>p\, \lor\, (q\, \lor\, r) = (p\, \lor\, q)\, \lor\, r</math>{{odn|Mostowski|1948|s=28}}{{odn|Rasiowa|1975|s=196}}
* [[idempotentność]]
:: <math>p\,\lor\,p\,\Leftrightarrow\,p</math>{{odn|Mostowski|1948|s=29}}
* [[rozdzielność]] względem [[Koniunkcja (logika)|koniunkcji]] (i odwrotnie)
:: <math>p\,\land\,(q\,\lor\,r)\,\Leftrightarrow\,(p\,\land\,q)\,\lor\,(p\,\land\,r)</math>
:: <math>p\,\lor\,(q\,\land\,r)\,\Leftrightarrow\,(p\,\lor\,q)\,\land\,(p\,\lor\,r)</math>{{odn|Mostowski|1948|s=28}}{{odn|Rasiowa|1975|s=196}}
* [[prawa De Morgana]]
:: <math>\neg\,(p\,\lor\,q) \Leftrightarrow (\neg\,p\,\land\,\neg\,q)</math>
:: <math>\neg\,(p\,\land\,q) \Leftrightarrow (\neg\,p\,\lor\,\neg\,q)</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=195}}
: [[Negacja]] alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji, natomiast negacja koniunkcji – alternatywie negacji{{odn|Mostowski|1948|s=27}}.

== W języku naturalnym ==
Bardziej znane jest '''potoczne''' znaczenie słowa „alternatywa”: wybór z dwóch wykluczających się możliwości{{odn|Malinowski|2002}}{{odn|Bańko|2002}}{{odn|''Słownik języka polskiego''|1997–2014}}. Pokrywa się ono z matematycznym pojęciem [[alternatywa rozłączna|alternatywy rozłącznej]], a nie klasycznej alternatywy przedstawianej w logice matematycznej.

== Zobacz też ==
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Logika|link=Matematyka dla liceum/Logika#Alternatywa}}{{wikibooks2|książka=Logika dla prawników|rozdział=Alternatywa|link=Logika dla prawników/Alternatywa}}
{{wikisłownik|OR|alternatywa}}
* [[decyzja (matematyka)|decyzja]]
* [[koniunkcja (logika)|koniunkcja]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj stronę |url = http://sjp.pwn.pl/poradnia/haslo/b-alternatywa-b;2079.html |tytuł = alternatywa |autor = [[Mirosław Bańko]] |praca = Poradnia językowa |opublikowany = PWN |data = 2002 |data dostępu = 2016-10-14 |odn = {{odn/id|Bańko|2002}}}}
* {{Cytuj |odn = tak |url = http://obcyjezykpolski.pl/czy-menedzer-to-menazer/ |tytuł = Czy menedżer to menażer? |autor = Maciej Malinowski |praca = Obcy język polski |archiwum = https://web.archive.org/web/20160802175355/http://obcyjezykpolski.pl/czy-menedzer-to-menazer/ |zarchiwizowano = 2016-08-02 |data = 2002 |data dostępu = 2016-10-14}}
* {{Cytuj książkę |autor = [[Andrzej Mostowski|Andrzej Stanisław Mostowski]] |tytuł = Logika matematyczna |url = http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.dl-catalog-de14868e-95a7-43a2-8e96-0a88c8960431 |miejsce = Warszawa |data = 1948 |seria = Monografie matematyczne t. 18 |oclc = 250092935|odn = {{odn/id|Mostowski|1948}}}}
* {{Cytuj książkę |autor = [[Helena Rasiowa]] |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |wydanie = 5 |miejsce = Warszawa |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |data = 1975 |oclc = 749626864 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 30 |odn = {{odn/id|Rasiowa|1975}}}}
* {{Cytuj stronę |url = http://sjp.pwn.pl/haslo.php?id=2439763 |tytuł = Alternatywa |praca = Słownik języka polskiego |opublikowany = PWN |data = 1997–2014 |data dostępu = 2012-03-30 |odn = {{odn/id|''Słownik języka polskiego''|1997–2014}}}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{SEP |url = disjunction |autor = Maria Aloni |tytuł = Disjunction |data = 2016-03-26 |data dostępu = 2020-01-23 }}

{{Klasyczny rachunek zdań}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Funkcje boolowskie]]
[[Kategoria:Spójniki logiczne]]