Tekst źródłowy strony Algorytm odsprzęgania wej-wyj

'''Algorytm odsprzęgania wej-wyj''' – [[algorytm]], którego zadaniem jest poprowadzenie [[efektor]]a [[manipulator robotyczny|manipulatora robotycznego]] tak, aby poruszał się on po linii prostej. Przedstawiany on jest na pokazach, gdy zadaniem [[robot]]a jest umycie szyby przy pomocy odpowiedniego narzędzia.

Manipulatory są skonstruowane głównie z elementów obrotowych. Dlatego też ich ruchy bez użycia algorytmu odsprzęgania przypominają łuki zamiast linii prostych. W takim przypadku nacisk efektora będzie różny dla punktów leżących na linii jego ruchu i możliwe jest zbicie szyby.

== Warunki stosowania ==
# Manipulator nie może być redundantny, tzn. nie może być np. manipulatorem typu „trąba słonia”.
# Liczba wyjść, którymi chcemy sterować jest równa liczbie wejść sterujących.
# Konfiguracje realizujące ruch nie mogą być [[Konfiguracje osobliwe|osobliwe]].

== Wzory ==
Przekształcamy model matematyczny manipulatora do postaci:
:: <math>q''=-M^{-1}Cq'-M^{-1}G+M^{-1}u</math>

i wprowadzamy dwie nowe współrzędne <math>x, \xi{:}</math>
:: <math>x=q,</math>
:: <math>\xi=q'.</math>

Współrzędne te różniczkujemy po czasie, otrzymując:
:: <math>x'=\xi,</math>
:: <math>\xi'=-M^{-1}C\xi-M^{-1}G+M^{-1}u=F+Hu</math> (zapis uproszczający dalsze wory),
:: <math>H=M^{-1}.</math>

Bierzemy i-te wyjście:
:: <math>y_i=k_i(q)=k_i(x),</math>
:: <math>y'_i=\frac{\partial}{\partial x}k_i(x)\xi.</math>

Uzyskany wzór na pochodną x wstawiamy do wzoru na <math>i</math>-te wyjście, a następnie liczymy druga pochodną <math>y</math> po <math>t.</math> W ten sposób uzyskujemy:
:: <math>y''_i={\xi}^T \frac{{\partial}^2k_i}{\partial x^2}\xi+\frac{\partial k_i}{\partial x}[F(x,\xi)+H(x)u].</math>

Po raz kolejny upraszczamy zapis wzoru:
:: <math>y''_i=+P_i(x,\xi)+\frac{\partial k_i}{\partial x}[F(x,\xi)+H(x)u].</math>

Otrzymaliśmy wzór na jedno wyjście. Jeżeli policzymy kolejne wyjścia otrzymamy dokładnie taki sam wzór, a zatem ogólny wzór na wyjście układu będzie przedstawiał się następująco:
:: <math>y''=P(x,\xi) + J(x)H(x)u,</math>

gdzie:
: <math>J(x)</math> to [[algorytm jakobianowy|jakobian]], <math>\frac{\partial k}{\partial x}.</math>

Układ jest sterowalny, gdy [[macierz]] pochodząca z iloczynu <math>J</math> i <math>H</math> jest [[macierz odwrotna|odwracalna]] <math>(JM^{-1} \ne 0).</math>

== Sprzężenie zwrotne linearyzujące ==
Jako sygnał sterujący podajemy do układu sygnał w postaci: <math>u = M(x)J(x)^{-1}[-P+v],</math> gdzie <math>v</math> to nowe wejście. Dzięki temu uzyskujemy układ o wzorze: <math>y''=v,</math> który jest [[Układ regulacji (automatyka)#Liniowe|układem liniowym]] typu '''podwójny integator'''.

== Śledzenie trajektorii ==
Przy śledzeniu [[Tor ruchu|trajektorii]] stosujemy podobny zabieg jak w przypadku pozostałych algorytmów. Jako sygnał sterujący <math>v</math> podajemy:
:: <math>v=-k_d(y'-y_d')-k_p(y-y_d)+y_d''.</math>

Po podstawieniu do równania uzyskujemy wzór:
:: <math>y''-y_d''+k_d(y'-y_d')+k_p(y-y_d)=0,</math> a w ostateczności
:: <math>e''+k_de'+k_pe=0,</math>

gdzie:
: <math>e</math> – błąd,
: <math>k_p, k_d</math> – wzmocnienie części P oraz D sterownika typu PD ([[Regulator PID|PID]]),
: <math>y_d</math> – zadana trajektoria,
: <math>y_d''</math> – korekcja.

Jeżeli macierze <math>k_p</math> oraz <math>k_d</math> spełniają warunek, że ich [[widmo macierzy|spektrum]] ma części rzeczywiste większe od zera, to błąd e będzie zmierzał do zera. A zatem można powiedzieć, że algorytm jest zbieżny.

== Uwagi ==
W algorytmie stosowany jest [[algorytm jakobianowy|Jakobian]]. Wymagana jest znajomość modelu manipulatora, bez której nie można wykonać linearyzacji układu.

== Bibliografia ==
* K. Tchoń, A. Mazur, I. Dulęba, R. Hossa, R. Muszyński, ''Manipulatory i roboty mobilne: Modele, planowanie ruchu, sterowanie'', Warszawa 2000 ({{ISBN|83-7101-427-9}})

[[Kategoria:Algorytmy w robotyce|Odsprzęgania wej-wyj]]