Tekst źródłowy strony Algebra różniczkowa

'''Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe''' i '''algebra różniczkowa''' – odpowiednio: [[pierścień (matematyka)|pierścień]], [[ciało (matematyka)|ciało]] i [[Algebra nad ciałem|algebra]] wyposażone w '''różniczkowanie''', czyli [[funkcja|funkcję]] [[działanie jednoargumentowe|jednoargumentową]] spełniającą [[Wzór Leibniza|prawo iloczynu Leibniza]]. Naturalnym przykładem ciała różniczkowego jest ciało [[funkcja wymierna|funkcji wymiernych]] nad [[liczby zespolone|liczbami zespolonymi]] jednej zmiennej, <math>\mathbb C(t),</math> gdzie różniczkowaniem jest [[różniczka]] względem <math>t.</math>

== Pierścień różniczkowy ==
'''Pierścień różniczkowy''' to pierścień <math>R</math> wyposażony w co najmniej jedno różniczkowanie
: <math>\partial\colon R \to R,</math>

z których każde spełnia [[Wzór Leibniza|prawo Leibniza]]
: <math>\partial(r_1 r_2) = (\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)</math>

dla dowolnych <math>r_1, r_2 \in R.</math> Należy pamiętać, że pierścień nie musi być przemienny, a więc w pewnym stopniu standardowa forma wzoru na iloczyn w kontekście przemiennym, <math>\operatorname{d}(xy) = x\operatorname{d}y + y\operatorname{d}x,</math> może być fałszywa. Jeżeli <math>M\colon R \times R \to R</math> jest mnożeniem w pierścieniu, to prawo iloczynu jest tożsamością
: <math>\partial \circ M = M \circ (\partial \times \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \times \partial),</math>

gdzie <math>f \times g</math> oznacza funkcję odwzorowującą parę <math>(x, y)</math> na parę <math>\left(f(x), g(y)\right).</math>

== Ciało różniczkowe ==
'''Ciało różniczkowe''' to ciało <math>K</math> z różniczkowaniem. Teoria ciał różniczkowych, ''DF'' (od [[język angielski|ang.]] ''differential field''), jest zasadzona na zwykłych aksjomatach ciała poszerzonych o dwa dodatkowe określające różniczkowanie. Tak jak wyżej, różniczkowanie musi spełniać prawo iloczynu Leibniza dla elementów z ciała, tzn. dla dowolnych dwóch elementów <math>u, v</math> z ciała jest
: <math>\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u,</math>

ponieważ [[mnożenie]] w ciele jest przemienne. Różniczkowanie musi być również [[rozdzielność|rozdzielne]] względem dodawania w ciele:
: <math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v.</math>

Jeżeli <math>K</math> jest ciałem różniczkowym, to ''ciało stałych'' dane jest jako <math>k = \{u \in K\colon \partial(u) = 0\}.</math>

== Algebra różniczkowa ==
Algebra różniczkowa nad ciałem <math>K</math> to <math>K</math>-algebra <math>A,</math> gdzie różniczkowania komutują (są przemienne) z działaniami ciała, tzn. dla każdego <math>k \in K</math> oraz <math>x \in A</math> zachodzi
: <math>\partial (kx) = k \partial x.</math>

W zapisie bezwskaźnikowym, jeżeli <math>\eta\colon K \to A</math> jest [[homomorfizm pierścieni|homomorfizmem pierścieni]] określającym mnożenie skalarne w algebrze, to zachodzi
: <math>\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{id}) = M \circ (\eta \times \partial).</math>

Jak wyżej, różniczkowanie musi zachowywać prawo Leibniza względem mnożenia w algebrze i musi być liniowe względem dodawania, a więc dla każdego <math>a, b \in K</math> oraz <math>x, y \in A</math> jest
: <math>\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)</math>

oraz
: <math>\partial (ax + by) = a\,\partial x + b\,\partial y.</math>

== Różniczkowanie w algebrze Liego ==
Różniczkowanie w algebrze Liego <math>\mathfrak g</math> jest odwzorowaniem liniowym <math>\operatorname{D}\colon \mathfrak g \to \mathfrak g</math> spełniającym prawo Leibniza:
: <math>\operatorname{D}([a, b]) = [a, \operatorname{D}(b)] + [\operatorname{D}(a), b].</math>

Dla dowolnego <math>a \in \mathfrak{g},</math> wyrażenie <math>\operatorname{ad}(a)</math> jest różniczkowaniem na <math>\mathfrak{g},</math> które spełnia [[tożsamość Jacobiego]]. Każde takie różniczkowanie nazywane jest '''różniczkowaniem wewnętrznym'''.

== Przykłady ==
Jeżeli <math>A</math> ma [[unitarność|jedynkę]], to <math>\partial(1) = 0,</math> ponieważ <math>\partial(1) = \partial(1 \times 1) = \partial(1) + \partial(1).</math> Przykładowo w ciele różniczkowym [[charakterystyka (algebra)|charakterystyki]] zero [[liczby wymierne]] zawsze są podciałem ciała stałych.

Każde czyste ciało może być interpretowane jako ciało różniczkowe stałych.

Ciało <math>\mathbb Q(t)</math> ma unikatową strukturę jako ciało różniczkowe, które jest określone przez równość <math>\partial(t) = 1{:}</math> aksjomaty ciała wraz z aksjomatami różniczkowania sprawiają, że różniczkowanie jest różniczką względem <math>t.</math> Na przykład na mocy [[przemienność|przemienności]] mnożenia i prawa Leibniza zachodzi <math>\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2u \partial(u).</math>

W ciele różniczkowym <math>\mathbb Q(t)</math> nie ma rozwiązania równania różniczkowego
: <math>\partial(u) = u,</math>

ale znajduje się ono w większym ciele różniczkowym zawierającym funkcję <math>e^t.</math> Ciało różniczkowe z rozwiązaniami wszystkich układów równań różniczkowych nazywane jest [[ciało różniczkowo domknięte|ciałem różniczkowo domkniętym]]. Takie ciała istnieją, ale nie mają własności naturalnych obiektów algebraicznych czy geometrycznych. Wszystkie ciała różniczkowe (o ograniczonej [[moc zbioru|kardynalności]]) zawierają się w większym ciele różniczkowo domkniętym. Ciała różniczkowe są przedmiotem badań w [[różniczkowa teoria Galois|różniczkowej teorii Galois]].

Powszechnie występującymi przykładami różniczkowań są [[pochodna cząstkowa]], [[pochodna Liego]], [[pochodna Pincherlego]] i [[Komutator (matematyka)|komutator]] względem elementu algebry. Wszystkie te przykłady są ściśle ze sobą powiązane wspólnym pojęciem różniczkowania.

== Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnych ==
Pierścienie różniczkowe i algebry różniczkowe są często badane za pomocą pierścienia [[operator pseudoróżniczkowy|operatorów pseudoróżniczkowym]] na nich określonych.

Niech dany będzie pierścień
: <math>R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n\colon r_n \in R \right\}.</math>

Mnożenie w tym pierścieniu określone jest wzorem
: <math>(r\xi^m)(s\xi^n) = \sum_{k=0}^m r (\partial^k s) \tbinom{m}{k} \xi^{m+n-k},</math>

gdzie <math>\tbinom{m}{k}</math> oznacza [[symbol Newtona]]. Warta wspomnienia tożsamość
: <math>\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}</math>

wynika z innych tożsamości:
: <math>\tbinom{-1}{n} = (-1)^n</math>

oraz
: <math>r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).</math>

== Różniczkowania z gradacją ==
Jeżeli dana jest [[algebra z gradacją]] <math>A,</math> a <math>\operatorname{D}</math> jest jednorodnym [[Przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] o gradacji <math>d = |\operatorname{D}|</math> w <math>A,</math> wtedy <math>\operatorname{D}</math> jest '''różniczkowaniem jednorodnym''', jeżeli <math>\operatorname{D}(ab) = \operatorname{D}(a) b + \varepsilon^{|a| |\operatorname{D}|} a \operatorname{D}(b),</math> <math>\varepsilon = \pm1,</math> działa na elementach jednorodnych <math>A.</math>

'''Różniczkowanie z gradacją''' jest sumą różniczkowań jednorodnych o tym samym <math>\varepsilon.</math>

Jeżeli współczynnik komutujący <math>\varepsilon = 1,</math> to definicja ta redukuje się do zwykłego przypadku.

Jeżeli jednakże <math>\varepsilon = -1,</math> to jest <math>\operatorname{D}(ab) = \operatorname{D}(a) b + (-1)^{|a|} a \operatorname{D}(b)</math> dla parzystych <math>|\operatorname{D}|.</math> Nazywa się je wtedy '''antyróżniczkowaniami'''.

Przykładami antyróżniczkowań są [[Forma różniczkowa#Różniczka zewnętrzna formy|pochodna zewnętrzna]] i [[produkt wewnętrzny]] ([[język angielski|ang.]] ''interior product'', nie mylić z [[przestrzeń unitarna|iloczynem wewnętrznym]], ang. ''inner product'') działający na [[forma różniczkowa|formach różniczkowych]].

Różniczkowania z gradacją [[superalgebra|superalgebr]] (np. algebry z gradacją <math>\mathbb Z_2</math>) są często nazywane '''superróżniczkowaniami'''.

== Zobacz też ==
* [[algebra różniczkowa z gradacją]]
* [[ciało różniczkowo domknięte]]
* [[D-moduł]] – struktura algebraiczna z działającymi na niej kilkoma operatorami różniczkowymi
* [[pochodna arytmetyczna]]
* [[różniczka Kählera]]
* [[różniczkowa teoria Galois]]

== Bibliografia ==
* Buium, ''Differential Algebra and Diophantine Geometry'', Hermann (1994).
* I. Kaplansky, ''Differential Algebra'', Hermann (1957).
* [[E. Kolchin]], ''Differential Algebra and Algebraic Groups,'' 1973
* D. Marker, Model theory of differential fields, ''Model theory of fields'', Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer i A. Pillay, Springer Verlag (1996).
* A. Magid, ''Lectures on Differential Galois Theory,'' American Math. Soc., 1994

== Linki zewnętrzne ==
* [http://www.math.uic.edu/~marker/ David Marker’s home page] has several online surveys discussing differential fields.

[[Kategoria:Algebra różniczkowa| ]]