Tekst źródłowy strony Algebra centralna prosta

{{spis treści}}
'''Algebra centralna prosta''' ('''algebra Brauera''', z [[język angielski|ang.]] również '''CSA''') nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> – skończeniewymiarowa [[algebra prosta|prosta]] [[algebra łączna]], której [[centrum (algebra)|centrum]] jest <math>K.</math> Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska [[Richard Brauer|Richarda Brauera]].

== Przykłady ==
* [[Liczby zespolone]] <math>\mathbb C</math> tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie nad [[liczby rzeczywiste|liczbami rzeczywistymi]] <math>\mathbb R</math> (centrum <math>\mathbb C</math> są wszystkie elementy <math>\mathbb C,</math> a nie tylko <math>\mathbb R</math>).
* [[Kwaterniony]] <math>\mathbb H</math> są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad <math>\mathbb R.</math>

== Pojęcia ==
Zgodnie z [[twierdzenie Artina-Wedderburna|twierdzeniem Artina-Wedderburna]] algebra prosta <math>A</math> jest [[izomorfizm|izomorfczna]] z [[algebra macierzy|algebrą macierzy]] <math>M(n, S)</math> dla pewnego [[pierścień z dzieleniem|pierścienia z dzieleniem]] <math>S.</math> Dane dwie algebry proste <math>A \simeq M(n, S)</math> oraz <math>B \simeq M(m, T)</math> nad tym samym ciałem <math>K</math> nazywa się '''podobnymi (równoważnymi w sensie Brauera)''', jeżeli ich pierścienie z dzieleniem <math>S</math> oraz <math>T</math> są izomorficzne. Zbiór wszystkich [[Relacja równoważności|klas równoważności]] algebr centralnych prostych nad ciałem <math>K,</math> ze względu na wspomnianą relację równoważności, może być wyposażony w [[grupa (matematyka)|działanie grupowe]] dane przez [[iloczyn tensorowy algebr]]. Otrzymana grupa nazywana jest '''[[grupa Brauera|grupą Brauera]]''' <math>\operatorname{Br}(K)</math> nad ciałem <math>K.</math>

== Własności ==
* Każdy [[automorfizm]] algebry centralnej prostej jest [[Automorfizm#Automorfizmy wewnętrzne|automorfizmem wewnętrznym]] (wynika z [[twierdzenie Skolema-Noether|twierdzenia Skolema-Noether]]).
* Jeżeli <math>S</math> jest prostą [[podalgebra|podalgebrą]] algebry centralnej prostej <math>A,</math> to <math>\dim_F S</math> dzieli <math>\dim_F A.</math>
* Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem <math>K</math> jest izomorficzna z [[algebra kwaternionów|algebrą kwaternionów]]; faktycznie, jest to albo [[algebra macierzy]] wymiaru <math>2 \times 2</math> albo [[Algebra nad ciałem|algebra z dzieleniem]].

[[Kategoria:Teoria pierścieni]]