Tekst źródłowy strony Algebra Clifforda

'''Algebra Clifforda''' [[Forma kwadratowa|formy kwadratowej]] <math>Q\colon V \to K</math> to para <math>(C,j),</math> gdzie <math>C</math> jest [[Algebra nad ciałem|algebrą]] nad <math>K,</math> a <math>j\colon V \to C</math> przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego <math>v\in V</math>)
: <math>(j(v))^2 = Q(v)e_0,</math>

gdzie <math>e_0 \in C</math> jest elementem neutralnym mnożenia w <math>C.</math> Oznacza się ją <math>C\ell(V,Q).</math>

Algebra Clifforda stanowi uogólnienie [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]], [[Kwaterniony|kwaternionów]] i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.

== Definicja ==
Algebra Clifforda [[Forma kwadratowa|formy kwadratowej]] <math>Q\colon V \to K</math> to para <math>(C,j),</math> gdzie <math>C</math> jest [[Algebra nad ciałem|algebrą]] nad <math>K,</math> a <math>j\colon V \to C</math> przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego <math>v \in V</math>)
: <math>(j(v))^2 = Q(v)e_0,</math>

gdzie <math>e_0 \in C</math> jest elementem neutralnym mnożenia w <math>C,</math> przy czym spełniona jest następująca [[Własność uniwersalnosci|własność uniwersalności]]: dla każdej algebry <math>A</math> nad ciałem <math>K</math> i dla każdego przekształcenia liniowego <math>i\colon V \to A,</math> które spełnia równanie
: <math>(i(v))^2 = Q(v)e_0'</math>

(dla każdego <math>v \in V</math>) istnieje dokładnie jeden [[Algebra nad ciałem|homomorfizm algebr]] <math>h\colon C \to A,</math> taki że <math>i = h \circ j,</math> tzn. taki, że poniższy diagram
: [[Plik:Definicja algebry Clifforda.png|220px]]

jest [[Diagram przemienny|przemienny]].

== Uwagi ==
(1) Ponieważ każdej formie kwadratowej <math>Q\colon V \to K</math> odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna [[forma dwuliniowa]] <math>F\colon V \times V \to K</math> taka, że <math>Q(v) = F(v,v),</math> to równość z definicji można zapisać także
: <math>(j(v))^2 = F(v,v)e_0.</math>

(2) Rozpisując z jednej strony
: <math>F(v+w,v+w) = F(v,v)+F(w,w)+2F(v,w),</math>

a z drugiej strony
: <math>(j(v+w))^2 = (j(v)+j(w))^2 = (j(v))^2+(j(w))^2+j(v)j(w)+j(w)j(v)</math>

i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się
: <math>j(v)j(w)+j(w)j(v) = 2F(v,w)e_0.</math>

(3) Formę kwadratową <math>Q</math> na skończenie wymiarowej przestrzeni <math>V</math> z wymiarem równym <math>n = p+q</math> da się zawsze sprowadzić do postaci
: <math>Q(v) = F(v,v) = \sum_{i,j=1}^n\eta_{i,j}v_iv_j = v_1^2+\ldots+v_p^2-v_{p+1}^2-\ldots-v_{p+q}^2,</math>

gdzie <math>\eta_{i,j} = \pm 1</math> dla <math>i = j</math> i <math>0</math> poza tym.

W bazie <math>(e_i),</math> w której <math>Q,</math> ma to przedstawienie mamy (oznaczając <math>j(v)</math> przez <math>v</math>)
: <math>e_ie_j+e_je_i = 2\eta_{i,j}e_0.</math>

Z tego powodu algebrę Clifforda formy <math>Q\colon V \to K</math> oznacza się też <math>C\ell_{p,q}(K).</math>

(4) Wektory z <math>V</math> utożsamia się z ich obrazami w <math>j(V)</math> i bardzo często pisze się <math>v</math> zamiast <math>j(v).</math> Wektory z <math>C\ell(V, Q)</math> rozpięte przez <math>e_0</math> utożsamia się z elementami ciała <math>K.</math>

== Baza i wymiar ==
Jeżeli przestrzeń liniowa <math>V</math> jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym <math>n</math> z bazą <math>(e_i)</math> to bazę algebry Clifforda <math>C\ell(V, Q)</math> stanowią <math>e_0</math> oraz iloczyny (<math>j(v)</math> oznaczamy przez <math>v</math>)
: <math>e_{i_1}\ldots e_{i_k}</math>

gdzie <math>1 \leqslant i_1 < \ldots < i_k \leqslant n,\ 1\leqslant k \leqslant n</math>{{odn|Komorowski|1978}}.

Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi
: <math>\binom{n}{0}+ \binom{n}{1}+\ldots+\binom{n}{n} = 2^n.</math>

== Konstrukcja algebry Clifforda ==
{{Zobacz też|Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych}}
Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej <math>Q\colon V \to K</math> może zostać skonstruowana w następujący sposób{{odn|Komorowski|1978}}. Niech <math>\otimes V := \bigoplus_{k=0}^\infty V^{\otimes k}</math> będzie [[Algebra tensorowa|algebrą tensorową]]. <math>V^{\otimes k} := V \otimes \ldots \otimes V</math> oznacza tutaj <math>k</math>-krotny [[Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych|iloczyn tensorowy]] <math>V</math> <math>(V^{\otimes 0} := K).</math> W <math>\otimes V</math> wybieramy [[Ideał (teoria pierścieni)|ideał]] <math>I</math> generowany przez tensory postaci <math>v\otimes v - Q(v)e_0.</math> Algebrę <math>C</math> definiujemy jako [[Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|iloraz]]
: <math>C := \otimes V/I.</math>

<math>C</math> wraz z naturalnym włożeniem <math>j\colon V \to C</math> danym wzorem
: <math>j(v) := v+I</math>

jest algebrą Clifforda <math>C\ell(V, Q).</math>

== Przykłady ==
(1) [[Liczby zespolone]] tworzą trywialną algebrę Clifforda <math>C\ell_{0,1}(\mathbb R).</math> Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech <math>V = \mathbb R.</math> Połóżmy <math>C := \mathbb R^2.</math> Oznaczamy <math>i := (0,1)</math> i kładziemy <math>i^2 = -1.</math> Przekształcenie liniowe <math>j\colon V \to C</math> jest dane wzorem
: <math>j(x) = (0,x) = xi.</math>

Mamy
: <math>(j(v))^2 = (vi)^2 = -v^2,</math>

a zatem forma <math>Q\colon V \to \mathbb R</math> jest dana wzorem
: <math>Q(x) = -x^2.</math>

(2) [[Kwaterniony]] są algebrą Clifforda <math>C\ell_{0,2}(\mathbb R).</math> Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech <math>V = \mathbb R^2.</math> Połóżmy <math>C := \mathbb R^4.</math>

Oznaczmy <math>i := (0,1,0,0),\quad j := (0,0,1,0), \quad k := (0,0,0,1)</math> i połóżmy
: <math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.</math>

Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z <math>C.</math>

Przekształcenie liniowe <math>j\colon V \to C</math> jest dane wzorem
: <math>j(x,y) = (0,x,y,0) = xi+yj.</math>

Mamy
: <math>(j(v))^2 = (j(x,y))^2 = (xi+yj)^2 = x^2i^2+y^2j^2+xyij+xyji = -x^2-y^2.</math>

Forma kwadratowa <math>Q\colon V \to \mathbb R</math> jest zatem dana wzorem
: <math>Q(x,y) = -x^2-y^2.</math>

(3) Rozpatrzmy <math>2</math>-wymiarową podprzestrzeń <math>\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\mathbb R)</math> złożoną z macierzy postaci <math>\begin{pmatrix}a & b \\ b & -a \end{pmatrix}.</math> Nazwijmy ją <math>V.</math> Jej bazę stanowią macierze <math>e_1 := \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> i <math>e_2 := \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}.</math> Mamy
: <math>e_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.</math>

Za <math>C</math> przyjmujemy algebrę rozpiętą przez <math>e_1, e_2, e_3</math> i macierz jednostkową <math>e_0 = \mathrm 1</math> ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy
: <math>\begin{pmatrix}a& b \\ b & -a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a& b \\ b & -a\end{pmatrix} = (a^2+b^2) \begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},</math>

a zatem <math>C</math> wraz z <math>j := \mathrm{id}_V,</math> jest algebrą Clifforda formy kwadratowej <math>Q\colon V \to \mathbb R</math> danej wzorem
: <math>Q(v) = Q\left( \begin{pmatrix}a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \right) = a^2+b^2.</math>

(4) {{Zobacz też|Aksjomaty i konstrukcje liczb}}
* [[Liczby podwójne]] to algebra Clifforda <math>C\ell_{1,0}(\mathbb R).</math>
* [[Kokwaterniony]] to algebra Clifforda <math>C\ell_{1,1}(\mathbb R)</math> albo <math>C \ell_{2,0}(\mathbb R).</math>
* [[Bikwaterniony]] to algebra Clifforda <math>C\ell_{0,3}(\mathbb R).</math>
* [[Liczby dualne]] to algebra Clifforda zdegenerowanej formy <math>Q</math> tzn. równej tożsamościowo zero.

== Zobacz też ==
* [[algebra tensorowa]]
* [[algebra zewnętrzna]]
* [[iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Komorowski | imię = J. | tytuł = Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa |rok = 1978 | odn = tak }}

== Linki zewnętrzne ==
* [https://www-users.mat.umk.pl/~anow/ps-dvi/aa.pdf Wybrane zagadnienia algebry]
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Clifford_algebra Clifford algebra]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Algebry nad ciałami liczbowymi}}
{{Struktury na przestrzeniach liniowych}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebry nad ciałem]]