Tekst źródłowy strony Algebra

{{dopracować|przypisy=2020-11}}
{{Inne znaczenia|działu matematyki|hasło dotyczące struktury matematycznej, [[Algebra nad ciałem|algebry nad ciałem K]]}}
[[Plik:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|Dzieło, z którego pochodzi określenie „algebra”: ''Al-kitab al-muchtasar fi hisab al-dżabr wa-al-mukabala'' (IX w.)<ref name="epwn" />]]
[[Plik:1782 Algiebra dla szkół narodowych.png|thumb|''Algiebra dla szkół narodowych'' polskie wyd. z 1782 z inicjatywy [[Towarzystwo do Ksiąg Elementarnych|Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych]]]]
'''Algebra''' ({{ar.|الجبر}}, al-dżabr<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | tytuł = algebra | id = 3867774 | data dostępu = 2022-02-10}}</ref>) – jedna z głównych dziedzin [[Matematyka|matematyki]], zajmująca się wszelkimi [[Struktura matematyczna|strukturami]] algebraicznymi, czyli [[Zbiór|zbiorami]] – lub bardziej ogólnymi [[Klasa (matematyka)|klasami]] – wyposażonymi w [[Działanie algebraiczne|działania]]<ref name="epwn" />; struktury te bywają też nazywane [[Algebra ogólna|algebrami ogólnymi]]. Początkowym przykładem takiego obiektu, długo definiującym tę dziedzinę, były [[liczby rzeczywiste]] ze standardowymi [[Arytmetyka elementarna|działaniami arytmetycznymi]], a także [[liczby zespolone]] rozszerzające ten zbiór, wprowadzone właśnie na potrzeby klasycznie rozumianej algebry.

Historycznie była to nauka o [[Równanie algebraiczne|równaniach algebraicznych]]<ref name="epwn" />, [[Układ równań|ich układach]] i ogólnych [[Tożsamość algebraiczna|tożsamościach algebraicznych]] – regułach manipulacji symbolami [[Zmienna (matematyka)|zmiennych]]<ref name="epwn" />. Dominowały w niej badania [[wielomian]]ów o zmiennych [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[Liczby zespolone|zespolonych]], rozkładu tych wielomianów na czynniki ([[Rozkład na czynniki|faktoryzacji]]), [[Układ równań liniowych|układów równań liniowych]] i [[Dwumian Newtona|dwumianu Newtona]]<ref name="opial">[[Zdzisław Opial]], ''Algebra wyższa'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]], Warszawa 1972, Wstęp.</ref>. Te i pokrewne tematy bywają nazywane '''algebrą elementarną'''<ref>{{otwarty dostęp}} Michał Feldblum, ''[https://polona.pl/item/algebra-elementarna,ODk3Nzg3NzY/423/ Algebra elementarna]'', E. Wende i S-ka, Warszawa 1922, skan w bibliotece [[Polona]], polona.pl [dostęp 2022-02-10].</ref>. Badania te doprowadziły do rozważań powiązanych obiektów jak [[macierz]]e, [[wyznacznik]]i czy [[Grupa permutacji|grupy permutacji]]<ref name="opial" />. XIX wiek przyniósł też nowe struktury jak [[kwaterniony]], inne i bardziej ogólne [[wektor]]y, [[tensor]]y, rozwój [[Algebra Boole’a|algebry Boole’a]] w elementarnej [[Logika matematyczna|logice]] i [[Teoria mnogości|teorii mnogości]] oraz [[Arytmetyka modularna|arytmetyki modularnej]] i [[Algebraiczna teoria liczb|algebraicznej teorii liczb]] dzięki rozważaniu [[Liczby całkowite Gaussa|liczb całkowitych Gaussa]]. Wtedy też nazwano własności różnych działań, sformalizowano je i wprowadzono kluczowe pojęcie [[izomorfizm]]u, kodyfikujące analogie między strukturami{{fakt|data=2022-02}}. Przez to algebra stała się nauką znacznie szerszą, badającą między innymi abstrakcyjne [[Grupa (matematyka)|grupy]] i ich [[Grupa przemienna|szczególne, przemienne przypadki]] wzbogacone o dodatkowe operacje; przykłady to [[Przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]] i [[Pierścień (matematyka)|pierścienie]], w tym [[Ciało (matematyka)|ciała]]<ref name="opial" /><ref name="epwn" />. Przyczyniło się to do redefinicji matematyki, która tym sposobem przestała być nauką wyłącznie o [[liczba]]ch i [[Figura geometryczna|figurach]].

Algebra cieszy się długą historią nieprzerwanego rozwoju oraz wpływu na resztę matematyki i jej zastosowania<ref name="epwn" />. Należy do jej najstarszych dziedzin<ref name="epwn" /> – powstała już w starożytnej [[Mezopotamia|Mezopotamii]], po czym była rozwijana przez matematyków [[Starożytna Grecja|starogreckich]], [[Indie|indyjskich]], [[islam]]skich i europejskiego [[Średniowiecze|średniowiecza]]. Wyniki matematyków [[Chiny|chińskich]] jak [[chińskie twierdzenie o resztach]] stanowiły pogranicze [[Teoria liczb|teorii liczb]] i algebry elementarnej, a później zostały przez algebrę wchłonięte.  W czasach [[Nowożytność|nowożytnych]] algebra popchnęła postępy [[Geometria|geometrii]] dzięki stworzeniu [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]], która przyczyniła się też do powstania [[Analiza matematyczna|analizy]]. Problemy postawione przez algebrę i jej brak samowystarczalności doprowadziły również do rozwoju [[Kombinatoryka|kombinatoryki]] i [[Metody numeryczne|metod numerycznych]]. W XIX wieku z udziałem algebry rozwiązano starożytne problemy geometrii związane z [[Konstrukcje klasyczne|konstrukcjami klasycznymi]]. Wtedy też algebraicznie zunifikowano opis różnych rozwijanych wówczas obszarów geometrii, definiując ją na nowo, w ramach [[Program erlangeński|programu erlangeńskiego]]. Na liście [[Problemy Hilberta|problemów Hilberta]] z największymi wyzwaniami dla matematyki XX wieku znaczna część dotyczyła algebry, a na niektóre z tych pytań odpowiedziano. W XXI wieku nauka ta jest dalej rozwijana{{fakt|data=2022-02}}; stanowi język i narzędzie wielu innych dyscyplin jak [[geometria algebraiczna]], [[topologia algebraiczna]], [[teoria węzłów]], analiza – zwłaszcza [[Analiza funkcjonalna|funkcjonalna]]<ref name="opial" /> – czy teoria [[Język formalny|języków formalnych]]. Metody algebraiczne są też stosowane w [[Teoria grafów|teorii grafów]], a w [[Geometria różniczkowa|geometrii różniczkowej]] stworzyły [[Geometria nieprzemienna|geometrię nieprzemienną]]. Do algebry bywa zaliczana także [[teoria kategorii]] unifikująca rozmaite obszary matematyki i stanowiąca dla niej fundament alternatywny do teorii mnogości. Wpływ algebry sięga też poza matematykę i naukę ogółem. [[X (litera)|Litera X]], używana jako podstawowe oznaczenie zmiennej i [[Niewiadoma|niewiadomej]], stała się symbolem i przenośnią niewiedzy lub tajemnicy; wpłynęła tak m.in. na nazwę [[Promieniowanie rentgenowskie|promieni rentgenowskich]], [[Partia X|partii politycznych]] i [[Kultura popularna|popkulturę]].

Naukowiec zajmujący się algebrą to '''algebraik''' lub '''algebraiczka'''<ref>{{Sjp PWN|algebraik||2022-02-14}}</ref>. Przedstawiciele tej dziedziny otrzymywali najwyższe nagrody dostępne matematykom jak [[Medal Fieldsa]] czy [[Nagroda Abela]]{{fakt|data=2022-02}}. Istnieją również wyróżnienia w całości poświęcone algebrze jak jedna z dziedzin [[Nagroda Cole’a|Nagrody Cole’a]] przyznawanej przez [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne]] (ang. AMS).

== Historia rozwoju ==
{{dopracować|sekcja|źródła=2025-03}}
=== Starożytność babilońska i grecka ===
Wczesne formy algebry zostały opracowane przez [[Babilonia|Babilończyków]] i Greków.

Korzenie algebry sięgają czasów matematyków babilońskich, którzy opracowali zaawansowany system arytmetyczny, pozwalający na wykonywanie obliczeń w sposób algorytmiczny. Babilończycy wynaleźli wzory, przy pomocy których można było rozwiązywać problemy rozwiązywane dziś poprzez równania liniowe czy kwadratowe. Z kolei większość matematyków egipskich tej epoki, podobnie jak matematycy greccy czy chińscy w I tysiącleciu przed narodzeniem Chrystusa, zazwyczaj rozwiązywało takie równania metodami geometrycznymi, takimi jak te opisane w [[Papirus Rhinda|Papirusie Matematycznym Rhinda]] oraz ''Elementach'' Euklidesa. Prace Greków nad [[Geometria|geometrią]] zapisane w ''Elementach'', zapewniły podstawę do generalizacji formuł rozwiązań konkretnych problemów i użycia ich do rozwiązywania tych bardziej ogólnych systemów przedstawiania i rozwiązywania równań, jednak nie zdawano sobie z tego sprawy, aż do rozwinięcia się matematyki w średniowiecznym Islamie.

Przed czasami Platona, grecka matematyka przeszła drastyczną zmianę. Grecy stworzyli algebrę geometryczną, gdzie wyrazy algebraiczne były przedstawiane za pomocą boków obiektów geometrycznych, zazwyczaj prostych, podpisanych literami. [[Diofantos]] był greckim matematykiem z [[Aleksandria|Aleksandrii]] oraz autorem serii ksiąg ''Arytmetyka'', które opisują rozwiązywania równań algebraicznych i doprowadziły do współczesnej postaci [[równanie diofantyczne|równania diofantycznego]] w [[Teoria liczb|teorii liczb]].

Hellenistyczni matematycy [[Heron z Aleksandrii|Heron]] i Diofantos, podobnie jak indyjscy tacy jak [[Brahmagupta]] kontynuowali tradycje Egiptu i Babilonu, mimo iż ''Arytmetyka'' Diofantosa i Brahmagupty ''Brahmasphutasiddhanta'' były na znacznie wyższym poziomie. Dla przykładu, pierwsze kompletne rozwiązanie arytmetyczne (zawierające zero i rozwiązania ujemne) [[Równanie kwadratowe|równania kwadratowego]] zostało opisane przez Brahmagupta w jego książce ''Brahmasphutasiddhanta''. Później, Perscy i arabscy matematycy stworzyli znacznie bardziej wyszukane metody algebraiczne. Pomimo iż Diofantus i matematycy babilońscy w dużej mierze używali metod ad hoc do rozwiązywania równań, wkład Al-Khwarizmiego był fundamentalny. Rozwiązywał on równania liniowe i kwadratowe bez użycia symboli algebraicznych, liczb ujemnych czy zera, a więc w konsekwencji wyróżnił kilka typów równań.

=== Indie i Chiny ===
Indyjscy matematycy Mahavira i Bhaskara II, perski Al-Karaji i chiński Zhu Shijie rozwiązali różne przypadki równań wielomianowych trzeciego, czwartego, piątego i wyższych stopni z wykorzystaniem [[Metoda numeryczna|metod numerycznych]]{{fakt|data=2022-04}}.

=== Świat islamski i średniowieczna Europa ===
[[Plik:Omar Kayyám - Geometric solution to cubic equation.svg|mały|Ilustracja metody [[Omar Chajjam|Omara Chajjama]] przybliżonego rozwiązania [[Równanie sześcienne|równania kubicznego]]. Metody ścisłe (analityczne) pojawiły się później, w XVI w. u matematyków włoskich.]]

Wcześniejsze tradycje opisane wyżej miały bezpośredni wpływ na [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi|Muḥammada ibn Mūsā al-Khwārizmīego]], słynnego perskiego muzułmańskiego matematyka urodzonego w [[Chorezm]]ie w [[Uzbekistan]]ie. Napisał on później ''al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal (Krótka księga o rachowaniu przez dopełnianie i równoważenie)'', która sprawiła, że algebra stała się działem matematyki niezależnym od [[Arytmetyka|arytmetyki]] i geometrii. Słowo algebra (arab. ''الجبر'', al-dżabr) oznacza dosłownie „przywrócenie” i pochodzi z tej właśnie książki. [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi|Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]] działał najprężniej pod Al-Ma’moun w Bagdadzie w okresie 813-833 r., a zmarł około 840 r. Książka została przywieziona do Europy i przetłumaczona na łacinę w XII wieku. Następnie otrzymała nazwę „Algebra”. Zakończenie nazwiska matematyka: al-Khwārizmī zostało zlatynizowane na łatwiejsze do wypowiedzenia po łacinie "Algorizmi"<ref>{{Cytuj | url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dixit_algorizmi.png | tytuł=File:Dixit algorizmi.png - Wikimedia Commons<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=wikimedia.org | język=en | data dostępu=2024-04-22}}</ref>, od którego wzięło się słowo [[algorytm]]. Wspomniani już wcześniej grecki matematyk Diofantos oraz al-Khwārizmī uważani są za „ojców algebry”.

Innemu perskiemu matematykowi [[Omar Chajjam|Omarowi Khayyamowi]] przypisuje się określenie podstawy geometrii algebraicznej i znalezienie rozwiązania ogólnego równania geometrycznego sześciennego. Jeszcze inny perski matematyk, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, znalazł algebraiczne rozwiązania numeryczne do różnych przypadków równań sześciennych. On także rozwinął koncepcję funkcji.

W XIII w. rozwiązanie równania sześciennego przez Fibonacciego było początkiem ożywienia w europejskiej algebrze. Tutaj algebra rozwijała się bardzo szybko.

=== Wczesna nowożytność ===
[[Plik:KdV cubic polynomial 2.svg|mały|Wykres przykładowej funkcji [[wielomian]]owej trzeciego stopnia. Jej [[Miejsce zerowe|miejsca zerowe]] (pierwiastki) są opisane [[Równanie sześcienne|wzorami Cardana]]]]

Kolejnym kluczowym wydarzeniem w dalszym rozwoju algebry było ogólne algebraiczne rozwiązanie równań trzeciego i czwartego stopnia, opracowane w XVI wieku ([[Scipione del Ferro]], [[Niccolò Tartaglia]], [[Girolamo Cardano]], [[Lodovico Ferrari]]). Cardano oraz [[Rafael Bombelli]] opisali także jako pierwsi [[liczby zespolone]]. Praca [[François Viète|François Viète’a]] nad nową algebrą u schyłku XVI wieku była ważnym krokiem w kierunku nowoczesnej algebry. W 1637 [[René Descartes|Kartezjusz]] opublikował ''La Géométrie'', wymyślając [[Geometria analityczna|geometrię analityczną]] i wprowadził nowoczesną notację algebraiczną.

Pomysł wyznacznika został opracowany przez japońskiego matematyka Kowa Sekiego w wieku XVII, co niezależnie kontynuował [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] 10 lat później w rozwiązywaniu [[Układ równań liniowych|układów równań liniowych]] z wykorzystaniem macierzy. 

=== XVIII wiek ===
[[Gabriel Cramer]] również przysłużył się pracy nad macierzami i wyznacznikami ([[wzory Cramera]]). Liczby zespolone powiązano z funkcją wykładniczą ([[Leonhard Euler]]) i zaczęto je opisywać za pomocą [[Płaszczyzna|płaszczyzny]] ([[Caspar Wessel]], [[Jean-Robert Argand]] i [[Carl Friedrich Gauss]]).

U schyłku XVIII wieku, w toku badań nad równaniami wielomianowymi, narodziły się zręby teorii [[Grupa permutacji|grup permutacji]] – w pracach [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange’a]] i [[Paolo Ruffini|Ruffiniego]].

=== XIX wiek ===
[[Plik:GroupDiagramQ8.svg|mały|Diagram cykli w [[Grupa kwaternionów|grupie kwaternionów]] ''Q''<sub>8</sub>]]

XIX stulecie to rewolucja w algebrze – rozwiązano jej tradycyjne problemy i bardzo poszerzono jej zakres badań, tworząc [[Algebra abstrakcyjna|algebrę abstrakcyjną]]. Kluczowe kroki uczynili tu m.in. [[Niels Henrik Abel]] i [[Évariste Galois]] – ich twierdzenia o równaniach wielomianowych to początki [[Teoria Galois|teorii Galois]]. Leżącą w jej sercu [[Teoria grup|teorię grup]] rozwijali potem [[Marie Ennemond Camille Jordan]], [[Leopold Kronecker]], [[Felix Klein]], [[Ferdinand Georg Frobenius]], [[Richard Dedekind]], [[Otto Ludwig Hölder]], [[Peter Sylow]] i [[Marius Sophus Lie]], a ten ostatni otworzył jej nową dziedzinę – teorię [[Grupa Liego|grup Liego]].

[[Augustus De Morgan]] wynalazł relacje w algebrze, o których pisał w swoim dziele ''Syllabus of a Proposed System of Logic''{{fakt|data=2022-04}}. Związek algebry z logiką opisał też [[George Boole]].

Rozwinięto także [[Algebra liniowa|algebrę liniową]] i teorię [[Algebra nad ciałem|algebr nad ciałem]]:
* [[William Rowan Hamilton]] wprowadził [[kwaterniony]] – pierwszy przykład [[Liczby hiperzespolone|liczb hiperzespolonych]];
* [[Josiah Willard Gibbs]] i [[Oliver Heaviside]] uprościli opis wektorów w przestrzeni trójwymiarowej; algebrę kwaternionów zastąpił przez [[iloczyn skalarny]] i [[iloczyn wektorowy]];
* [[Arthur Cayley]] opisał algebrę [[macierz]]y – jest to historycznie pierwszy przykład algebry nieprzemiennej{{fakt|data=2022-04}};
* znaczące prace w tej dziedzinie ogłosili też [[James Joseph Sylvester]], [[Hermann Grassmann]] i [[William Kingdon Clifford]].

W XIX wieku rozwinięto też zastosowanie algebry do [[Teoria liczb|teorii liczb]] – powstała [[algebraiczna teoria liczb]].

=== XX wiek ===
XX stulecie przyniosło znaczące wyniki w teorii [[Grupa (matematyka)|grup]] skończonych. Udowodniono między innymi twierdzenie Feita-Thompsona o [[Grupa rozwiązalna|rozwiązalności]] oraz ukończono [[Klasyfikacja skończonych grup prostych|klasyfikację]] skończonych [[Grupa prosta|grup prostych]], m.in. dzięki opisaniu nowych obiektów jak [[grupa monstrum]].

W XX wieku rozwinięto także nowe dziedziny matematyki jak [[algebra homologiczna]] oraz leżąca na pograniczu algebry [[teoria kategorii]]. Zdefiniowano też ściśle (aksjomatycznie) przedmiot badań [[Algebra liniowa|algebry liniowej]] i rozwinięto jej obliczeniowy aspekt, np. opisując [[algorytm Strassena]].

Dla algebry znaleziono też nowe zastosowania, np. w:
* [[Fizyka|fizyce]] – [[mechanika kwantowa]] posługuje się językiem [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]];
* informatyce – na masową skalę zastosowano algorytm [[PageRank]].

W latach 20. [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne]] (ang. AMS) ustanowiło [[Nagroda Cole’a|Nagrodę Cole’a]] w dziedzinie algebry.

=== Znaczący algebraicy ===
{{Dopracować|sekcja|kryteria}}
{{Grafika rozwinięta

| całkowita szerokość = 200
| liczba kolumn = 2

| grafika1 = Al-Khwarizmi portrait.jpg
| grafika2 = Gerolamo Cardano (colour).jpg
| grafika3 = Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg
| grafika4 = Tschirnhaus.jpg
| grafika5 = LeonhardEuler.jpg
| grafika6 = Лагранж.jpg
| grafika7 = Carl Friedrich Gauss.jpg
| grafika8 = Evariste galois.jpg
| grafika9 = Hermann Graßmann.jpg
| grafika10 = GeorgFrobenius (cropped).jpg
| grafika11 = John Griggs Thompson (cropped).jpg
| grafika12 = Peter Scholze (cropped).jpg

| opis = wpływowi algebraicy – w kolejnych wierszach:<br />
• [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi|Al-Chuwarizmi]] (IX w.),<br />
• [[Girolamo Cardano]] (XVI w.) ,<br />
• [[René Descartes]] (XVII w.),<br />
• [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|E.W. Tschirnhaus]] (XVII–XVIII w.),<br />
• [[Leonhard Euler]] (XVIII w.),<br />
• [[Joseph Louis Lagrange|J.L. Lagrange]] (XVIII–XIX w.),<br />
• [[Carl Friedrich Gauss|C.F. Gauss]] (XVIII–XIX w.),<br />
• [[Évariste Galois]] (XIX w.),<br />
• [[Hermann Grassmann]] (XIX w.),<br />
• [[Ferdinand Georg Frobenius|F.G. Frobenius]] (XIX–XX w.),<br />
• [[John Griggs Thompson|J.G. Thompson]] (XX–XXI w.),<br />
• [[Peter Scholze]] (XXI w.)
}}

{{związana kategoria|Algebraicy}}

* [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi]] (780–850) – twórca tego terminu;
* [[Scipione del Ferro]] (1465–1526) – jako pierwszy znalazł wzory na rozwiązania [[Równanie sześcienne|równań kubicznych]];
* [[Niccolò Tartaglia]] (1500–1557) – niezależnie od del Ferro rozwiązał równanie 3. stopnia;
* [[Girolamo Cardano]] (1501–1576) – rozwinął wyniki del Ferro i Tartaglii, otwierając też badania [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]];
* [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565) – zredukował problem równania 4. stopnia do równania kubicznego;
* [[Rafael Bombelli]] (1526–1572) – pierwsze systematyczne prace nad liczbami zespolonymi;
* [[François Viète]] (1540–1603) – autor tożsamości opisujących wielomiany dowolnego stopnia;
* [[René Descartes]] (1596–1650) – kojarzony z [[Reguła znaków Kartezjusza|regułą znaków]] opisującą pierwiastki wielomianów;
* [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646–1716) – jeden z pionierów teorii wyznaczników;
* [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus]] (1651–1708) – twórca jednego z przekształceń równań wielomianowych;
* [[Abraham de Moivre]] (1667–1754) – autor jednej z tożsamości opisujących liczby zespolone;
* [[Gabriel Cramer]] (1704–1752) – autor wzorów na rozwiązania niektórych układów równań liniowych;
* [[Leonhard Euler]] (1707–1783) – autor tożsamości związanej z liczbami zespolonymi oraz symbolu [[Jednostka urojona|jednostki urojonej]] (''i'');
* [[Joseph Louis Lagrange]] (1736–1813) – autor metody systematycznego wyprowadzania wzorów na miejsca zerowe wielomianów ([[rezolwenta]]); pionier użycia [[Permutacja|permutacji]] w algebrze;
* [[Caspar Wessel]] (1745–1818) – pionier użycia [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]] do opisu liczb;
* [[Pierre Simon de Laplace]] (1749–1827) – autor jednej z tożsamości opisujących wyznaczniki;
* [[Paolo Ruffini]] (1765–1822) – współautor pierwszego dowodu nierozwiązywalności ogólnego równania 5. stopnia przez pierwiastniki;
* [[Jean-Robert Argand]] (1768–1822) – współautor pierwszego pełnego dowodu [[Zasadnicze twierdzenie algebry|zasadniczego twierdzenia algebry]]; poprawił pracę Gaussa i uogólnił ją na wielomiany zespolone;
* [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855) – związany z zasadniczym twierdzeniem algebry – autor częściowego dowodu poprawionego potem przez Arganda; klasyk [[Arytmetyka modularna|arytmetyki modularnej]], sformułowanej potem w języku [[Grupa cykliczna|grup cyklicznych]];
* [[Niels Henrik Abel]] (1802–1829) – drugi, niezależny współautor twierdzenia Abela-Ruffiniego o wielomianach 5. stopnia;
* [[William Rowan Hamilton]] (1805–1865) – autor pierwszych publikacji o [[Kwaterniony|kwaternionach]];
* [[Hermann Grassmann]] (1809–1877) – pionier algebry liniowej i teorii [[Algebra Grassmanna|algebr Grassmanna]], będących podstawą teorii [[Forma różniczkowa|form różniczkowych]];
* [[Évariste Galois]] (1811–1832) – autor kompletnej teorii rozwiązywalności wielomianów przez pierwiastniki; pionier [[Teoria grup|teorii grup]], teorii [[Ciało (matematyka)|ciał]] i łączącej je [[Teoria Galois|teorii Galois]];
* [[James Joseph Sylvester]] (1814–1897) – pionier algebry liniowej, upamiętniony nazwą twierdzenia o [[Forma kwadratowa|formach kwadratowych]];
* [[Arthur Cayley]] (1821–1895) – wprowadził do algebry [[oktoniony]], zwane też oktawami Cayleya;
* [[Leopold Kronecker]] (1823–1891) – upamiętniony nazwą twierdzenia o układach równań liniowych;
* [[Richard Dedekind]] (1831–1916) – teoretyk grup, pierścieni i krat;
* [[Peter Sylow]] (1832–1918) – teoretyk grup skończonych;
* [[Marie Ennemond Camille Jordan]] (1838–1922) – autor podstawowego twierdzenia w teorii grup skończonych;
* [[Josiah Willard Gibbs]] (1839–1903) – współtwórca podstawowej algebry wektorów euklidesowych, opartej na [[Iloczyn skalarny|iloczynie skalarnym]] i [[Iloczyn wektorowy|wektorowym]];
* [[Marius Sophus Lie]] (1842–1899) – twórca teorii grup i algebr Liego, zwanych też zbiorczo teorią Liego;
* [[William Kingdon Clifford]] (1845–1879) – badacz [[Algebra Clifforda|algebr Clifforda]] łączących osiągnięcia Hamiltona i Grassmanna;
* [[Ferdinand Georg Frobenius]] (1849–1917) – autor twierdzenia charakteryzującego liczby zespolone i kwaterniony jako unikalne w pewnej klasie algebr;
* [[Felix Klein]] (1849–1925) – teoretyk grup, twórca [[Program erlangeński|programu erlangeńskiego]];
* [[Oliver Heaviside]] (1850–1925) – współtwórca algebry wektorów;
* [[William Burnside]] (1852–1927) – teoretyk grup skończonych; autor problemu, który czekał na rozwiązanie dekadami;
* [[Otto Ludwig Hölder]] (1859–1937) – teoretyk grup skończonych;
* [[Emmy Noether]] (1882–1932) – kojarzona z [[Pierścień noetherowski|pierścieniami noetherowskimi]];
* [[Emil Artin]] (1898–1962) – badacz teorii grup i teorii Galois;
* [[Hans Julius Zassenhaus]] (1912–1991) – autor [[Lemat Zassenhausa|lematu Zassenhausa]] w teorii grup;
* [[John Griggs Thompson]] (1932–) – współautor kluczowego twierdzenia o rozwiązalności grup skończonych;
* [[Peter Scholze]] (1987–) – autor cenionych prac z [[Geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]], laureat między innymi [[Medal Fieldsa|Medalu Fieldsa]] i [[Nagroda Cole’a|Nagrody Cole’a]] w dziedzinie algebry.

== Przykłady ==
[[Wyrażenie algebraiczne|Wyrażenia algebraiczne]]:
{|
|<math>5+c</math>
|[[dodawanie|suma]]
|-
|<math>d-f</math>
|[[odejmowanie|różnica]]
|-
|<math>4g</math> lub <math>4\cdot g</math>
|[[mnożenie|iloczyn]] lub czterokrotność liczby g
|-
|<math>2a+4c</math>
|[[kombinacja liniowa]] lub [[iloczyn skalarny]] (w zależności od kontekstu)
|-
|<math>d:k</math>
|[[dzielenie|iloraz]]
|-
|<math>a^5</math>
|[[potęgowanie|potęga]]
|}
Przekształcenia wyrażenia algebraicznego:
{|
|<math>4d+5a+9d+5a = 13d+10a</math>
|redukcja wyrazów podobnych
|}

== Podział ==
{{Dopracować|sekcja|kryteria}}
Niektóre działy algebry to{{fakt|data=2022-02}}:
* teoria [[Równanie algebraiczne|równań algebraicznych]]
* [[algebra liniowa]]
* [[algebra wieloliniowa]]
* [[algebra abstrakcyjna]]
** teoria [[moduł (matematyka)|modułów]]
** teoria [[monoid]]ów i [[półgrupa|półgrup]]
** teoria [[grupa (matematyka)|grup]]
** teoria [[pierścień (matematyka)|pierścieni]]
** teoria [[pierścień z dzieleniem|pierścieni z dzieleniem]] ([[Pierścień z dzieleniem|ciał nieprzemiennych]])
** teoria [[prawie ciało|prawie ciał]]
** teoria [[ciało (matematyka)|ciał]]
** teoria [[Algebra Clifforda|algebr Clifforda]]
** teoria [[algebra Jordana|algebr Jordana]]
** teoria [[algebra Liego|algebr Liego]] i [[grupa Liego|grup Lie]]
** [[teoria krat Birkhoffa]]
** [[algebra Boole’a]]
** [[algebra homologiczna]]
* [[algebra topologiczna]]
* [[algebra uniwersalna]]
* [[algebraiczna K-teoria]]
* [[geometria algebraiczna]]
* [[teoria kategorii]]
* [[teoria kodów]]

== Zobacz też ==
{{Wikibooks|Algebra abstrakcyjna|Algebra abstrakcyjna}}
{{wikisłownik|algebra}}
* [[*-pierścień]]
* [[algebra Wienera]]
* [[Algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole'a|algebra zupełna zbiorów]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* [http://www.mimuw.edu.pl/~aboj/algebra/algnowa13.pdf Skrypt do przedmiotu Algebra I] na wydziale [[Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego|MIMUW]] autorstwa A. Bojanowska, P. Traczyk (.pdf)

; Anglojęzyczne
* {{MathWorld | adres = Algebra | tytuł = Algebra }} [dostęp 2023-06-01].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra Algebra]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].
* {{SEP | url = algebra/ | tytuł = Algebra | autor = Vaughan Pratt | data = 2017-08-04 | data dostępu = 2020-01-23}}

{{Działy algebry}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Algebra| ]]