Tekst źródłowy strony Aksjomatyka Hilberta

'''Aksjomatyka Hilberta''' – zestaw [[aksjomat]]ów [[Geometria|geometrii euklidesowej]] podany przez [[David Hilbert|Davida Hilberta]] w roku [[1899]] w jego pracy ''Grundlagen der Geometrie'' (''Podstawy geometrii''). [[System Hilberta]] jest podstawą większości współczesnych ujęć geometrii euklidesowej. Podana tu aksjomatyka nie pochodzi z oryginalnej pracy Hilberta (pierwotnie aksjomatów było 21), a z następnych jego prac i liczy 20 aksjomatów.

Hilbert podał swój system aksjomatów po tym, jak pod koniec [[XIX wiek]]u okazało się, że zestaw pewników [[Euklides]]a podany w [[Elementy|Elementach]] zawiera luki. System Hilberta jest już zupełny.

[[Pojęcie pierwotne|Pojęciami pierwotnymi]] (tj. niedefiniowalnymi) są: ''punkt, prosta, płaszczyzna, leżeć na, zawierać się w, pomiędzy, przystawać''. Aksjomaty, opisujące własności pojęć pierwotnych podzielone są na grupy.

== I. Aksjomaty incydencji ==
# Dla dowolnych dwóch punktów ''A, B'' istnieje prosta ''a'', zawierająca oba te punkty.
# Dla dowolnych dwóch różnych punktów ''A, B'' istnieje co najwyżej jedna prosta zawierająca oba te punkty.
# Na dowolnej prostej leżą co najmniej dwa różne punkty. Istnieją co najmniej trzy różne punkty, nieleżące na jednej prostej.
# Dla dowolnych trzech punktów ''A, B, C'', które nie leżą na tej samej prostej, istnieje płaszczyzna α zawierająca wszystkie te trzy punkty. Każda płaszczyzna zawiera co najmniej jeden punkt.
# Dla dowolnych trzech punktów ''A, B, C'', które nie leżą na tej samej prostej, istnieje co najwyżej jedna płaszczyzna α zawierająca wszystkie te trzy punkty.
# Jeżeli dwa punkty ''A, B'' leżące na prostej ''a'' leżą na płaszczyźnie α, to każdy punkt prostej ''a'' leży na płaszczyźnie α.
# Jeżeli dwie płaszczyzny α i β mają punkt ''A'' wspólny, to mają co najmniej jeszcze jeden punkt wspólny ''B'' różny od ''A''.
# Istnieją co najmniej cztery punkty nieleżące w jednej płaszczyźnie.

== II. Aksjomaty uporządkowania ==
# Jeżeli punkt ''B'' leży pomiędzy punktami ''A'' i ''C'', to punkty ''A, B, C'' są różnymi punktami leżącymi na jednej prostej.
# Dla dowolnych punktów ''A, C'' istnieje na prostej ''AC'' punkt ''B'' taki, że ''C'' leży pomiędzy ''A'' i ''B''.
# Dla dowolnych trzech punktów ''A, B, C'' jednej prostej jeden i tylko jeden leży pomiędzy pozostałymi dwoma.
# Dla dowolnych trzech punktów ''A, B, C'' nieleżących na jednej prostej i prostej ''a'' leżącej w płaszczyźnie ''ABC'' lecz nie zawierającej żadnego z punktów ''A, B, C'': jeśli prosta ''a'' ma punkt wspólny z odcinkiem ''AB'', to ma również punkt wspólny z odcinkiem ''AC'' lub odcinkiem ''BC''.
Jest to tak zwany ''[[aksjomat Pascha]]''. Jego nazwa pochodzi od nazwiska [[XIX wiek|XIX-wiecznego]] matematyka niemieckiego [[Moritz Pasch|Moritza Pascha]], który pierwszy zauważył jego konieczność w systemie [[Geometria euklidesowa|aksjomatów Euklidesa]].

== III. Aksjomaty przystawania ==
# Dla danych punktów ''A, B'' leżących na prostej ''a'' i danego punktu ''A' '' na ''a'' lub innej prostej ''a''', istnieje punkt ''B' '' na danej stronie ''a' '' taki, że odcinki ''AB'' i ''A'B' '' są przystające.
# Jeżeli odcinki ''A'B' '' i ''A"B"'' są przystające do tego samego odcinka ''AB'', to wówczas odcinek ''A'B' '' przystaje do odcinka ''A"B"''.
# Dla danej prostej ''a'' i leżących na niej odcinków ''AB'' i ''BC'' takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest ''B'' oraz tej samej bądź innej prostej ''a' '' i leżących na niej odcinków ''A'B' '' i ''B'C' '' takich, że ich jedynym punktem wspólnym jest ''B'': jeżeli ''AB'' przystaje do ''A'B' '' i ''BC'' przystaje do ''B'C''', to ''AC'' przystaje do ''A'C' ''.
# Jeżeli <math>\angle</math>''ABC'' jest [[kąt]]em, a ''B'C''' [[półprosta|półprostą]], to na każdej stronie prostej ''B'C' '' istnieje dokładnie jedna półprosta ''B'A' '' taka, że kąt <math>\angle</math>''A'B'C' '' przystaje do kąta <math>\angle</math>''ABC''. Jako wniosek otrzymujemy stąd, że każdy kąt przystaje do siebie samego.
# Jeśli dla dwóch trójkątów ''ABC'' i ''A'B'C' '' odcinki ''AB'', ''BC'' i ''AC'' przystają odpowiednio do odcinków ''A'B' '', ''B'C' '' i ''A'C''', to trójkąty ''ABC'' i ''A'B'C' '' są przystające.

== Aksjomat równoległości ==
* Dla danej prostej ''a'' i punktu ''B'' nie leżącego na niej, istnieje w płaszczyźnie zawierającej ''a'' i ''B'' co najwyżej jedna prosta zawierająca ''B'' i niemająca punktów wspólnych z ''a''.

Jest to inne sformułowanie słynnego ''[[postulat równoległości|piątego pewnika Euklidesa]]''.

== Aksjomaty ciągłości ==
# ([[Aksjomat Archimedesa]]): Dla danych odcinków ''AB'' i ''CD'' istnieje taka [[Liczby naturalne|liczba naturalna]] ''n'', że odkładając odcinek ''CD'' ''n''-krotnie od punktu ''A'' na prostej ''AB'', punkt końcowy przekroczy punkt ''B''.
# Nie istnieje rozszerzenie relacji określonej na dowolnym podzbiorze punktów prostej, która zachowuje uporządkowanie i przystawanie odcinków i spełnia wszystkie aksjomaty grup I–III oraz aksjomat Archimedesa.

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę | url = http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/Axioms/Hilbert.html | tytuł = O aksjomatyce Hilberta | opublikowany = math.umbc.edu | archiwum = https://web.archive.org/web/20131213033906/http://www.math.umbc.edu/~campbell/Math306Spr02/Axioms/Hilbert.html | zarchiwizowano = 2013-12-13}}
* {{MathWorld|adres=HilbertsAxioms |tytuł=Hilbert's Axioms |data dostępu=12 grudnia 2020}}

[[Kategoria:Geometria euklidesowa]]
[[Kategoria:Aksjomaty matematyczne]]