Tekst źródłowy strony Aksjomaty Zermela-Fraenkla

{{spis treści}}
'''Aksjomaty Zermela'''<ref group=uwaga>W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty '''Zermelo'''”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „'''Zermeli'''”.</ref>'''-Fraenkla'''<ref group=uwaga>Znacznie rzadziej występuje oboczność '''„Fraenkela”'''.</ref>, '''aksjomatyka Zermela-Fraenkla''' – układ [[Aksjomat|aksjomatów]] [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]]. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były [[funkcja|funkcje]]<ref group="uwaga" name="ao">Umożliwiają one m.in. konstrukcję <math>\aleph_\omega.</math> Przykładowo <math>2^{\aleph_0}</math> może być równe m.in. <math>\aleph_1,</math> czy <math>\aleph_2</math>… (jedynym ograniczeniem na <math>2^x</math> jest <math>\mathrm{cf}(2^x) > x,</math> zob. [[współkońcowość]]). Najmniejszą liczbą kardynalną, którą dowodliwie w <math>ZFC</math> nie może być <math>2^{\aleph_0}</math> jest <math>\aleph_\omega,</math> ponieważ jest to najmniejsza liczba kardynalna, która dowodliwie w <math>ZFC</math> jest singularna i której współkońcowość jest przeliczalna.</ref>.

Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę '''ZF'''. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]], stosuje się także obok '''ZF''' oznaczenie '''ZFC''' dla zaznaczenia, że dowód jakiegoś twierdzenia wymaga lub nie wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.

== Historia ==
W przeszłości zbiory pojmowano intuicyjnie. Uważano na przykład, że każda właściwość pociąga za sobą istnienie odpowiadającego jej zbioru elementów, którym ta właściwość przysługuje. Takie pojmowanie teorii mnogości prowadziło jednak do sprzeczności, wśród których wymienić można [[antynomia Russella|antynomię Russela]] (mianowicie przyjmując za cechę niebycie własnym elementem <math>x \notin x,</math> otrzymuje się zbiór, który należy do siebie samego wtedy i tylko wtedy, kiedy do siebie nie należy{{odn|Kuratowski|Mostowski|1978|s=73}}). W toku dyskusji nad rozwijaną teorią matematycy przekonali się, że ich intuicje dotyczące pojęcia zbioru różnią się między sobą. Stało się jasne, że teoria mnogości wymaga oparcia na jakimś systemie aksjomatycznym{{odn|Kuratowski|Mostowski|1978|s=67}}.

Pierwszą próbę skonstruowania takiego systemu podjął Zermelo w 1904. Wprowadził jako [[pojęcie pierwotne|pojęcia pierwotne]] swej teorii [[zbiór]] oraz relację ''bycia elementem'' <math>\in.</math> Pomysł Zermela obejmował aksjomaty jednoznaczności, zbioru pustego, [[Suma zbiorów|sumy zbiorów]], [[Zbiór potęgowy|zbioru potęgowego]], nieskończoności oraz aksjomat o podzbiorach dla danej formuły. Sformułowanie tego ostatniego zostało w pracy Zermela uznane za niejasne{{odn|Kuratowski|Mostowski|1978|s=70}}.

W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw [[aksjomat]]ów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji [[liczby porządkowe|liczb porządkowych]]. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych<ref group="uwaga" name="ao" />. Ponadto jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i [[Thoralf Skolem]] zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku predykatów]] z [[równość (matematyka)|równością]], w którym jedynym symbolem spoza [[Logika|logiki]] jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem <math>\in</math> (U+2208). Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie [[aksjomat podzbiorów|aksjomatu podzbiorów]] przez [[aksjomat zastępowania]]. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela [[aksjomat regularności]], zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.

== Aksjomaty Zermela-Fraenkla ==
=== Aksjomat ekstensjonalności ===
{{Główny artykuł|Aksjomat ekstensjonalności}}
: Jeżeli zbiory <math>a</math> i <math>b</math> mają te same elementy, to są identyczne:
:: <math>\forall a\; \forall b\; \left(\forall x\; (x \in a \Leftrightarrow x \in b) \Rightarrow a = b\right)</math>

=== Aksjomat zbioru pustego ===
{{Główny artykuł|Aksjomat zbioru pustego}}
: Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
:: <math>\exist x\; \forall y\; \neg(y \in x)</math>
: Na mocy [[Aksjomat ekstensjonalności|aksjomatu ekstensjonalności]] istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: [[zbiór pusty]], oznaczany symbolem <math>\emptyset</math>

=== Aksjomat podzbiorów ===
{{Główny artykuł|Aksjomat podzbiorów}}
: Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
: Dla każdego zbioru <math>b</math> istnieje zbiór <math>a,</math> złożony z tych i tylko tych elementów <math>x</math> zbioru <math>b,</math> które mają własność <math>\varphi{:}</math>
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall b\; \exist a\; \forall x\; \bigg(x \in a \Leftrightarrow \Big(x \in b \land \varphi(x, b, p_1, \dots, p_n)\Big) \bigg)</math>
: Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.

=== Aksjomat pary ===
{{Główny artykuł|Aksjomat pary}}
: Dla dowolnych zbiorów <math>a</math> i <math>b</math> istnieje zbiór <math>c,</math> którego elementami są dokładnie zbiory <math>a</math> i <math>b{:}</math>
:: <math>\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \lor x = b)\Big)</math>

=== Aksjomat sumy ===
{{Główny artykuł|Aksjomat sumy}}
: Dla dowolnej [[Rodzina zbiorów|rodziny zbiorów]] <math>r</math> istnieje zbiór <math>u,</math> do którego należą dokładnie te elementy <math>x,</math> które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny <math>r{:}</math>
:: <math>\forall r\; \exist u\; \forall x\; \Big(x \in u \Leftrightarrow \exist a\; (x \in a \land a \in r)\Big)</math>

=== Aksjomat zbioru potęgowego ===
{{Główny artykuł|Aksjomat zbioru potęgowego}}
: Dla każdego zbioru <math>x</math> istnieje zbiór <math>p,</math> którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru <math>x{:}</math>
:: <math>\forall x\; \exist p\; \forall z\; \Big(z \in p \Leftrightarrow \forall y\; (y \in z \Rightarrow y \in x)\Big)</math>

=== Aksjomat nieskończoności ===
{{Główny artykuł|Aksjomat nieskończoności}}
: Istnieje [[zbiór induktywny]]:
:: <math>\exist x\; \Bigg(\exist a\; \Big(a \in x \land \forall b\; \neg(b \in a)\Big)</math>
::: <math>\land \forall c \bigg( c\in x\Rightarrow \exist d\; \Big(d \in x \land \forall e\; \big(e \in d \Leftrightarrow (e \in c \lor e = c)\big)\Big)\bigg)\Bigg)</math>
: Istnieje wiele takich zbiorów.
: [[Część wspólna]] wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]].

=== Aksjomat zastępowania ===
{{Główny artykuł|Aksjomat zastępowania}}
: Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
: Jeżeli dla każdego <math>x</math> istnieje dokładnie jeden <math>y,</math> dla którego zachodzi <math>\Theta (x,y),</math> to dla dowolnego zbioru <math>X</math> istnieje taki zbiór <math>Y,</math> że:
: <math>\forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\in X\; \Big(\Theta(x,y)\Big)\bigg)</math>
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall X\; \Bigg(\forall x\; \exist! y\; \Theta(x, y, X, p_1, \dots, p_n)</math>
::: <math>\Rightarrow \exist Y\; \forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\; \Big(x \in X \land \Theta(x, y, X, p_1, \dots, p_n) \Big)\bigg)\Bigg)</math>
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math>

=== Aksjomat regularności ===
{{Główny artykuł|Aksjomat regularności}}
: Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
: Każdy niepusty zbiór <math>x</math> ma element rozłączny z <math>x{:}</math>
:: <math>\forall x\; \Bigg(x \neq \emptyset \Rightarrow \exist y\; \bigg(y \in x \land \neg\Big(\exist z\; (z \in x \land z \in y)\Big)\bigg)\Bigg)</math>
: Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

=== Aksjomat wyboru ===
{{Główny artykuł|Aksjomat wyboru}}
: Dla dowolnej rodziny <math>r</math> zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor <math>s</math> (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
:: <math>\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)</math>
::: <math>\land \forall a\; \forall b\; \bigg(\Big(a \in r \land b \in r \land a \neq b\Big) \Rightarrow \neg\Big(\exist x\; (x \in a \land x\in b)\Big)\bigg)</math>
::: <math>\Rightarrow \exist s\; \forall a\; \Big(a \in r \Rightarrow \exist! y\; (y \in s \land y \in a)\Big)\Bigg)</math>
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math>

: Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z [[lemat Kuratowskiego-Zorna|lematem Kuratowskiego-Zorna]] oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja [[dobry porządek|dobrego porządku]], a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej [[rodzina indeksowana|indeksowanej rodziny]] niepustych zbiorów <math>\langle a_i\colon i \in I \rangle</math> istnieje funkcja wyboru
:: <math>(f\colon I\to \bigcup_{i\in I} a_i)</math> taka, że:
::: <math>f(i)\in a_i</math> dla wszystkich <math>i\in I.</math>

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = [[Kazimierz Kuratowski]], [[Andrzej Mostowski]] |tytuł = Teoria Mnogości |czasopismo = Monografie |wolumin = 27 |wydanie = trzecie zmienione |miejsce = Warszawa |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |data = 1978 |opis = Monografie Matematyczne |odn=tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{Cytuj książkę |autor = Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski |tytuł = Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 2005 |strony = |isbn = 83-01-14415-7}}
* {{Cytuj książkę |autor = Agnieszka Wojciechowska |tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości |wydawca = WN PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1979 |strony = |isbn = 83-01-00756-7}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Zermelo-FraenkelAxioms | tytuł = Zermelo-Fraenkel Axioms }} [dostęp 2024-03-07].
{{SEP2|2018-01-29}}
* {{SEP3 |url = zermelo-set-theory/ |autor = Michael Hallett |tytuł = Zermelo’s Axiomatization of Set Theory |data = 2013-07-02 | tytuł polski = (Aksjomatyzacja Zermela teorii mnogości)}}
* {{SEP3 |url = set-theory-constructive/ |autor = Laura Crosilla |tytuł = Set Theory: Constructive and Intuitionistic ZF |data = 2014-02-19 | tytuł polski = (Teoria mnogości: konstruktywne i intuicjonistyczne ZF)}}

{{Aksjomaty teorii mnogości}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Aksjomaty Zermela-Fraenkla| ]]