Tekst źródłowy strony Aksjomat pary

'''Aksjomat pary''' (nieuporządkowanej) – jeden z [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla]]. Stwierdza on istnienie, dla dowolnych dwóch elementów, zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów. Został wprowadzony przez Zermela<ref>{{Cytuj |autor r = Zermelo, Ernst |tytuł = Mathematische Annalen |data = 1908 |data dostępu = 2025-01-30 |s = 261-281 |opublikowany = Göttinger Digitalisierungszentrum |url = https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0065?tify=%7B%22pages%22:%5B273%5D,%22pan%22:%7B%22x%22:0.448,%22y%22:0.828%7D,%22view%22:%22info%22,%22zoom%22:0.548%7D |język = de |kropka = Axiom II}}</ref> jako część aksjomatu gwarantującego istnienie trzech zbiorów elementarnych: jedynego [[Zbiór pusty|zbioru pustego]], [[Zbiór jednoelementowy|singletonu]] oraz pary nieuporządkowanej.

== Postać formalna ==
Dla dowolnych zbiorów <math>A</math> i <math>B</math> istnieje zbiór <math>C,</math> którego jedynymi elementami są <math>A</math> i <math>B.</math> Formalnie{{odn|Guzicki|Zbierski|1978|s=19}}:
: <math>\forall A\ \forall B\ \exist C\ \forall D\ (D\in C \iff D=A \lor D=B).</math>

Korzystając z [[Aksjomat ekstensjonalności|aksjomatu ekstensjonalności]], łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych <math>A</math> i <math>B.</math> Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną <math>A</math> i <math>B</math> i oznaczamy <math>\{A, B\}.</math> Warto zaznaczyć, że jeśli <math>A=B</math>, to w rzeczywistości powstały zbiór jest jednoelementowy.

== Związek z innymi aksjomatami ZF ==
'''W teorii Zermela'''

Zakładając aksjomaty teorii Z, niektóre pary (nieuporządkowane) zbiorów możemy utworzyć bez powołania się na aksjomat pary. Jeśli ograniczymy zakres rozważanych zbiorów do elementów pewnego ustalonego z góry zbioru <math>X</math> i wybierzemy dwa z nich, to potrafimy stworzyć zbiór zawierający tylko te 2 wybrane elementy. Formalniej, niech <math>A</math>, <math>B</math>, <math>X</math> będą takie, że

<math>A, B \in X</math>

Wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z [[Aksjomat podzbiorów|aksjomatu wycinania]]. Mianowicie rozważmy [[predykat]]:

<math>\varphi(D) \equiv (D = A \lor D = B )</math>

wtedy na mocy aksjomatu wycinania istnieje zbiór <math>Y=\{D \in X: \varphi(D)\}</math>, który, jak łatwo sprawdzić, spełnia warunek

<math>(D\in Y) \iff (D=A \vee D=B )</math>

a zatem <math>Y = \{ A, B \}</math>.

'''W teorii Zermela-Fraenkla'''

Zakładając aksjomaty teorii ZF, aksjomat pary staje [[Twierdzenie|twierdzeniem]] wynikającym z [[Aksjomat zastępowania|aksjomatu zastępowania]], który jest silniejszą wersją aksjomatu wycinania, oraz [[Aksjomat zbioru potęgowego|aksjomatu zbioru potęgowego]], [[Aksjomat zbioru pustego|aksjomatu zbioru pustego]] i aksjomatu ekstensjonalności<ref>{{Cytuj |autor = Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek |tytuł = Teoria mnogości |data = 2007 |data dostępu = 2025-01-29 |isbn = 978-83-01-15232-1 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN |s = 101 |język = pl}}</ref>.

:Rozważmy dowolne zbiory <math>A</math>, <math>B</math> oraz formułę <math>\varphi</math>, w której <math>z</math> jest zmienną związaną, daną przez

::<math>\varphi(u,v)\equiv ( (u=\emptyset \wedge v=A) \vee (u=P(\emptyset ) \wedge v=B)</math>

:gdzie <math>P(\emptyset)</math> oznacza zbiór potęgowy zbioru pustego. Sprawdzamy, że formuła <math>\varphi</math> spełnia warunek

::<math>\varphi(u,v)\wedge \varphi(u,w) \implies v=w</math>

:co wynika z faktu, że <math>\emptyset \neq P(\emptyset)</math>. Spełnione jest zatem założenie aksjomatu zastępowania, a więc

::<math>\forall a \ \exists z \ \forall v \ (v\in z \iff[(\exists u\in a):\varphi(u,v)] </math>

:W  powyższym, ustalamy <math>a=P(P(\emptyset))</math> i uzyskujemy

::<math>\exists z \ \forall v \ [v\in z \iff ( \ ( \ \exists u\in P(P(\emptyset)) \ ): \varphi(u,v) \ ) ]</math>

:Zauważmy, że <math>u\in P(P(\emptyset))</math> oznacza <math>u=\emptyset \ \vee \ u=P(\emptyset)</math>. Zatem formuła z prawej strony spełniona jest tylko, gdy <math>u=\emptyset \ \wedge \ v=A</math> albo <math>u=P(\emptyset ) \ \wedge \ v=B</math>. Stąd, uzyskujemy żądany zbiór <math>z</math> taki, że

::<math>v\in z \iff (v=A \vee v=B)</math>

:czyli innymi słowy <math>z=\{A,B\}</math>.
W powyższym dowodzie, aksjomat zbioru pustego i aksjomat zbioru potęgowego są nam potrzebne do skonstruowania dwóch różnych zbiorów, tj. <math>\emptyset</math> oraz <math>P(\emptyset)</math>, a także zbioru, który zawiera tylko te dwa zbiory, czyli <math>P(P(\emptyset))</math>. Możliwa jest również konstrukcja korzystająca z aksjomatu nieskończoności. Wtedy, ze zbioru induktywnego możemy wyciąć podzbiory <math>\{\emptyset\}</math> i <math>\{\emptyset, \{\emptyset\}\}</math>, które odpowiadają kolejno <math>P(\emptyset)</math> i <math>P(P(\emptyset))</math>.

== Dalsze konstrukcje ==

=== Singleton ===
Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu <math>A,</math> czyli [[zbiór jednoelementowy]]:

: <math>\{A\} = \{A, A\}</math>{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=63}}

Zbiór <math>\{A\}</math> należy oczywiście odróżniać od zbioru <math>A</math>.

=== Nieuporządkowana n-ka ===
Mając dane zbiory <math>A,</math> <math>B,</math> <math>C,</math> możemy zatem skonstruować zbiory <math>\{A, B\},</math> <math>\{C\}</math> i dalej wobec aksjomatu pary <math>\{\{A, B\},\{C\}\}.</math> Korzystając z [[Aksjomat sumy|aksjomatu sumy]], otrzymamy stąd zbiór <math>\{A, B, C\}</math> zwany ''trójką nieuporządkowaną''. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów{{odn|Kuratowski|Mostowski|1966|s=64}}.

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie [[Zbiór skończony|zbioru nieskończonego]] wynika z [[aksjomat nieskończoności|aksjomatu nieskończoności]] i jest niezależne od aksjomatu pary{{fakt|data=2015-12}}.

=== Para uporządkowana ===
{{Osobny artykuł|Para uporządkowana}}
Dzięki aksjomatowi pary, możemy także zdefiniować [[Para uporządkowana|parę uporządkowaną]] zbiorów <math>A</math> i <math>B{:}</math>
: <math>( A, B ) = \{\{ A \},\{ A, B \}\}</math>{{odn|Guzicki|Zbierski|1978|s=10}}
którą charakteryzuje istniejący na niej ''porządek elementów'', tj. dwie pary uporządkowane <math>( A, B )</math> i <math>( C , D )</math> są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy <math>A = C</math> i <math>B=D</math>.

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji. Jest to standardowa definicja pary uporządkowanej zaproponowana przez [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowskiego]], chodź istnieją też inne definicje (patrz: [[Para uporządkowana#Definicje teoriomnogościowe|Definicje pary uporządkowanej]]).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | nazwisko = Kuratowski | imię = Kazimierz | autor link = Kazimierz Kuratowski | nazwisko2 = Mostowski | imię2 = Andrzej | autor link2 = Andrzej Stanisław Mostowski | tytuł = Teoria mnogości | miejsce = Warszawa | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | rok = 1966 | odn = tak }}
* {{cytuj książkę | nazwisko = Guzicki | imię = Wojciech | nazwisko2 = Zbierski | imię2 = Paweł | tytuł = Podstawy teorii mnogości | miejsce = Warszawa | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | rok = 1978 | odn = tak }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = AxiomoftheUnorderedPair | tytuł = Axiom of the Unordered Pair }} [dostęp 2024-03-07].

{{Aksjomaty teorii mnogości}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Aksjomaty Zermela-Fraenkla|Pary]]