Tekst źródłowy strony 1 (liczba)

{{przekierowanie|Jeden|[[1 (ujednoznacznienie)|inne znaczenia „Jeden” i „1”]] oraz [[jedność]], [[jednostka]]}}
{{Liczba naturalna infobox
 |liczba       = 1
 |faktoryzacja = 
 |dzielniki    = 
 |rzymski      = I
 |2            = 1
 |8            = 1
 |16           = 1
 |grecki       = mono-
 |łacina       = uni-
 |tocjent      = 1
 |tau          = 1
 |sigma        = 1
 |pi           = 0
 |Mobius       = 1
 |Mertens      = 1
 |słownie      = jeden
}}
Każda [[Liczby całkowite|liczba całkowita]] jest podzielna przez 1.

1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną, gdyż ma tylko jeden dzielnik naturalny (liczbę 1).

== Etymologia nazwy ==
W staropolskim ''jedzin, jedzien'' (D. ''jednego''), ''i'' skróciło się tu do ''e'' ruchomego wskutek częstości użycia, a ''d'' wstawiono z form przypadków zależnych. Starsza forma bez redukcji rozwinęła się w ''jedyny'' z twardym ''d'' pod wpływem ''jeden'' (por. też rzeczownik odliczebnikowy ''jedynka''). Postać zachodniosłowiańska ''†jedinъ''; wschodniosłowiańska ''†odinъ'', por. ''odyniec'', pierwotnie „stary samiec dzika żyjący w pojedynkę”.

Element ''jed-'' ~ ''od-'' ma być pozostałością archaicznego formantu *ed o znaczeniu ‘tylko, właśnie’, z pochodzenia [[Zaimek|zaimka wskazujący]] [[Rodzaj gramatyczny|rodzaju nijakiego]] o rdzeniu *e, który zostawił ślady w [[języki anatolijskie|językach anatolijskich]] ([[język hetycki|het.]] [[miejscownik]] ''edi'' „w tym”), w [[łacina|łac.]] (''ecce'' < ''*ed-ke'' „oto”), w [[języki germańskie|germ.]] ([[język niemiecki|niem.]] ''etwas'' „coś”), w [[sanskryt|skr.]] (''asya'' „tego” < ''*e-sjo''). Ten sam formant można odnaleźć w pol. ''ledwie'', dawniej tylko ''ledwo'', które jest skróceniem od ''le jedwo'' (znanego w stpol.); ''jedwo'' zawiera końcówkę przysłówków ''-o'' i zastępuje ''og-'' słowiańskie ''jedva'' < ''*ed-wōs'', por. [[język litewski|litew.]] ''võs'' „ledwie”. Istnieje także teoria wiążąca element ''jed-'' ~ ''od-'' z liczebnikiem [[języki semickie|sem.]] o znaczeniu „jeden”: [[język arabski|arab.]] ''{{unicode|wāḥidun, ˀaḥadun}}'', [[język hebrajski|hebr.]] ''{{unicode|ˀeḥād}}''.

Cząstka ''inъ;'' widoczna jest też w pol. ''inny'' < ''iny'', [[język staro-cerkiewno-słowiański|scs.]] ''inorogъ;'' „jednorożec”. Zawarta w niej samogłoska ''i'' jest wynikiem rozwoju zredukowanego [[języki indoeuropejskie|indoeuropejskiego]] ''*oi'' (być może przez stadium ''*ui'') – jest to najbardziej pierwotna postać liczebnika „jeden”, jaką da się zrekonstruować. Zachowana być może w [[język grecki|gr.]] (dialekt) ''íos'' „jeden” w innej [[Przegłos|postaci apofonicznej]] (wyraz ten może być jednak efektem wyrównań analogicznych). W różnych językach indoeuropejskich rozszerzono ją o elementy spółgłoskowe:

* ''-n-'', por. łac. ''ūnus < oinos'', ang. ''one'' < stang. ''ān'' < pragermańskie ''†ajnaz'', prasłowiańskie ''†inъ;'' < ''*oinos'', też gr. ''oínē''; ‘jedynka na kostce do gry’, ormiańskie -''in'' ‘ten sam’,
* ''-k-'', por. skr. ''ēkas'' < ''*oikos'',
* ''-w-'', por. [[język awestyjski|awest.]] ''aeva-'' < ''*oiwos'', gr. cypr. ''oiwos'' „jedyny”.
Rdzeń ''*oi'' (< ''*{{unicode|Hʷoi}}'') być może nie wyrażał pierwotnie wcale liczby 1, ale [[2 (liczba)|2]]: ''*oinos'', ''*oikos'', ''*oiwos'' znaczyły ‘ten z dwóch’, ale też ‘tamten z dwóch’, stąd dziś pol. ''inny''. Porównaj przypuszczalne ''*d(e)-{{unicode|Hʷoi}}'' > ''†dъvě'' > ''dwie''.

Drugi indoeuropejski rdzeń o znaczeniu 1, ''*sem-'' ~ ''*{{unicode|sm̥}}-'' (por. gr. ''heĩs'' < ''*sems'' ‘jeden’, ''mía'' < ''*smijə;'' „jedna”, ''hen'' < ''*sem'' „jedno”, ''monás'' < ''†sm-on-ad-s'' „jedynka”; łac. ''sem-el'' „jeden raz”, ''sim-plex'' „pojedynczy”, [[jęzk licyjski|licyj.]] ''sñta'', [[język tocharski|toch.]] ''sas'', ormiańskie ''mi'' < ''*smi'') występuje w języku pol. w innej postaci apofonicznej w wyrazie ''sam'' < prasłowiańskie ''†samъ;'' < ''*sōmos.'' Prawdopodobnie forma słowiańska zachowała pierwotne znaczenie rdzenia. W złożeniach trafia się także ''*se-'', por. skr. ''sa-'' (o ile nie od ''*{{unicode|sm̥}}-''), gr. ''hekatón'' < ''*se-{{unicode|ḱm̥tom}}'', dosł. „jedna setka”.

Niejasne jest pochodzenie liczebnika ‘1’ w niektórych językach, np. alb. ''një'' (zapoż. z łac. ''ūnus''?), hetyckie ''ant'', luwijskie ''a'' – może z ''*anter-'' ~ ''*alter-'' „jeden z dwóch”, por. łac. ''alter''.

Przy wyliczaniu używa się formy raz (< ''†razъ;'' „uderzenie” < ''*{{unicode|(w)rōǵ-}}'' „nacięcie”, por. litew. ''rúožas'' „pas, kreska”, gr. ''rhõks'', ''rhõg-'' „rysa, szczelina”, [[język lezbijski|lezb.]] ''wrẽksis''), zamiast jeden raz.

Podobieństwo postulowanego indoeuropejskiego ''*se-'' do [[język indonezyjski|indonezyjskiego]] ''se-'' (< ''satu'' „jeden”, por. ''se-ratus'' „100”, dosł. „jedna setka”) jest zapewne dziełem przypadku, patrz jednak dalej.

[[Liczebnik porządkowy]] ''pierwszy'' to forma wyłącznie pol., utworzona jako stopień (naj)wyższy słowiańskiego przymiotnika ''†{{unicode|pŕ̥vъ}};'' „pierwszy, początkowy” (por. ros. ''пе́рвый;'', pol. ''pierwotny, pierworodny, dopiero''). Słowo wydaje się oparte na nierozszerzonym indoeuropejskim rdzeniu ''*pirvo-'' < ''*{{unicode|perHʷ}}'' ~ ''*{{unicode|proHʷ}};'' (por. gr. ''prõtos'' < ''*{{unicode|proHʷto}}-'', [[intonacja cyrkumfleksowa]] pomimo pochodzenia od grupy z [[intonacja laryngalna|laryngalną]] wynika z gr. praw akcentowych). W innych językach używa się formy z sufiksem ''*-omo-'' używanym do tworzenia stopnia najwyższego, por. gr. homeryckie ''prómos'' < ''*{{unicode|pr̥Hʷomo}}-'', łac. ''prīmus'', litew. ''pìrmas'', stang. forma < ''*{{unicode|perH̥ʷmo}}-'', „pierwszy”. Gr. ''próteros'' „przedni” ma z kolei sufiks stopnia wyższego ''*-ter-''. Inny stopień [[Przegłos|apofonii]] wykazują pol. ''przód'' < ''†perdъ'', ''przedni'' < ''†perdъnьjь'' < ''*{{unicode|perHʷ}}-''. Skr. ''prathama'' pochodzi być może od formy z przestawką ''*{{unicode|protHʷomo}}-'' < ''*{{unicode|proHʷtomo}}-'' i jest z pochodzenia formą stopnia najwyższego (mającego normalnie sufiks ''-tama-'' < ''*-t-omo-''). Współczesne ang. ''first'' jest z pochodzenia również formą stopnia najwyższego, z innym sufiksem (stang. ''fyrmest''). Dokładnym odpowiednikiem formy słowiańskiej wydaje się skr. ''pūrvas'' < ''*{{unicode|pr̥Hʷo-}}'' „pierwszy, najstarszy”; możliwe, że lepsza byłaby rekonstrukcja ''*{{unicode|pr̥Hʷ-wo-}}'' z dodatkowym sufiksem. Por. także skr. ''purā;'' < ''*{{unicode|pr̥Hʷ}}-'' „w dawnych czasach”, pol. ''pra-'' < ''*{{unicode|proHʷ}}-''.

== Cyfra i znak „1” ==
'''1''' jest to [[symbol]] stosowany w układach pozycyjnych do zapisywania [[liczba|liczb]]. Zapisana na ''n''-tym miejscu w liczbie w systemie pozycyjnym o podstawie ''b'' oznacza składnik <math>b^{n-1},</math> np. 111 to <math>10^2+10^1+10^0</math> w podstawie 10.

[[Plik:Evolution1glyph.png|thumb|200px|Zapis liczby 1 zmieniający się w czasie]]

[[Znaki pisarskie|Znak pisarski]] „1” używany współcześnie składa się z pionowej kreski, podstawki oraz ewentualnie haczyka na górze (bocznej poprzecznej kreski). W krajach [[Kraje anglosaskie|anglojęzycznych]] i [[azja]]tyckich w [[pismo|piśmie]] odręcznym, a także w wielu [[krój pisma|krojach]] [[czcionka|czcionek]] i [[font]]ów – [[znaki pisarskie|znak]] „1” zapisuje się w formie samej pojedynczej pionowej kreski, bez haczyka. W innych krajach, np. w [[Polska|Polsce]], znak „1” zapisuje się z wyraźnym haczykiem u góry. Różnice te sprawiają częste problemy w zagranicznej [[list|korespondencji tradycyjnej]], gdzie ''„jeden z kreską”'' może być w jednych krajach odczytane jako [[7 (liczba)|7]] (znak cyfry siedem), a ''„siedem bez poprzeczki”'' może być w drugich krajach odczytane jako 1 (znak cyfry jeden).

Kształt cyfry 1 wywodzi się od [[Indie|hinduskich]] [[Braminizm|Braminów]]. Jednak ich jedynka była linią poziomą. Taki kształt tego symbolu został przyjęty w [[Chińska Republika Ludowa|Chinach]] i do dziś jest tam czasami używany. W hinduskim państwie [[Gupta]] jedynka była zapisywana jako zakrzywiona linia, a w [[Nagari]] czasami dodawano do niej małe kółko po lewej. Współczesny kształt jedynki pochodzi prawdopodobnie od połączenia rzymskiej litery ''I'' oznaczającej jeden ze znakiem hinduskim.

== Jeden w matematyce ==
Jeden jest zarówno [[liczba|liczbą]], jak i [[cyfra|cyfrą]] wykorzystywaną w [[Dziesiętny system liczbowy|systemie dziesiętnym]]. [[Liczby rzeczywiste|Liczba rzeczywista]] pomnożona przez jeden jest tą samą liczbą. Innymi słowy: jeden jest w [[ciało (matematyka)|ciele]] liczb rzeczywistych [[element neutralny|elementem neutralnym]] mnożenia. Ogólniej w algebrze w dowolnym pierścieniu, w którym istnieje element neutralny mnożenia, element taki nazywa się ''jedynką'' i oznacza zwykle symbolem <math>1{:}</math>
: <math>a\cdot 1=a.</math>
[[Dzielenie]] przez jeden również nie wpływa na wartość liczby:
: <math>\frac{a}{1}=a.</math>
Jeżeli podzielimy niezerową liczbę rzeczywistą przez nią samą, to uzyskamy jeden:
: <math>\frac{a}{a}=1.</math>

Dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do [[Potęgowanie|potęgi]] stopnia 1 nie zmienia się:
: <math>a^1=a,</math>
a jeden w dowolnej potędze jest równe jeden:
: <math>1^a=1.</math>

Każda liczba rzeczywista różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:
: <math>a^0=1.</math>

[[Logarytm]] przy podstawie jeden jest nieokreślony, a logarytm z jedności przy dodatniej podstawie jest równy zero:
: <math>\log_a 1=0.</math>

Natomiast logarytm z dodatniej liczby ''a'' przy podstawie ''a'' jest równy jeden:
: <math>\log_a a=1.</math>

Jeden nie jest przez matematyków uznawany za [[Liczby pierwsze|liczbę pierwszą]]. Wynika to z definicji mówiącej, że liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki, dzieli się tylko przez jeden i siebie samą. W przypadku jedności nie są to różne liczby. Liczby pierwsze to: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

[[Wektor]] o długości równej jeden nazywany jest [[Normalizacja (statystyka)|wektorem znormalizowanym]] albo też wektorem jednostkowym lub [[Wektor jednostkowy|wersorem]]. W kartezjańskim układzie współrzędnych dla wektora jednostkowego o składowych ''[u,v]'' spełniony jest warunek:
: <math>\sqrt{u^2+v^2}=1.</math>

Maksymalna wartość [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] [[funkcje trygonometryczne|sinus]] i [[funkcje trygonometryczne|cosinus]] dla liczb rzeczywistych to jeden.

[[Jedynka trygonometryczna|Jedynką trygonometryczną]] nazywa się tożsamość
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1,</math>
zaś [[jedynka hiperboliczna|jedynką hiperboliczną]]:
: <math>\cosh^2 x - \sinh^2 x =1,</math>
spełnione dla każdego rzeczywistego ''α'' i ''x''.

Iloczyn [[funkcje trygonometryczne|tangensa]] i [[Funkcje trygonometryczne|kotangensa]] tego samego kąta jest równy jeden:
: <math>\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha=1.</math>

Pierwsza [[Pochodna funkcji|pochodna]] funkcji tożsamościowej jest równa jeden:
: <math>f(x)=x\implies f'(x) = 1.</math>

[[Prawdopodobieństwo]] wystąpienia [[Zdarzenie losowe pewne|zdarzenia, którego jesteśmy całkowicie pewni]], jest równe jeden. Jeżeli wiemy, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia <math>A</math> jest równe <math>w,</math> to prawdopodobieństwo wystąpienia [[Zdarzenie losowe przeciwne|zdarzenia przeciwnego]] <math>A'</math> jest równe: <math>\mathbb P(A') = 1 - w.</math>

Zgodnie z definicją [[całka]] [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|funkcji gęstości rozkładu]] <math>f_X</math> po całej [[Funkcja|dziedzinie]] powinna być równa jeden. Jeżeli funkcja przechodzi cały zakres liczbowy, oznacza to warunek:
: <math>{}\,\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)dx=1.</math>
Zapis ten można zinterpretować jako stwierdzenie, że możemy być całkowicie pewni, że cokolwiek się wydarzy. Kiedy funkcja rozkładu nie spełnia tego warunku, to musi zostać znormalizowana, czyli podzielona przez liczbę otrzymaną po całkowaniu.

Analogicznie funkcja [[Dystrybuanta|dystrybuanty]] <math>F_X</math> dąży w nieskończoności do jedności:
: <math>\lim_{x\to+\infty}~ F_X(x)=1.</math>

== Jeden w nauce ==
* Atom [[wodór|wodoru]] składa się z jednego [[proton]]u i jednego [[elektron]]u. Jest pierwszy w [[Układ okresowy pierwiastków|układzie okresowym pierwiastków]].
* W [[Katalog Messiera|katalogu Messiera]] obiekt oznaczony jako M1, ma [[Wielkość gwiazdowa|magnitudę]] 7,0 i jest pozostałością [[supernowa|supernowej]] w [[Gwiazdozbiór Byka|gwiazdozbiorze Byka]] – [[Mgławica Kraba]].
* W katalogu NGC numerem 1 oznaczona jest [[galaktyka spiralna]] w [[Gwiazdozbiór Pegaza|gwiazdozbiorze Pegaza]] ([[NGC 1]]).
* Pierwsza odkryta planeta karłowata [[(1) Ceres]].

== Jeden w [[chronologia|chronologii]] ==
[[1|Rok pierwszy]] naszej ery jest rokiem, w którym według tradycji, urodził się [[Jezus Chrystus]]{{fakt|data=2012-08}}<!--Chyba to raczej ma być 25 grudnia PRZED początkiem tego roku.--> (faktycznie urodził się między [[7 p.n.e.|7]] a [[4 p.n.e.|4 rokiem p.n.e]]). Rok pierwszy n.e. rozpoczął tzw. ''naszą erę''. Rok pierwszy przed naszą erą bezpośrednio poprzedzał rok pierwszy naszej ery. Nie było żadnego „roku zerowego”.

== Jeden w kulturze ==
Jeden oznacza w kulturze niepodzielność i nierozerwalność. [[religia|Religie]], których wierni wierzą w istnienie tylko jednego [[bóg|Boga]], nazywane są [[monoteizm|monoteistycznymi]]. Jedność oznacza również często wspólnotę ludzi wobec zagrożenia, jak w maksymie ''W jedności siła''. Natomiast określenie jednostkowy albo jedyny oznacza unikalność danego zjawiska czy osoby i jego niepowtarzalność.

Ludzie przywiązują często znaczenie do tego, kto jest pierwszy. Pierwszy syn nazywany jest pierworodnym i wielu kulturach to on miał prawo do dziedziczenia np. tronu królewskiego. Większość ludów w swojej mitologii tworzy obraz pierwszego legendarnego przedstawiciela danej cywilizacji. Dla [[Żydzi|Żydów]] pierwszym człowiekiem był [[Adam i Ewa|Adam]]. W [[sport|sporcie]] zawodnik, który przybędzie na metę jako pierwszy, otrzymuje złoty medal.

Pierwsza [[sura (Koran)|sura]] [[Koran]]u ma tytuł [[al-Fatiha]]h, a pierwsza księga [[Biblia|Biblii]] to [[Księga Rodzaju|Genesis]]. [[Bóg Ojciec]] to pierwsza z osób boskich w [[Trójca Święta|Trójcy Świętej]].

Postęp cywilizacji ludzkiej przedstawia się często mówiąc, kto pierwszy dokonał pewnego wyczynu lub odkrycia zachęcającego innych do podążenia swoimi śladami. Mówi się na przykład, że [[Krzysztof Kolumb|Kolumb]] jako pierwszy dopłynął do [[Ameryka|Ameryki]], a [[Neil Armstrong|Armstrong]] jako pierwszy stanął na Księżycu.

''Primus inter pares'' ([[Łacina|łac.]] „pierwszy wśród równych”) oznacza osobę, która pomimo posiadania takich samych praw, jak inni członkowie grupy, cieszy się wśród nich wyjątkowym poważaniem.

Jeżeli ktoś jako pierwszy wpadnie na jakiś użyteczny pomysł, to może go opatentować. Kiedy kilka osób próbuje uzyskać prawa patentowe, o ich przyznaniu decyduje pierwszeństwo złożenia wniosku.
Jeden (ang. ''One'') pojawił się jako tytuł w utworach wielu popularnych zespołów: [[Metallica]], [[U2]] (patrz: „One”), [[Creed (zespół muzyczny)|Creed]], [[Alanis Morissette]] oraz [[Bee Gees]].

[[Stany Zjednoczone|Amerykański]] banknot [[Dolar amerykański|jednodolarowy]] zawiera podobiznę [[George Washington|Waszyngtona]], a moneta jednocentowa przedstawia [[Abraham Lincoln|Lincolna]]. Samolot prezydenta USA jest oznaczony jako ''Air Force One''.

Pierwszą rocznicę ślubu nazywamy bawełnianą.

== Jeden w kalendarzu ==
1. dniem w roku jest [[1 stycznia]]. 1. miesiącem w roku jest styczeń, a 1. dniem tygodnia w [[kalendarz gregoriański|kalendarzu gregoriańskim]] (aktualnie obowiązującym w Polsce) jest [[poniedziałek]]. Zobacz też, co wydarzyło się w [[1]] roku n.e.

== Zobacz też ==
{{commons|1}}
* [[0,(9)]]
{{Wikicytaty|o jedynce|Jeden}}

== Linki zewnętrzne ==
{{Commonscat|1 (number)}}
* [http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node46.html Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą w FAQ grupy pl.sci.matematyka]

{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Liczby naturalne|0001]]