Tekst źródłowy strony Σ-pierścień

{{małą literą}}
'''σ-pierścień''' – niepusta [[rodzina zbiorów]] <math>\mathcal R</math> zamknięta ze względu na przeliczalne [[suma zbiorów|sumy]] i [[dopełnienie zbioru|dopełnienia]], tzn.
* <math>\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal R, \mbox{ gdy } A_n \in \mathcal R \mbox { dla wszystkich } n \in \mathbb N;</math>
* <math>A \setminus B \in \mathcal R, \mbox{ gdy } A, B \in \mathcal R.</math>

== Własności ==
Z powyższych dwóch własności wynika wprost, iż
: <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal R, \mbox{ gdy } A_n \in \mathcal R \mbox{ dla wszystkich } n \in \mathbb N</math>
ponieważ
: <math>\bigcap_{n=1}^\infty A_n = A_1 \setminus \bigcup_{n=1}^\infty (A_1 \setminus A_n).</math>

Jeżeli pierwszą własność osłabi się do zamknięcia ze względu na skończone sumy, tzn.
: <math>A \cup B \in \mathcal R, \mbox{ o ile tylko } A, B \in \mathcal R,</math>
ale nie na przeliczalne, to <math>\mathcal R</math> jest [[pierścień zbiorów|pierścieniem]], lecz nie σ-pierścieniem zbiorów.

Jeśli nie wymaga się, aby [[uniwersum (matematyka)|zbiór uniwersalny]] był mierzalny, to do zbudowania teorii [[miara (matematyka)|miary]] i [[całka|całki]] zamiast [[przestrzeń mierzalna|σ-ciał]] można wykorzystać σ-pierścienie. Każde σ-ciało jest σ-pierścieniem, lecz σ-pierścień nie musi być σ-ciałem.

Każdy σ-pierścień indukuje [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrę]]: jeżeli <math>\mathcal R</math> jest σ-pierścieniem nad zbiorem <math>X,</math> to rodzina wszystkich podzbiorów <math>X,</math> które są elementami <math>\mathcal R,</math> bądź których dopełniania są elementami <math>\mathcal R</math> jest σ-algebrą nad zbiorem <math>X.</math>

== Zobacz też ==
* [[δ-pierścień]]

== Bibliografia ==
* [[Walter Rudin]], 1976. ''Principles of Mathematical Analysis'', 3rd. ed. McGraw-Hill. W ostatnim rozdziale autor korzysta z σ-pierścieni do budowy teorii Lebesgue'a.

{{Algebra zbiorów}}

[[Kategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Rodziny zbiorów]]
[[Kategoria:Algebra zbiorów]]