Tekst źródłowy strony Średnia geometryczno-harmoniczna

'''Średnia geometryczno-harmoniczna''' dwóch [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] [[Znak liczby|dodatnich]] <math>g</math> i <math>h</math> – wspólna [[Granica ciągu|granica]] [[ciąg (matematyka)|ciągów]] <math>(g_n), (h_n)</math> określonych [[Rekurencja|rekurencyjnie]]:
: <math>g_0 = g, \quad h_0 = h</math>
: <math>g_{n+1}=\sqrt{g_n h_n}, \quad h_{n+1}=\frac{2}{\tfrac{1}{g_n}+\tfrac{1}{h_n}}</math>

Granica ta istnieje dla dowolnych <math>g,</math> <math>h</math> rzeczywistych dodatnich, a dowód tego faktu jest analogiczny do dowodu istnienia [[średnia arytmetyczno-geometryczna|średniej arytmetyczno-geometrycznej]].

== Przykład ==
Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb <math>g_0=24</math> i <math>h_0=6,</math> najpierw należy wyliczyć wartości średnich:

: <math>\begin{align}
 g_1 &= \sqrt{24\cdot6} = 12\\
 h_1 &= \frac{2}{\tfrac{1}{24}+\tfrac{1}{6}} = 9{,}6
\end{align}</math>

i dalej rekurencyjnie:

: {| class="wikitable"
|-
! <math>n</math>
! <math>g_n</math>
! <math>h_n</math>
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| 12
| 9,6
|-
| 2
| 10,733126291999…
| 10,666666666666…
|-
| 3
| 10,699844879622…
| 10,699793280161…
|-
| 4
| 10,699819079861…
| 10,699819079829…
|-
| 5
| 10,699819079845…
| 10,699819079845…
|}

== Własności ==
Przy oznaczeniach:
* <math>AGM(a, b)</math> – [[średnia arytmetyczno-geometryczna]] liczb <math>a</math> i <math>b,</math>
* <math>GHM(a, b)</math> – średnia geometryczno-harmoniczna liczb <math>a</math> i <math>b</math>

zachodzą następujące zależności:
: <math>GHM(x,y) = \frac{1}{AGM(\frac{1}{x},\frac{1}{y})},</math>

: <math>GHM(\lambda a,\lambda b)=\lambda GHM(a,b),\quad{} \text{dla}\; \lambda>0,</math>

: <math>\min(x,y) \leqslant \frac{2}{\frac1x+\frac1y} \leqslant GHM(x,y) \leqslant \sqrt{xy} \leqslant AGM(x,y) \leqslant \frac{x+y}{2} \leqslant \max(x,y).</math>

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld|adres=Harmonic-GeometricMean |tytuł=Harmonic-Geometric Mean |data dostępu=13 grudnia 2020}}

{{Średnie}}

[[Kategoria:Średnie]]